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摘 要现代化的教育理念、教育手段和教学素材对传统的高等数学教学产生了深刻影响，我们在新编的学历教育合训教材中尝试将高等数学教学内容、数学建模的思想和方法以及Mathematica软件进行有机的整合。本文介绍了如何充分利用Mathematica软件来激发学生的学习兴趣、改善教学效果的一些具体做法。实践证明，在Mathematica软件支持下，可以大大提高高等数学教学质量。
关键词 高等数学；Mathematica软件；教学改革；学历教育合训；教学质量
中图分类号G434 文献标识码A 文章编号：1671-489X（2007）04－0021-03
Practice to Improve Teaching of Higher Mathematics by Mathematica Software// Liu Xiongwei ，Li Jianping ，Hu Xiaorong
Abstract Modern educational ideas, educational tools and teaching materials have a profound impact on traditional teaching of Higher Mathematics .Our new-written textbook for schooling joint training tries to integrate the teaching content of Higher Mathematics, the ideas and methods of mathematical modeling and Mathematica software. This paper describes some of the specific practices of how to make full use of Mathematica software to stimulate their interest in learning,enhance the effectiveness of teaching in the pilot teaching practice of the schooling joint training . It has proved in practice that it will greatly improve the teaching quality of advanced mathematics under the support of Mathematica software,.
Key wordshigher mathematics; Mathematica software; teaching reform; schooling joint training;teaching quality
Author’s addressSchool of Science, National University of Defense Technology, Changsha, Hunan 410073
高等数学是在大学一年级开设的一门重要的基础课程，它内容多，抽象性强，一年级学生学起来困难较多，如何改善它的课堂教学效果、提高学生的学习效率和提高教学质量，一直是大学数学教师不断探讨的课题。随着科学技术的迅猛发展以及为培养适应信息社会和知识经济社会需求的各类合格人才和优秀人才，教育改革不断深入，数学教育成为素质教育非常重要的方面，现代化的教育理念、教育手段和教学素材对传统的高等数学教学产生了深刻影響。学历教育合训，作为我军新型指挥人才培养的一种重要形式，成为我校人才培养的主要任务。根据学历教育合训人才的培养目标和特点，我们在合训试点教材中将高等数学内容和Mathematica软件进行了有机的整合，同时在教学过程中融入了数学建模的思想和方法，对数学理论的产生和发展创造了软件模拟演示和动手实践的环境。通过两年多的教学实践和调查分析，我们发现Mathematica软件整合高等数学内容的教学不仅丰富了课堂教学的内容，激起了学生的学习兴趣，而且对于改善课堂教学效果、提高学生“用数学”的能力以及发展学生素质都起到了很大的促进作用。本文介绍我们在教学中如何运用Mathematica软件改善高等数学教学效果的一些具体做法。
1用Mathematica软件创设数学情境，加深对数学概念的理解
数学是人们在对客观世界定性把握和定量刻画的基础上，逐步抽象概念，形成方法和理论，并进行应用的过程，这个过程充满着观察、实验、模拟、猜测、矫正、调控、探索和创造等活动。其中数学概念是数学的基石，没有它，便无法构筑数学完美的理论体系。因此数学概念既是数学教学的重点，又是数学学习的核心，其根本任务就是准确地揭示概念的内涵与外延，使学生思考问题、推理证明有所依据，能够创见性地解决问题。概念的教学和学生的学习效果将直接影响对数学知识的理解、掌握和应用。
弗赖登塔尔认为，数学教育不能从那些现成的、完美的数学系统开始，不能采用向学生硬性嵌入抽象概念的方式进行，良好的数学情境是数学概念教学的前提。在数学教学过程中存在着大量的抽象性的概念和严密的推理，由于长期采用传统的教学手段，忽视数学情境的创设，使学生在学习过程中对基本概念不能清晰地理解，对内在的数学思想方法不能准确地把握，从而，难以达到预期的教学效果。
借助于Mathematica软件创设的数学环境，则可以在概念教学过程中，给学生建立一个动静结合的教学情境，使孤立的、静止的点、线成为连续变化的动态图形，引导学生用运动变化的观点思考问题；可以使抽象的数学概念以直观的形式出现，更好地帮助学生思考概念间的联系，促进新的概念的理解。我们借助Mathematica软件，用数值表格和直观图形引入了极限的概念；用动画演示了旋转体生成过程；用军事地形图或等值线图帮助学生理解了二元函数；用直观的图形和动画演示函数的泰勒级数与傅里叶级数的逼近过程；用越分越密的网格、人口密度的等值线图促生了积分概念等。通过形与数的有机结合，把运动和变化展现在学生面前，使学生从形象的认识提高到抽象的概括，让学生在接受相关知识时，在感观和思维之间架起了一座桥梁，有利于澄清一些容易混淆的概念和不易理解的抽象的内容。
这样，学生就在创设的情境中，通过将抽象的数学概念和理论进行过程化、直观化、实验化和可视化，消除了学生对数学知识的困惑，提高了学生学习的兴趣。而且在研讨数学情境的过程中，合训试点教材针对不同内容介绍了Mathematica软件的操作，使得学生在不断掌握数学知识的过程中，逐渐学会了数学软件的使用方法，为今后在学习和工作中自由地使用数学提供了基础。
2 用Mathematica软件强大的图形表现力丰富课堂教学效果
如何把一些重要的数学理论在学生头脑中树立起来，从现行的高等数学教材和传统的教学手段来讲有不少的欠缺。主要表现在两个方面：一是教材中用于分析、理解数学理论的素材贫乏、空洞，一般引入也比较生硬，而且只有语言的描述，这不仅不能调动学生学习数学的积极性，也不能深刻、完全地理解和掌握理论的实质，更谈不上自觉地灵活运用；二是传统的教学手段，如黑板、粉笔或幻灯、简易投影对图形、声音、物体运动变化无法达到比较理想的组合，不能充分展示事物矛盾的发展和变化的规律。
为了克服这些缺陷，在我们的合训试点教材中加强了使用Mathematica软件提供的环境模拟理论形成过程、实际问题的综合抽象过程，在教材中恰当地提供了形象直观的素材，使复杂的文字关系转化为简单明了的几何图形；而在课堂中，使用Mathematica课件适当地运用图形、动画和声音对学生的学习氛围进行有效的调节，通过直观形象化的教材内容分布和生动丰富的课堂教学，达到学生积极、主动地获取数学知识的目的。在整个教学过程中不仅可以充分地调动学生的学习兴趣，而且比传统的概念教学更便于学生深刻理解和灵活把握，并为其灵活运用打下良好基石。学生们普遍反映，这种教材的改革和教学方法的改进，使他们在学习数学的过程中有了茅塞顿开的效果。
3 用Mathematica软件培养学生的计算能力
准确计算是学生学习数学时必须具备和掌握的一项基本功，培养计算能力，从来就是数学教学培养的基本能力之一。如果计算能力不过关，就会严重影响学生学习数学的效果，如果计算的正确率提高了，学生的学习数学的兴趣和信心也会得到很大的提高。
不过在实施高等数学教学和学习的过程中，学生的计算能力的培养不同于中学口算、心算和基本计算技巧能力培养，以及运用手算和简单的计算工具，采用简单的数学模型，近似地、定性地解答，这样的解答不仅常常不能满足实际问题的需要，而且这种计算的训练还耗费了学生的精力，不利于创造性和实用性人才培养。随着计算机和计算技术的发展，求解数学问题有了功能强大的计算工具，如Mathematica、Maple、Matlab等软件的出现，尤其是符号计算系统Mathematica软件，其基本操作方式和符号表现形式与高等数学教学内容的统一性，使得運用计算机求解数学问题更加方便，这不仅大大扩展了运用高等数学求解数学问题的天地，也大大减轻了学生用于数学计算的精力，同时也让学生在通过软件的教学和实践计算检验中，举一反三，体会到学习数学的乐趣和软件强大的功能，从而激起学生结合Mathematica软件加深数学知识学习的动力。因此，在合训试点教材中，我们将运用数学软件求解数学问题能力的培养，完全融入高等数学的教材和课堂教学之中，通过这种形式的教学和学习大大增强学生的计算能力，并大大减轻他们用传统方法进行计算的负担。因此，在合训试点教学过程中，学生在体验了课堂计算演示和自己使用软件解决计算问题后，产生了拓展自己数学知识面和进一步要求加深数学概念和理论学习的兴趣。孔子说过：知之者不如好之者，好之者不如乐之者。只有学生主动参与学习活动，才能迸发出创造的火花，从而也就极大地提高了教学效果和教学质量，为实现教学目标提供了保障。
4 在Mathematica软件的建模过程中培养分析和解决问题的能力
计算机软件要在数学教学中发挥作用是在它与数学结合以后，各种新技术除了在为教学服务的同时，更应该重视其作为学生的研究工具。高等数学课程作为一门重要的基础课程，是从实践中抽象出来的知识体系，因此，在高等数学教学的过程中要让学生清楚数学是从实践中来，而且也要让学生能够应用到实践中去。要实现这个目标，建立数学模型并用它来解决实际问题就是最好的方法。
但是对学生这方面素质的培养并不是通过一两次数学建模竞赛和简单的培训就能达到的，应该把数学建模的思想、方法和实践融入到日常的课堂教学中。尤其高等数学作为大学生的入门基础课程，数学模型无处不在，每一个数学公式，每一个数学问题的解决办法可以说都是一个数学模型，教师应该用数学建模的观点引导学生分析、解决问题，并能提供一些实际问题让学生通过数学模型解决。为达到这一目标，合训试点教材中很好地将数学建模和数学实验的思想和方法融入到了教材和课程教学中，一方面利用Mathematica软件开展数学实验，将实验模拟过程贯穿于整个教学过程之中；另一方面运用数学知识和Mathematica工具解决自然科学、社会科学、工程和军事应用等应用中的实际问题，并在课后练习中都给出了用于数学实验和建模的实践问题。
在教学活动过程中，通过学生亲自解决一些实际问题，不仅让学生深刻体会到学习数学的用处，而且也学会如何将数学应用到自然科学、社会科学、工程技术、经济管理与军事指挥等领域，尤其在此过程中体会到了自己数学知识的缺乏或不足，从而大大激起了他们的求知欲和学习数学的兴趣和热情，从而在生动活泼的实践过程中掌握了数学。
5 结束语
将Mathematica 软件、高等数学教材和教学过程进行有机地整合，给传统的高等数学教学注入了活力，克服了传统教学的许多不足，如提供了数学的问题分析和解决的情境；为解决实际问题扫除了复杂繁琐的计算过程；突破了学生因为计算的复杂性而畏惧高等数学的心里障碍；突出了学生在学习高等数学过程中的教育主体地位，并加强了数学与各门学科之间的联系等。
我们在学历教育合训试点教学中，利用Mathematica软件改善高等数学教学效果，取得了一定的成效。如何深入地将Mathematica 软件与大学数学教学相结合，在现代信息技术的支撑下更好地改革传统的数学教学内容和教学方法，大力提高数学教学的质量和学生学习数学的效率，需要不断探索和研究。
关键词 高等数学；Mathematica软件；教学改革；学历教育合训；教学质量
中图分类号G434 文献标识码A 文章编号：1671-489X（2007）04－0021-03
Practice to Improve Teaching of Higher Mathematics by Mathematica Software// Liu Xiongwei ，Li Jianping ，Hu Xiaorong
Abstract Modern educational ideas, educational tools and teaching materials have a profound impact on traditional teaching of Higher Mathematics .Our new-written textbook for schooling joint training tries to integrate the teaching content of Higher Mathematics, the ideas and methods of mathematical modeling and Mathematica software. This paper describes some of the specific practices of how to make full use of Mathematica software to stimulate their interest in learning,enhance the effectiveness of teaching in the pilot teaching practice of the schooling joint training . It has proved in practice that it will greatly improve the teaching quality of advanced mathematics under the support of Mathematica software,.
Key wordshigher mathematics; Mathematica software; teaching reform; schooling joint training;teaching quality
Author’s addressSchool of Science, National University of Defense Technology, Changsha, Hunan 410073
高等数学是在大学一年级开设的一门重要的基础课程，它内容多，抽象性强，一年级学生学起来困难较多，如何改善它的课堂教学效果、提高学生的学习效率和提高教学质量，一直是大学数学教师不断探讨的课题。随着科学技术的迅猛发展以及为培养适应信息社会和知识经济社会需求的各类合格人才和优秀人才，教育改革不断深入，数学教育成为素质教育非常重要的方面，现代化的教育理念、教育手段和教学素材对传统的高等数学教学产生了深刻影響。学历教育合训，作为我军新型指挥人才培养的一种重要形式，成为我校人才培养的主要任务。根据学历教育合训人才的培养目标和特点，我们在合训试点教材中将高等数学内容和Mathematica软件进行了有机的整合，同时在教学过程中融入了数学建模的思想和方法，对数学理论的产生和发展创造了软件模拟演示和动手实践的环境。通过两年多的教学实践和调查分析，我们发现Mathematica软件整合高等数学内容的教学不仅丰富了课堂教学的内容，激起了学生的学习兴趣，而且对于改善课堂教学效果、提高学生“用数学”的能力以及发展学生素质都起到了很大的促进作用。本文介绍我们在教学中如何运用Mathematica软件改善高等数学教学效果的一些具体做法。
1用Mathematica软件创设数学情境，加深对数学概念的理解
数学是人们在对客观世界定性把握和定量刻画的基础上，逐步抽象概念，形成方法和理论，并进行应用的过程，这个过程充满着观察、实验、模拟、猜测、矫正、调控、探索和创造等活动。其中数学概念是数学的基石，没有它，便无法构筑数学完美的理论体系。因此数学概念既是数学教学的重点，又是数学学习的核心，其根本任务就是准确地揭示概念的内涵与外延，使学生思考问题、推理证明有所依据，能够创见性地解决问题。概念的教学和学生的学习效果将直接影响对数学知识的理解、掌握和应用。
弗赖登塔尔认为，数学教育不能从那些现成的、完美的数学系统开始，不能采用向学生硬性嵌入抽象概念的方式进行，良好的数学情境是数学概念教学的前提。在数学教学过程中存在着大量的抽象性的概念和严密的推理，由于长期采用传统的教学手段，忽视数学情境的创设，使学生在学习过程中对基本概念不能清晰地理解，对内在的数学思想方法不能准确地把握，从而，难以达到预期的教学效果。
借助于Mathematica软件创设的数学环境，则可以在概念教学过程中，给学生建立一个动静结合的教学情境，使孤立的、静止的点、线成为连续变化的动态图形，引导学生用运动变化的观点思考问题；可以使抽象的数学概念以直观的形式出现，更好地帮助学生思考概念间的联系，促进新的概念的理解。我们借助Mathematica软件，用数值表格和直观图形引入了极限的概念；用动画演示了旋转体生成过程；用军事地形图或等值线图帮助学生理解了二元函数；用直观的图形和动画演示函数的泰勒级数与傅里叶级数的逼近过程；用越分越密的网格、人口密度的等值线图促生了积分概念等。通过形与数的有机结合，把运动和变化展现在学生面前，使学生从形象的认识提高到抽象的概括，让学生在接受相关知识时，在感观和思维之间架起了一座桥梁，有利于澄清一些容易混淆的概念和不易理解的抽象的内容。
这样，学生就在创设的情境中，通过将抽象的数学概念和理论进行过程化、直观化、实验化和可视化，消除了学生对数学知识的困惑，提高了学生学习的兴趣。而且在研讨数学情境的过程中，合训试点教材针对不同内容介绍了Mathematica软件的操作，使得学生在不断掌握数学知识的过程中，逐渐学会了数学软件的使用方法，为今后在学习和工作中自由地使用数学提供了基础。
2 用Mathematica软件强大的图形表现力丰富课堂教学效果
如何把一些重要的数学理论在学生头脑中树立起来，从现行的高等数学教材和传统的教学手段来讲有不少的欠缺。主要表现在两个方面：一是教材中用于分析、理解数学理论的素材贫乏、空洞，一般引入也比较生硬，而且只有语言的描述，这不仅不能调动学生学习数学的积极性，也不能深刻、完全地理解和掌握理论的实质，更谈不上自觉地灵活运用；二是传统的教学手段，如黑板、粉笔或幻灯、简易投影对图形、声音、物体运动变化无法达到比较理想的组合，不能充分展示事物矛盾的发展和变化的规律。
为了克服这些缺陷，在我们的合训试点教材中加强了使用Mathematica软件提供的环境模拟理论形成过程、实际问题的综合抽象过程，在教材中恰当地提供了形象直观的素材，使复杂的文字关系转化为简单明了的几何图形；而在课堂中，使用Mathematica课件适当地运用图形、动画和声音对学生的学习氛围进行有效的调节，通过直观形象化的教材内容分布和生动丰富的课堂教学，达到学生积极、主动地获取数学知识的目的。在整个教学过程中不仅可以充分地调动学生的学习兴趣，而且比传统的概念教学更便于学生深刻理解和灵活把握，并为其灵活运用打下良好基石。学生们普遍反映，这种教材的改革和教学方法的改进，使他们在学习数学的过程中有了茅塞顿开的效果。
3 用Mathematica软件培养学生的计算能力
准确计算是学生学习数学时必须具备和掌握的一项基本功，培养计算能力，从来就是数学教学培养的基本能力之一。如果计算能力不过关，就会严重影响学生学习数学的效果，如果计算的正确率提高了，学生的学习数学的兴趣和信心也会得到很大的提高。
不过在实施高等数学教学和学习的过程中，学生的计算能力的培养不同于中学口算、心算和基本计算技巧能力培养，以及运用手算和简单的计算工具，采用简单的数学模型，近似地、定性地解答，这样的解答不仅常常不能满足实际问题的需要，而且这种计算的训练还耗费了学生的精力，不利于创造性和实用性人才培养。随着计算机和计算技术的发展，求解数学问题有了功能强大的计算工具，如Mathematica、Maple、Matlab等软件的出现，尤其是符号计算系统Mathematica软件，其基本操作方式和符号表现形式与高等数学教学内容的统一性，使得運用计算机求解数学问题更加方便，这不仅大大扩展了运用高等数学求解数学问题的天地，也大大减轻了学生用于数学计算的精力，同时也让学生在通过软件的教学和实践计算检验中，举一反三，体会到学习数学的乐趣和软件强大的功能，从而激起学生结合Mathematica软件加深数学知识学习的动力。因此，在合训试点教材中，我们将运用数学软件求解数学问题能力的培养，完全融入高等数学的教材和课堂教学之中，通过这种形式的教学和学习大大增强学生的计算能力，并大大减轻他们用传统方法进行计算的负担。因此，在合训试点教学过程中，学生在体验了课堂计算演示和自己使用软件解决计算问题后，产生了拓展自己数学知识面和进一步要求加深数学概念和理论学习的兴趣。孔子说过：知之者不如好之者，好之者不如乐之者。只有学生主动参与学习活动，才能迸发出创造的火花，从而也就极大地提高了教学效果和教学质量，为实现教学目标提供了保障。
4 在Mathematica软件的建模过程中培养分析和解决问题的能力
计算机软件要在数学教学中发挥作用是在它与数学结合以后，各种新技术除了在为教学服务的同时，更应该重视其作为学生的研究工具。高等数学课程作为一门重要的基础课程，是从实践中抽象出来的知识体系，因此，在高等数学教学的过程中要让学生清楚数学是从实践中来，而且也要让学生能够应用到实践中去。要实现这个目标，建立数学模型并用它来解决实际问题就是最好的方法。
但是对学生这方面素质的培养并不是通过一两次数学建模竞赛和简单的培训就能达到的，应该把数学建模的思想、方法和实践融入到日常的课堂教学中。尤其高等数学作为大学生的入门基础课程，数学模型无处不在，每一个数学公式，每一个数学问题的解决办法可以说都是一个数学模型，教师应该用数学建模的观点引导学生分析、解决问题，并能提供一些实际问题让学生通过数学模型解决。为达到这一目标，合训试点教材中很好地将数学建模和数学实验的思想和方法融入到了教材和课程教学中，一方面利用Mathematica软件开展数学实验，将实验模拟过程贯穿于整个教学过程之中；另一方面运用数学知识和Mathematica工具解决自然科学、社会科学、工程和军事应用等应用中的实际问题，并在课后练习中都给出了用于数学实验和建模的实践问题。
在教学活动过程中，通过学生亲自解决一些实际问题，不仅让学生深刻体会到学习数学的用处，而且也学会如何将数学应用到自然科学、社会科学、工程技术、经济管理与军事指挥等领域，尤其在此过程中体会到了自己数学知识的缺乏或不足，从而大大激起了他们的求知欲和学习数学的兴趣和热情，从而在生动活泼的实践过程中掌握了数学。
5 结束语
将Mathematica 软件、高等数学教材和教学过程进行有机地整合，给传统的高等数学教学注入了活力，克服了传统教学的许多不足，如提供了数学的问题分析和解决的情境；为解决实际问题扫除了复杂繁琐的计算过程；突破了学生因为计算的复杂性而畏惧高等数学的心里障碍；突出了学生在学习高等数学过程中的教育主体地位，并加强了数学与各门学科之间的联系等。
我们在学历教育合训试点教学中，利用Mathematica软件改善高等数学教学效果，取得了一定的成效。如何深入地将Mathematica 软件与大学数学教学相结合，在现代信息技术的支撑下更好地改革传统的数学教学内容和教学方法，大力提高数学教学的质量和学生学习数学的效率，需要不断探索和研究。