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摘 要：数学教学主要是数学思维活动的教学。在高中阶段的教学中加强学生的数学思维能力的培养，有利于发挥数学教学发展学生思维的教育功能，同时也可促进数学教学质量的提高。对此，笔者认为探讨课堂教学拓展学生数学思维空间的途径有着一定的必要性。
关键词：高中数学;学生思维;拓展途径
中图分类号：G427 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2015）04-021-2
一、在引入环节拓展学生数学思维空间
新课引入环节的设计合理与否直接决定着一堂数学课能否顺利地开始，决定着课堂能否具有活跃融洽的研讨氛围，直接影响着后续的概念、法则、解题等的教学，更是学生思维能否打开的前提。
引入环节设计的合适与否，首先取决于引入是否充分考虑了学生原有的认知基础，设计的情境是否贴近学生的生活与学习;其次，取决于引入是否能有效引出预设的问题，即该引入不会将学生的思维导向其他与本堂课教学无关的内容。设计该引入优越性必须有明确体现，以确保引入的必要性和实效性。有些老师在引入环节上过于花哨或急于得出结论，不能激起学生思维的浪花，更谈不上调动学生学习的积极性，可谓费时费力而效率低下。引入环节是知识的发源点，引入自然才有可能让知识在课堂上自然流淌，才能激发学生对新知识的迫切需要。为此，引入中创设的情境要简约而有效，要让学生把更多的时间和精力花在探究上，同时让学生觉得熟悉和有实际研究价值，激发学生更强烈的研究欲望。笔者调查发现，“引入”通常有三种有效方式：
1.基于前后联系的复习引入
通过复习旧知识，提出旧知识解决不了的问题，从而造成学生心理冲突，得到新知识的生长点，引出学习新知识的必要性。或者从已学知识，尤其是最近接触的具体问题中概括发现规律，获得新知识。这种引入方式充分尊重了学生原有认知基础，温故知新，不仅便于学生思维的打开，更有利于学生养成前后联系看问题，并将所学知识放入所在知识体系中去认识的良好学习习惯，能促进学生思维深刻性和广阔性的养成。
2.基于学生熟悉的实际生活设计情境引入
教师结合学生日常生活、生产中的实际问题（包括一些时事要闻），引入新的问题，从而转入新的概念或定理法则的教学。事实上，学生在现实生活中已有许多数学知识的体验，课堂上的数学学习其实是他们生活中的有关数学现象和经验的总结和升华。因此，教师在引入时应根据学生、教学内容等具体情况，努力营造一种接近真实的情境，让学生在自然的情境中“做数学”，去解决问题并获得体验。这样的引入能促使学生捕捉生活现象，采集生活实例，引导学生善于思考生活中的数学，把课堂学习延伸到课外。
3.由学生的活动引入
通过学生活动（操作、观察、归纳等）提出要解决的问题，引出新授课的内容。这里的引入旨在引出数学知识，使新授内容的出现更加自然和合理，而不像一般的“问题情境”旨在提出问题。借助引入的学生活动不能太复杂，和上面创造问题情境一样，能简洁自然地引出授课主题即可。好比物理化学中的实验那样，学生通过亲身操作体验而获得的知识更具真实性、直观性和趣味性。一方面将数学抽象问题通过具体化进行形象理解，培养了形象思维;另一方面，学生由特殊到一般进行归纳猜测，培养了抽象逻辑思维和直觉思维。
二、在概念教学中拓展学生数学思维空间
1.设置情景，促进概念的合理建构
数学概念是深入进行数学思维的基础，而概念本身的产生也是一段生动的思维过程，故而可以也应该作为有意义的数学思维教育素材。在概念教学过程中首先要注重充分暴露构造研究对象的过程、揭示对象本质属性的过程以及跟之前所学旧概念之间的矛盾。这样就可以帮助学生在概念教学中弄清概念建立的必要性，并通过探究活动得出概念的可能性与合理性。建构概念需要选择适宜的数学原型，要利用数学原型归纳概括概念。为此，每节新授课要从学生最为熟悉的生活背景、知识背景、数学知识背景等出发，设置最能体现新授概念本质特征的知识背景，让学生入境体验。由于高中概念对学生而言都十分抽象，新授课教学往往从概念的一般性出发，探讨概念的特殊情形。即通过学生熟悉的具体例子，从特殊到一般，从局部到整体来解释概念的本质特征，这在新授概念教学中，是学生容易接受的一个学习过程。这里创设的情境力求简洁明了，关键是能帮助学生完成知识上的过渡，呈现概念形成过程，帮助学生进行知识建构的作用。
2.剖析概念，把握概念的不变内涵
学生对概念仅有一个初步建构的认识，在剖析概念时，最好的方法是能让学生借助上述建构概念的过程发现问题，尝试借助具体实例对概念的关键点进行解释，教师从旁协助分析，这样有利于培养学生提出问题、分析问题的能力，能促进思维的严密性。如果概念比较难剖析，教师可将需要关注的问题和关键点融入到若干问题中，请学生思考。这样的设计比直接告知概念的注意事项更能提高学生的认知参与度，自然学习效果佳。在此过程中，如果能从概念的本原出发，进行演绎推理，得出一些基本的结论，如概念衍生出来的性质、定理、公式等，就更能突出不变的概念内涵，利于挖掘概念蕴含的基础知识和基本方法，也能进一步拓宽学生的思维空间，促进思维的广阔性和敏锐性。
3.变换问题，在实践中深化对概念的理解
基于对概念的建构和剖析，学生对概念已经有比较清晰的认识，此时对概念的应用能让学生通过具体问题加深对概念的理解，能及时发现并纠正错误理解，是对概念建构和剖析所得的知识和方法的检验和巩固。建构和剖析概念后的练习，一般是围绕某一具体内容（重点、难点、关键点）进行的单项简单练习，可以从概念的正面和反面进行比较和鉴别，或者同其他知识一起在综合环境中加以鉴别和联系。这种练习可及时纠正学生的错误认识，同时让正确理解及时留下深刻的印象，达到强化、巩固、加深理解的作用。实践发现这些练习的形式可以多样一些，可根据学生程度设计有梯度的练习，也可根据教学需要对概念进行简单的外延，但这些都必须以巩固和深化概念为直接目的，不可过早出现一些和其他知识结合的综合性问题，冲淡主题。
三、在法则（定理）教学中拓展学生数学思维空间
在教学中教师不能局限于介绍定理和法则的结果，而要让学生经历他们的形成过程，即定理和法则被发现、被证明的思维过程，这其中蕴含着很多利于思维发展的核心思想方法。
对于定理、法则的教学，教师应注意让学生借助已有的认知基础，比较自然地发现规律，并对这一规律进行归纳证明，通过应用来认识它们的本质特征，检验其适用范围。为此，定理、法则的教学主要注意以下三个方面：
1.让定理、法则的引入和揭示自然化
基于拓展学生思维的目的，定理、法则的引入和揭示必须尊重学生原有的认知基础。在设计情境时力求从原有的知识结构出发，寻找定理、法则在原有知识结构中的地位以及和与其他知识的联系。常见的方式有通过情境的创设形成认知冲突，引发探究;从具体实例，特殊到一般归纳猜想;借助类似问题中猜测结论等。这些与适应性教学原则是十分吻合的。
2.突出定理、法则的推导过程
定理、法则的推导过程是数学思维过程的一种重要表现形式，也是一个典型的数学解题过程，而且这个解题过程比一般的解题练习更为完整，能让学生自己发现问题，更利于学生思维空间的拓展。通过定理、法则的推导过程，帮助学生揭示它们与现有知识结构的逻辑联系，并从中体验丰富的方法论意义，促进学生对数学知识、数学思维方法和技巧的学习。这个过程要以结构性原则、过程性原则为指导，确定推导过程中的重点和难点，引导学生用发现性、启发性、反思性等策略来化难为易，发挥难点在发展学生数学思维能力、提高数学素养方面的作用。
3.在实践中深化对公式和定理的认识
定理和法则的引入和推导过程让学生对定理和法则的合理性、严密性有所认识，但对它们的本质特点还要通过具体应用来逐步深入体会。通过安排合理的练习可以体会定理、法则中蕴含的条件与结论间的逻辑关系，分析具体公式的结构特征、适用范围，以及它与那些知识是类似的，它们之间的联系和区别在哪等等。只有通过实践检验才能让学生确信定理、法则的合理性、优越性和局限性，在解题时才能注重条件与结论的比较分析，合理选用定理、法则来解决具体问题。
关键词：高中数学;学生思维;拓展途径
中图分类号：G427 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2015）04-021-2
一、在引入环节拓展学生数学思维空间
新课引入环节的设计合理与否直接决定着一堂数学课能否顺利地开始，决定着课堂能否具有活跃融洽的研讨氛围，直接影响着后续的概念、法则、解题等的教学，更是学生思维能否打开的前提。
引入环节设计的合适与否，首先取决于引入是否充分考虑了学生原有的认知基础，设计的情境是否贴近学生的生活与学习;其次，取决于引入是否能有效引出预设的问题，即该引入不会将学生的思维导向其他与本堂课教学无关的内容。设计该引入优越性必须有明确体现，以确保引入的必要性和实效性。有些老师在引入环节上过于花哨或急于得出结论，不能激起学生思维的浪花，更谈不上调动学生学习的积极性，可谓费时费力而效率低下。引入环节是知识的发源点，引入自然才有可能让知识在课堂上自然流淌，才能激发学生对新知识的迫切需要。为此，引入中创设的情境要简约而有效，要让学生把更多的时间和精力花在探究上，同时让学生觉得熟悉和有实际研究价值，激发学生更强烈的研究欲望。笔者调查发现，“引入”通常有三种有效方式：
1.基于前后联系的复习引入
通过复习旧知识，提出旧知识解决不了的问题，从而造成学生心理冲突，得到新知识的生长点，引出学习新知识的必要性。或者从已学知识，尤其是最近接触的具体问题中概括发现规律，获得新知识。这种引入方式充分尊重了学生原有认知基础，温故知新，不仅便于学生思维的打开，更有利于学生养成前后联系看问题，并将所学知识放入所在知识体系中去认识的良好学习习惯，能促进学生思维深刻性和广阔性的养成。
2.基于学生熟悉的实际生活设计情境引入
教师结合学生日常生活、生产中的实际问题（包括一些时事要闻），引入新的问题，从而转入新的概念或定理法则的教学。事实上，学生在现实生活中已有许多数学知识的体验，课堂上的数学学习其实是他们生活中的有关数学现象和经验的总结和升华。因此，教师在引入时应根据学生、教学内容等具体情况，努力营造一种接近真实的情境，让学生在自然的情境中“做数学”，去解决问题并获得体验。这样的引入能促使学生捕捉生活现象，采集生活实例，引导学生善于思考生活中的数学，把课堂学习延伸到课外。
3.由学生的活动引入
通过学生活动（操作、观察、归纳等）提出要解决的问题，引出新授课的内容。这里的引入旨在引出数学知识，使新授内容的出现更加自然和合理，而不像一般的“问题情境”旨在提出问题。借助引入的学生活动不能太复杂，和上面创造问题情境一样，能简洁自然地引出授课主题即可。好比物理化学中的实验那样，学生通过亲身操作体验而获得的知识更具真实性、直观性和趣味性。一方面将数学抽象问题通过具体化进行形象理解，培养了形象思维;另一方面，学生由特殊到一般进行归纳猜测，培养了抽象逻辑思维和直觉思维。
二、在概念教学中拓展学生数学思维空间
1.设置情景，促进概念的合理建构
数学概念是深入进行数学思维的基础，而概念本身的产生也是一段生动的思维过程，故而可以也应该作为有意义的数学思维教育素材。在概念教学过程中首先要注重充分暴露构造研究对象的过程、揭示对象本质属性的过程以及跟之前所学旧概念之间的矛盾。这样就可以帮助学生在概念教学中弄清概念建立的必要性，并通过探究活动得出概念的可能性与合理性。建构概念需要选择适宜的数学原型，要利用数学原型归纳概括概念。为此，每节新授课要从学生最为熟悉的生活背景、知识背景、数学知识背景等出发，设置最能体现新授概念本质特征的知识背景，让学生入境体验。由于高中概念对学生而言都十分抽象，新授课教学往往从概念的一般性出发，探讨概念的特殊情形。即通过学生熟悉的具体例子，从特殊到一般，从局部到整体来解释概念的本质特征，这在新授概念教学中，是学生容易接受的一个学习过程。这里创设的情境力求简洁明了，关键是能帮助学生完成知识上的过渡，呈现概念形成过程，帮助学生进行知识建构的作用。
2.剖析概念，把握概念的不变内涵
学生对概念仅有一个初步建构的认识，在剖析概念时，最好的方法是能让学生借助上述建构概念的过程发现问题，尝试借助具体实例对概念的关键点进行解释，教师从旁协助分析，这样有利于培养学生提出问题、分析问题的能力，能促进思维的严密性。如果概念比较难剖析，教师可将需要关注的问题和关键点融入到若干问题中，请学生思考。这样的设计比直接告知概念的注意事项更能提高学生的认知参与度，自然学习效果佳。在此过程中，如果能从概念的本原出发，进行演绎推理，得出一些基本的结论，如概念衍生出来的性质、定理、公式等，就更能突出不变的概念内涵，利于挖掘概念蕴含的基础知识和基本方法，也能进一步拓宽学生的思维空间，促进思维的广阔性和敏锐性。
3.变换问题，在实践中深化对概念的理解
基于对概念的建构和剖析，学生对概念已经有比较清晰的认识，此时对概念的应用能让学生通过具体问题加深对概念的理解，能及时发现并纠正错误理解，是对概念建构和剖析所得的知识和方法的检验和巩固。建构和剖析概念后的练习，一般是围绕某一具体内容（重点、难点、关键点）进行的单项简单练习，可以从概念的正面和反面进行比较和鉴别，或者同其他知识一起在综合环境中加以鉴别和联系。这种练习可及时纠正学生的错误认识，同时让正确理解及时留下深刻的印象，达到强化、巩固、加深理解的作用。实践发现这些练习的形式可以多样一些，可根据学生程度设计有梯度的练习，也可根据教学需要对概念进行简单的外延，但这些都必须以巩固和深化概念为直接目的，不可过早出现一些和其他知识结合的综合性问题，冲淡主题。
三、在法则（定理）教学中拓展学生数学思维空间
在教学中教师不能局限于介绍定理和法则的结果，而要让学生经历他们的形成过程，即定理和法则被发现、被证明的思维过程，这其中蕴含着很多利于思维发展的核心思想方法。
对于定理、法则的教学，教师应注意让学生借助已有的认知基础，比较自然地发现规律，并对这一规律进行归纳证明，通过应用来认识它们的本质特征，检验其适用范围。为此，定理、法则的教学主要注意以下三个方面：
1.让定理、法则的引入和揭示自然化
基于拓展学生思维的目的，定理、法则的引入和揭示必须尊重学生原有的认知基础。在设计情境时力求从原有的知识结构出发，寻找定理、法则在原有知识结构中的地位以及和与其他知识的联系。常见的方式有通过情境的创设形成认知冲突，引发探究;从具体实例，特殊到一般归纳猜想;借助类似问题中猜测结论等。这些与适应性教学原则是十分吻合的。
2.突出定理、法则的推导过程
定理、法则的推导过程是数学思维过程的一种重要表现形式，也是一个典型的数学解题过程，而且这个解题过程比一般的解题练习更为完整，能让学生自己发现问题，更利于学生思维空间的拓展。通过定理、法则的推导过程，帮助学生揭示它们与现有知识结构的逻辑联系，并从中体验丰富的方法论意义，促进学生对数学知识、数学思维方法和技巧的学习。这个过程要以结构性原则、过程性原则为指导，确定推导过程中的重点和难点，引导学生用发现性、启发性、反思性等策略来化难为易，发挥难点在发展学生数学思维能力、提高数学素养方面的作用。
3.在实践中深化对公式和定理的认识
定理和法则的引入和推导过程让学生对定理和法则的合理性、严密性有所认识，但对它们的本质特点还要通过具体应用来逐步深入体会。通过安排合理的练习可以体会定理、法则中蕴含的条件与结论间的逻辑关系，分析具体公式的结构特征、适用范围，以及它与那些知识是类似的，它们之间的联系和区别在哪等等。只有通过实践检验才能让学生确信定理、法则的合理性、优越性和局限性，在解题时才能注重条件与结论的比较分析，合理选用定理、法则来解决具体问题。