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【摘 要】本文旨在归纳极限思想在小学数学中的渗透点，并以圆的教学为例，结合教师的教法，得出小学教师在教学过程中对小学生极限思想渗透的广度和深度。
【关键词】小学数学;极限思想;渗透;应用
数学课程标准已经明确提出课程目标之一是使学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。可见，数学思想是学生应该要培养的。
1 极限的描述性定义
在小学阶段，用孩子们听得懂的语言，如越来越靠近、靠近到两者之间的距离越来越小、无限接近却又不能到达等词句来表示极限的内涵。
2 从有限到无限，从无限到极限
极限思想其实是从有限中认识无限，从近似中认识精确的一种数学思想。因此，在学生还无法理解极限这一抽象概念时，教师要在教学中带领学生认识“无限”，如提出“有没有最大的自然数”，让学生探索“无限”。除了在“数与代数”模块中探索无限，在几何教学中，也有许多概念是具有无限性的，如线段的一端无限延长就成了射线，线段两端无限延伸就成了直线，射线、直线就是具有无限性的概念。学生在对比线段与射线、直线的区别时，就会体会到无限延长的涵义，初步形成极限思想的雏形。虽然我们可以从无限中认识极限思想，但是“无限”并不等于“极限”。无限的结果有两种，一种是收敛;一种是发散;而收敛的无限过程才是极限思想的表现。所以，认识无限知识只是让学生积累一些感性认识，而真正运用极限理论是在圆的教学中。
3 极限思想在圆的教学中的应用研究
3.1 圆的认识
3.1.1 课堂片段
教师课前准备了很多正方形纸片（19cm×19cm）分发给学生（每人三张）。
师：请同学们拿出一张正方形纸片，找到正方形的中心，然后在正方形的边上随便选取一些点分别与正方形中心点相连。请大家量一量这些线段的长度，它们都相等吗？最长和最短的线段相差多少？
生操作：（将正方形对角线折，两条对角线相交于一点，即正方形的中心……）最长线段是正方形顶点与正方形的中心的连线，量得13.4cm;最短线段是正方形一条边的中点与正方形的中心的连线，量得是9.5cm;最长与最短线段相差3.9cm。
师：接下来，请拿出另一张正方形纸片，跟着老师折一折，剪一剪。将正方形对折，将对折后的纸折出中线，再折出四等分线。将角的顶点对齐，与它较远的四等份线进行折叠，另一边再折过去，接下来把角的顶点和另一条四等分线与折好图形边的交点相连，沿着这条线剪下图形（正六边形）。和刚刚一样，你会有怎样的结论呢？
生：线段有的相等，有的不相等。最大相差1.2cm。
师：接下来，我们来动手剪一个正八边形。
生：线段有的相等，有的不等。最大相差0.7cm。
师：对比刚刚三个图形，它们的不同点在哪？
生：正多边形的边数越多，边上一点和中心的连线就越接近。
师：你觉得正方形、正六边形和正八边形哪个更加接近圆？
生：正八边形。
师追问：那如果正六十四边形，你能想象出它的样子吗？
学生想象，然后教师用多媒体课件展示。
师：你们发现了什么？
生：正六十四边形更接近圆。
师总结：正多边形边数无限增多，就接近于圆。也就是正多边形的边上一点与中心的连线，最大相差越来越接近0的时候，就越接近圆了。
师追问：那你能得到圆上一点与圆心的连线之间的关系吗？
學生探究得出圆的半径都相等，直径都相等。
3.1.2 教学分析
教学方法：正多边形逼近圆。
在这个教学过程中，教师先从最简单的正方形入手，慢慢增加正多边形的边数，让学生从动态的有限变化中感受无限变化的过程。这个过程并不是单纯地教授学生圆的半径都相等，而是让学生通过几个熟悉的图形，慢慢增加边数，感悟正多边形的边数越多，就越接近圆这个关键。这里面蕴含了极限思想，在无限增加边数时，学生就有了极限思想的雏形，也建立了直线型图形与曲边图形的联系，为以后的圆的面积教学奠定了基础。
教学出发点：圆的半径都是相等的。
整个教学过程抓住了我国古代著作《墨经》中写道的：圆，一中同长也。它的意思是：圆是从中心点到周边任何一点的距离都相等的图形。用现在的定义来说就是同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆。因此，这个教学设计不仅符合小学生身心发展规律，也是对高年级学生思维的发展以及极限思想的发展。
3.2 圆的面积
3.2.1 课堂片段
教师先让学生在课前将书后的圆剪下来，然后课上组织学生自己动手操作，分别将圆平均分成16等份和32等份，再将分成的小扇形交叉拼一拼。
师：你能拼成我们以前学过的平面图形吗？
生：可以将圆转化成长方形。
师追问：拼成的图形就是长方形吗？
生：是近似的长方形。因为它的底边有小波浪，上下两边不是线段。
师：对比16等分和32等分拼成的图形，它们有什么区别？
生：分成32等份更接近长方形。
师追问：那如果分成64等份又会拼成怎样的图形呢，还能继续分下去吗？
此时，教师用多媒体课件进行动态的展示，把一个圆平均分成64份、128份……
师：同学们，你们看了课件上拼成的图形，有什么感受吗？
生：平均分的份数越多，拼成的图形就越接近长方形。
3.2.2 教学分析
在圆的面积推导过程中，最难理解的就是“平均分的份数越多，拼成的图形就越接近长方形”。教师在教学时，通过16等份和32等份的圆的对比，使学生初步发现：32等份的要更接近长方形。教师运用多媒体课件，让学生看到动态的拼的过程。对比16等份、32等份、64等份……拼成的图形，学生会得出结论：平均分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。这就完成了从曲边图形到直线型图形的转化。在多媒体展示过程中，教师仅仅展示了一小部分，但是学生却知道还能继续往下分。通过经验，学生能够想象圆的无限分割，这就在无形之中渗透了极限思想。
3.3 小结
在实践方面，教师应该了解小学生的身心发展规律，从学生实际出发，在小学阶段潜移默化地渗透无限思想，培养学生的数学思想，而不在于让学生真正利用极限思想解决较难的问题。在实际教学过程中，教师要更加注重数学思想的渗透，而不在于点透。
4 极限思想教学对学生现代数学思想建立的启蒙意义
在小学阶段，学生学习的不仅仅是浮于表面的知识，更重要的是隐含在知识中的数学思想。只有将数学思想放在教学的出发点和落脚点上，学生才能从表面的知识中挖掘出数学思想，这样学习数学才是真正事半功倍的。虽然课标没有特别指出极限思想的教学要点，但是教师要充分理解数学教材内容，探究其中的渗透点，从无限思想出发感悟极限思想。
极限思想对小学阶段学生而言是有一定理解难度的，但是它也具有很大的启蒙意义，它是学生第一次接触到曲边图形而产生的思想，是串联小学、初高中和大学的纽带。在渗透极限思想的过程中，学生发展了抽象思维能力和逻辑推理能力，为自身数学思维的良好发展奠定了基础。
【关键词】小学数学;极限思想;渗透;应用
数学课程标准已经明确提出课程目标之一是使学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。可见，数学思想是学生应该要培养的。
1 极限的描述性定义
在小学阶段，用孩子们听得懂的语言，如越来越靠近、靠近到两者之间的距离越来越小、无限接近却又不能到达等词句来表示极限的内涵。
2 从有限到无限，从无限到极限
极限思想其实是从有限中认识无限，从近似中认识精确的一种数学思想。因此，在学生还无法理解极限这一抽象概念时，教师要在教学中带领学生认识“无限”，如提出“有没有最大的自然数”，让学生探索“无限”。除了在“数与代数”模块中探索无限，在几何教学中，也有许多概念是具有无限性的，如线段的一端无限延长就成了射线，线段两端无限延伸就成了直线，射线、直线就是具有无限性的概念。学生在对比线段与射线、直线的区别时，就会体会到无限延长的涵义，初步形成极限思想的雏形。虽然我们可以从无限中认识极限思想，但是“无限”并不等于“极限”。无限的结果有两种，一种是收敛;一种是发散;而收敛的无限过程才是极限思想的表现。所以，认识无限知识只是让学生积累一些感性认识，而真正运用极限理论是在圆的教学中。
3 极限思想在圆的教学中的应用研究
3.1 圆的认识
3.1.1 课堂片段
教师课前准备了很多正方形纸片（19cm×19cm）分发给学生（每人三张）。
师：请同学们拿出一张正方形纸片，找到正方形的中心，然后在正方形的边上随便选取一些点分别与正方形中心点相连。请大家量一量这些线段的长度，它们都相等吗？最长和最短的线段相差多少？
生操作：（将正方形对角线折，两条对角线相交于一点，即正方形的中心……）最长线段是正方形顶点与正方形的中心的连线，量得13.4cm;最短线段是正方形一条边的中点与正方形的中心的连线，量得是9.5cm;最长与最短线段相差3.9cm。
师：接下来，请拿出另一张正方形纸片，跟着老师折一折，剪一剪。将正方形对折，将对折后的纸折出中线，再折出四等分线。将角的顶点对齐，与它较远的四等份线进行折叠，另一边再折过去，接下来把角的顶点和另一条四等分线与折好图形边的交点相连，沿着这条线剪下图形（正六边形）。和刚刚一样，你会有怎样的结论呢？
生：线段有的相等，有的不相等。最大相差1.2cm。
师：接下来，我们来动手剪一个正八边形。
生：线段有的相等，有的不等。最大相差0.7cm。
师：对比刚刚三个图形，它们的不同点在哪？
生：正多边形的边数越多，边上一点和中心的连线就越接近。
师：你觉得正方形、正六边形和正八边形哪个更加接近圆？
生：正八边形。
师追问：那如果正六十四边形，你能想象出它的样子吗？
学生想象，然后教师用多媒体课件展示。
师：你们发现了什么？
生：正六十四边形更接近圆。
师总结：正多边形边数无限增多，就接近于圆。也就是正多边形的边上一点与中心的连线，最大相差越来越接近0的时候，就越接近圆了。
师追问：那你能得到圆上一点与圆心的连线之间的关系吗？
學生探究得出圆的半径都相等，直径都相等。
3.1.2 教学分析
教学方法：正多边形逼近圆。
在这个教学过程中，教师先从最简单的正方形入手，慢慢增加正多边形的边数，让学生从动态的有限变化中感受无限变化的过程。这个过程并不是单纯地教授学生圆的半径都相等，而是让学生通过几个熟悉的图形，慢慢增加边数，感悟正多边形的边数越多，就越接近圆这个关键。这里面蕴含了极限思想，在无限增加边数时，学生就有了极限思想的雏形，也建立了直线型图形与曲边图形的联系，为以后的圆的面积教学奠定了基础。
教学出发点：圆的半径都是相等的。
整个教学过程抓住了我国古代著作《墨经》中写道的：圆，一中同长也。它的意思是：圆是从中心点到周边任何一点的距离都相等的图形。用现在的定义来说就是同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆。因此，这个教学设计不仅符合小学生身心发展规律，也是对高年级学生思维的发展以及极限思想的发展。
3.2 圆的面积
3.2.1 课堂片段
教师先让学生在课前将书后的圆剪下来，然后课上组织学生自己动手操作，分别将圆平均分成16等份和32等份，再将分成的小扇形交叉拼一拼。
师：你能拼成我们以前学过的平面图形吗？
生：可以将圆转化成长方形。
师追问：拼成的图形就是长方形吗？
生：是近似的长方形。因为它的底边有小波浪，上下两边不是线段。
师：对比16等分和32等分拼成的图形，它们有什么区别？
生：分成32等份更接近长方形。
师追问：那如果分成64等份又会拼成怎样的图形呢，还能继续分下去吗？
此时，教师用多媒体课件进行动态的展示，把一个圆平均分成64份、128份……
师：同学们，你们看了课件上拼成的图形，有什么感受吗？
生：平均分的份数越多，拼成的图形就越接近长方形。
3.2.2 教学分析
在圆的面积推导过程中，最难理解的就是“平均分的份数越多，拼成的图形就越接近长方形”。教师在教学时，通过16等份和32等份的圆的对比，使学生初步发现：32等份的要更接近长方形。教师运用多媒体课件，让学生看到动态的拼的过程。对比16等份、32等份、64等份……拼成的图形，学生会得出结论：平均分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。这就完成了从曲边图形到直线型图形的转化。在多媒体展示过程中，教师仅仅展示了一小部分，但是学生却知道还能继续往下分。通过经验，学生能够想象圆的无限分割，这就在无形之中渗透了极限思想。
3.3 小结
在实践方面，教师应该了解小学生的身心发展规律，从学生实际出发，在小学阶段潜移默化地渗透无限思想，培养学生的数学思想，而不在于让学生真正利用极限思想解决较难的问题。在实际教学过程中，教师要更加注重数学思想的渗透，而不在于点透。
4 极限思想教学对学生现代数学思想建立的启蒙意义
在小学阶段，学生学习的不仅仅是浮于表面的知识，更重要的是隐含在知识中的数学思想。只有将数学思想放在教学的出发点和落脚点上，学生才能从表面的知识中挖掘出数学思想，这样学习数学才是真正事半功倍的。虽然课标没有特别指出极限思想的教学要点，但是教师要充分理解数学教材内容，探究其中的渗透点，从无限思想出发感悟极限思想。
极限思想对小学阶段学生而言是有一定理解难度的，但是它也具有很大的启蒙意义，它是学生第一次接触到曲边图形而产生的思想，是串联小学、初高中和大学的纽带。在渗透极限思想的过程中，学生发展了抽象思维能力和逻辑推理能力，为自身数学思维的良好发展奠定了基础。