抽象的概念与具体形象的联系和转化，是高中数学教学中的一条重要的数学原则。如果能注意数形结合思想的应用，能使许多数学问题简单化。下面试从函数图象和几何图形两个方面举例说明“以形助数”的有关妙用。
　　一、利用数形结合思想解决方程和不等式问题
　　1.利用二次函数的图像求一元二次不等式的解集
　　例1：解不等式x2-x-6＞0
　　分析：我们可先联想对应的二次函数
　　y=x2-x-6的图像，从x2-x-6=0解得x1=-2,x2=3
　　知该抛物线与x轴交点横坐标为-2，3，当x取
　　交点两侧的值时，即x＜-2或x＞3时，y＞0。即
　　x2-x-6＞0。故可得不等式x2-x-6＞0的解集为：{x|x＜-2或x＞3}
　　例2：求不等式-x2+2x-3＞0的解集
　　分析：我们先联想对应的二次函数
　　y=-x2+2x-3的图像，抛物线开口向下，与x轴
　　没有交点，很明显，无论x取任何值时都有
　　y＜0，即-x2+2x-3＜0，∴-x2+2x-3＞0的解集
　　为空集。而-x2+2x-3＜0的解集为全体实数。
　　因此，我们要求一元二次不等式的解集时，只要联想对应的二次函数的图像，确定抛物线的开口方向和与x轴的交点情况，便可直观地看出所求不等式地解集。
　　2.利用二次函数的图像解决一元二次方程根的分布情况问题
　　例3：a为何值时，方程2a2x2+2ax+1-a2=0的两根在（-1，1）之内？
　　分析：显然a2≠0，我们可从已知方程联想到
　　相应的二次函数y=2a2x2+2ax+1-a2的草图，从
　　图像上我们可以看出，要使抛物线与x轴的两个
　　交点在（-1，1）之间,必须满足条件：
　　从而可解得a的取值范围为。
　　3.利用函数图像解决方程的近似解或解的个数问题
　　例4：解方程3x=2-x
　　分析：由方程两边的表达式我们可以联想起函数y=3x与y=2-x,作出这两个函数的图像,这两个函数图像交点的横坐标为方程的近似解，可以看出方程的近似解为x≈0.4。
　　二、数形结合思想在解决集合问题中的应用
　　1.利用韦恩图法解决集合之间的关系问题。一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素。利用韦恩图法能直观地解答有关集合之间的关系的问题。如：
　　例5：有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数理化小组的人数分别为28，25，15，同时参加数理小组的8人，同时参加数化小组的6人，同时参加理化小组的7人，问同时参加数理化小组的有多少人？
　　分析：我们可用圆A、B、C分别表示
　　参加数理化小组的人数（如右图），则三圆
　　的公共部分正好表示同时参加数理化小组
　　的人数．用n表示集合的元素，则有：
　　n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(A∩C)-n(B∩C)+n(A∩B∩C)=48
　　即：28+25+15-8-6-7+n(A∩B∩C)=48
　　∴n(A∩B∩C)=1，即同时参加数理化小组的有1人。
　　2.利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题
　　例6：已知集合A={x|-1＜x＜3},B={x|a＜x＜3a},（a∈R）
　　⑴若 ，求a的范围.⑵若 ，求a的范围。
　　分析：先在数轴上表示出集合A的范围。
　　要使 ，由包含于的关系可知集合B应该
　　覆盖集合A，从而有： ,这时a的值
　　不可能存在。要使，当a >0时集合A
　　应该覆盖集合B，应有 成立，即0＜a≤1。
　　当 时a≤0,,显然成立。
　　故 时的取值范围为：a≤1