论文部分内容阅读
【摘要】初中数学中考难题主要有以下几类题型:一是解题思维深度或技巧性较强的,二是题意新或解题思路新的,三是探究性或开放性的题型。难题专题训练时,重点应该放数学难题跟基础知识的联系,以及正确分析出解题思路这一点上,培养学生解题的直觉思维。训练的方法是对难题先进行分类,然后进行分类训练。引导学生自己去寻找解题思路从而训练学生的思维能力和创新能力。
【关键词】中考难题;分类训练;解题技巧
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】B 【文章编号】1001-4128(2010)06-0182-02
初中数学中考难题一般占四分之一左右,是学生拉开成绩的关键点。其主要有以下几类题型:一是解题思维深度或技巧性较强的,二是题意新或解题思路新的,三是探究性或开放性的题型。
不同题型要用不同的教学方法。但前提是学生要有一定的数学基础知识和基本的解题技能(对数学概念、定理公式、定理公式的证明有较好的理解;能熟练地解答出直接运用定理公式的基础题),所以,初三复习首先是进行 “双基”训练,然后才是对数学知识的深化和基本技能的强化训练,提高难题解题技巧。中考数学的的难题,有点思维深度要求较高,有的思路很新,有的综合性较强。多年的教学实践证明,针对难题进行专题复习是很有必要的,对提高中等以上成绩学生解难题能力的作用是较大的。
第二阶段复习主要是针对难题进行思维能力和思路拓展的训练。训练要注意题目类型的选择,同时要有足够的时间给学生进行解题方法和思路的反思和总结,多反思多总结,学生的解题能力才能提高。老师要注重引导,不要以自己的思路代替学生的思路。
难题专题训练时,重点应该放数学难题跟基础知识的联系,以及正确分析出解题思路这一点上,培养学生解题的直觉思维。训练的方法是对难题先进行分类,然后进行分类训练。在课堂上可以只要求学生能较快地写出解题思路,课后再补充详细的解题過程。
我将中考的难题主要分以下几种类型类进行专题训练。
第一类:多个知识点综合而且需要一定解题技巧的难题。
这类题的关键是训练学生运用分析和综合的方法,寻找相应的解题技巧来解答。
例1、如图,△ABC内接于⊙O,直线EF经过点B,∠CBF=∠A。求证:EF是⊙O的切线。
教学点拨:本题包含圆和三角形的几个知识点,要运用分析与综合的方法。欲证明EF是⊙O的切线,首先看到EF与⊙O有公共交点B,所以只要证明EF⊥OB即可,即证明∠CBF+
∠CBO=90°。由于已知∠CBF=∠A,故只要证明∠CBO﹢∠A=90°即可。∠A是圆周角,它所对的弧是BC ,但BC所对圆周角最重要的是一条边为直径的圆周角,所以要构造圆周角∠BDC=∠A,下面只要证明∠CBD﹢∠BDC=90°即可。因为补助线BD是直径,所以∠CBD﹢∠BDC=90°显而易见。
证明过程:连结BO并延长交⊙O于D,连结DC,
∵BD是⊙O的直径,∴∠BCD=90°,∴∠CBD﹢∠BDC=90°,
又∵∠BDC=∠A,∴∠CBD﹢∠A=90°,
又∵∠A=∠CBF∴∠CBD﹢∠CBF=90°
∴OB⊥EF∴EF是⊙O的切线。
第二类近年全国各地中考才出现的新题型。
现在中考试题越来越注意贴近教材和学生实际,体现大众数学之路,关注生活中的数学。解这类题的关键是从题意中找到与题目相关的基础知识,运用分析,综合,比较,联想等方法来找到解决问题的办法。
例2、随着人民生活水平的不断提高,我市家庭轿车的拥有量逐年增加,据统计,某小区2006年底拥有家庭轿车64辆,2008年底拥有100辆。
⑴若该小区2006年底到2009年底家庭轿车拥有量的年平均增大率都相同,求该小区2009年底家庭轿车将达到多少辆?
⑵为了缓解停车矛盾,该小区决定投资15万元再建造若干停车位,据测算,建造费用分别为室内5000元/个,露天车位1000元/个,考虑到实际因素,计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍,但不超过室内车位的2.5倍,求该小区最多可建两种车位各多少个?试写出所有可能的方案。
教学点拨:此题的难点在第2问,要求突破常规,用等式和不等式组合方程组,再用车库数是正整数的生活常识来解决问题。
解:⑴、设家庭轿车拥有量的年平均增长率为x,则
64(1+x)2=100
解得x1=14 =25%,x2=﹣94(不合题意,舍去),
∴100(1+25%)=125(辆)
答:该小区到2009年底家庭轿车将达到125辆。
⑵设该小区可建室内车位a个露天车位b个,则
0.5a+0.1b=15①
2a≦b≦2.5a ②
由①得b=150-5a代入②,得20≦a≦150/7
∵a是正整数,∴a=20或a=21
当a=20时,b=50;a=21时,b=45.
∴方案1:建室内车位20个,露天车库50个;
方案2:建室内车位21个,露天车库45个
第三类开放性,探索性数学难题。
这类数学难题的教学重点是教会学生把握问题的关键。
例3 如果a,b,c是三个任意的整数,那么在(a+b)/2,(b+c)/2,(a+c)/2这三个数中至少会有几个整数?请利用整数的奇偶性简单说明理由。
教学点拨:要弄清任意的三个整数中,至少会有两个奇偶性相同,且有 奇数+奇数=偶数,偶数+偶数=偶数,故a+b,b+c,a+c中至少有一个为偶数,同时说明(a+b)/2,(b+c)/2,(a+c)/2中至少会有一个整数。
解:至少会有一个整数。
因为三个任意的整数a,b,c中,至少会有两个数的奇偶性相同,如设其中a,b的奇偶性相同,那么(a+b)/2就一定是整数。
在难题的训练中,最重要的是要让学生自己去寻找解题思路,掌握解题的思维方式。应当引导学生自己去寻找解题思路从而训练学生的思维能力和创新能力。
【关键词】中考难题;分类训练;解题技巧
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】B 【文章编号】1001-4128(2010)06-0182-02
初中数学中考难题一般占四分之一左右,是学生拉开成绩的关键点。其主要有以下几类题型:一是解题思维深度或技巧性较强的,二是题意新或解题思路新的,三是探究性或开放性的题型。
不同题型要用不同的教学方法。但前提是学生要有一定的数学基础知识和基本的解题技能(对数学概念、定理公式、定理公式的证明有较好的理解;能熟练地解答出直接运用定理公式的基础题),所以,初三复习首先是进行 “双基”训练,然后才是对数学知识的深化和基本技能的强化训练,提高难题解题技巧。中考数学的的难题,有点思维深度要求较高,有的思路很新,有的综合性较强。多年的教学实践证明,针对难题进行专题复习是很有必要的,对提高中等以上成绩学生解难题能力的作用是较大的。
第二阶段复习主要是针对难题进行思维能力和思路拓展的训练。训练要注意题目类型的选择,同时要有足够的时间给学生进行解题方法和思路的反思和总结,多反思多总结,学生的解题能力才能提高。老师要注重引导,不要以自己的思路代替学生的思路。
难题专题训练时,重点应该放数学难题跟基础知识的联系,以及正确分析出解题思路这一点上,培养学生解题的直觉思维。训练的方法是对难题先进行分类,然后进行分类训练。在课堂上可以只要求学生能较快地写出解题思路,课后再补充详细的解题過程。
我将中考的难题主要分以下几种类型类进行专题训练。
第一类:多个知识点综合而且需要一定解题技巧的难题。
这类题的关键是训练学生运用分析和综合的方法,寻找相应的解题技巧来解答。
例1、如图,△ABC内接于⊙O,直线EF经过点B,∠CBF=∠A。求证:EF是⊙O的切线。
教学点拨:本题包含圆和三角形的几个知识点,要运用分析与综合的方法。欲证明EF是⊙O的切线,首先看到EF与⊙O有公共交点B,所以只要证明EF⊥OB即可,即证明∠CBF+
∠CBO=90°。由于已知∠CBF=∠A,故只要证明∠CBO﹢∠A=90°即可。∠A是圆周角,它所对的弧是BC ,但BC所对圆周角最重要的是一条边为直径的圆周角,所以要构造圆周角∠BDC=∠A,下面只要证明∠CBD﹢∠BDC=90°即可。因为补助线BD是直径,所以∠CBD﹢∠BDC=90°显而易见。
证明过程:连结BO并延长交⊙O于D,连结DC,
∵BD是⊙O的直径,∴∠BCD=90°,∴∠CBD﹢∠BDC=90°,
又∵∠BDC=∠A,∴∠CBD﹢∠A=90°,
又∵∠A=∠CBF∴∠CBD﹢∠CBF=90°
∴OB⊥EF∴EF是⊙O的切线。
第二类近年全国各地中考才出现的新题型。
现在中考试题越来越注意贴近教材和学生实际,体现大众数学之路,关注生活中的数学。解这类题的关键是从题意中找到与题目相关的基础知识,运用分析,综合,比较,联想等方法来找到解决问题的办法。
例2、随着人民生活水平的不断提高,我市家庭轿车的拥有量逐年增加,据统计,某小区2006年底拥有家庭轿车64辆,2008年底拥有100辆。
⑴若该小区2006年底到2009年底家庭轿车拥有量的年平均增大率都相同,求该小区2009年底家庭轿车将达到多少辆?
⑵为了缓解停车矛盾,该小区决定投资15万元再建造若干停车位,据测算,建造费用分别为室内5000元/个,露天车位1000元/个,考虑到实际因素,计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍,但不超过室内车位的2.5倍,求该小区最多可建两种车位各多少个?试写出所有可能的方案。
教学点拨:此题的难点在第2问,要求突破常规,用等式和不等式组合方程组,再用车库数是正整数的生活常识来解决问题。
解:⑴、设家庭轿车拥有量的年平均增长率为x,则
64(1+x)2=100
解得x1=14 =25%,x2=﹣94(不合题意,舍去),
∴100(1+25%)=125(辆)
答:该小区到2009年底家庭轿车将达到125辆。
⑵设该小区可建室内车位a个露天车位b个,则
0.5a+0.1b=15①
2a≦b≦2.5a ②
由①得b=150-5a代入②,得20≦a≦150/7
∵a是正整数,∴a=20或a=21
当a=20时,b=50;a=21时,b=45.
∴方案1:建室内车位20个,露天车库50个;
方案2:建室内车位21个,露天车库45个
第三类开放性,探索性数学难题。
这类数学难题的教学重点是教会学生把握问题的关键。
例3 如果a,b,c是三个任意的整数,那么在(a+b)/2,(b+c)/2,(a+c)/2这三个数中至少会有几个整数?请利用整数的奇偶性简单说明理由。
教学点拨:要弄清任意的三个整数中,至少会有两个奇偶性相同,且有 奇数+奇数=偶数,偶数+偶数=偶数,故a+b,b+c,a+c中至少有一个为偶数,同时说明(a+b)/2,(b+c)/2,(a+c)/2中至少会有一个整数。
解:至少会有一个整数。
因为三个任意的整数a,b,c中,至少会有两个数的奇偶性相同,如设其中a,b的奇偶性相同,那么(a+b)/2就一定是整数。
在难题的训练中,最重要的是要让学生自己去寻找解题思路,掌握解题的思维方式。应当引导学生自己去寻找解题思路从而训练学生的思维能力和创新能力。