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特殊化思想是一种重要的数学思想，也是一种辩证的认知规律，历史上一些重大的科学发现，时常是由特殊引发的．在解答数学问题时，特殊化方法，常常表现为将一般问题特殊化处理或从特殊出发探索解题方向，以获得问题的解决，它是一种以“退”为“进”的解题策略．著名数学家华罗庚认为，善于“退”， 一直“退”到原始而不失重要性的地方，是学习数学的一个诀窍．其实质就是特殊化归，那么特殊思想有那些解题功能呢？具体体现在如下几方面．
1 求解功能
法国数学家希尔伯特曾说过：“在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用．”事实如此，有些数学问题若从特殊化角度去思考，会使问题快捷解决．
例1F1，F2是椭圆C： x2 8 + y2 4 =1的焦点，在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数 ．
分析： 本题直接求解花费时间，若取P点的极限位置——短轴的端点时，由∠F1PF2的范围即可判定．
当P点为短轴的端点时，有|PF1|=|PF2|=a=2 2 , c=2，易求出cos∠F1PF2=0，即 ∠F1PF2=90°．由于此时∠F1PF2最大，所以满足条件的点有2个．
例2设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn，求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有Sk2=(Sk)2成立．
分析： 确定一个等差数列，关键在于确定两个基本量，即首项a1和公差d．
考虑从特殊入手求解，取k=1,2，得S1=（S1）2
S4=（S2）2 ， 即a1=a21
4a1+6d=(2a1+d)2
解得a1=0
d=0或a1=0
d=6或a1=1
d=0或 a1=1
d=2
经检验 a1=0, d=6时，有S9≠(S3)2．
所以共有3个满足条件的无穷等差数列：
① {an}∶an=0; ② {an}∶an=1;
③ {an}∶an=2n-1．
2 验证功能
利用特例进行验证或反驳，是一种重要的辩证思维．特别是面对一个不太明了或错误的数学问题时，若能举出一个特例进行反驳或验证，常常收到意外效果．
例3已知点P是椭圆C： x2 8 + y2 4 =1上的动点，F1，F2为焦点，O为坐标原点，则 t= ||PF1|-|PF2|| |OP| 的取值范围是（）
（A） ［0,22 ］．（B） ［0,2］.
(C) ( 1 2 ,22 ］. (D) ［0, 2 ］．
分析： 此题可通过建立函数关系式求解．但若利用点P的特殊位置，验证答案，可避开繁琐的运算，使解答简捷化．
取点P在x轴和y轴上时，可求得t=0和 2 ，排除A、C．
又因为 0≤||PF1|-|PF2||≤2c,
b≤|OP|≤a，据此可推出 t＜ 2c b =2，排除B．
3 探路功能
当一般性问题的解答方法不明了，难以入手时，若能“退”到特殊情形，利用特殊探路的方法，常能指明解题方向．
例4设函数f(x)在（-∞,+∞)上满足f(2-x)=f(2+x), f(7-x)=f(7+x)，且在闭区间［0,7］上，只有f(1)=f(3)=0．
（Ⅰ) 试判断函数y=f(x)的奇偶性；
（Ⅱ） 试求方程f(x)=0在闭区间［-2005,2005］上的根的个数，并证明你的结论．
解析：（Ⅰ) 若用常规的定义推导，难以用上条件，因而采取特殊求索的方法．
由 f(2-x)=f(2+x), f(7-x)=f(7+x) 得函数 y=f(x)的对称轴为x=2和x=7．
因为 f(-3)=f(2-5)=f(2+5)=f(7)≠0，而 f(3)=0
所以 f(-3)≠f(3)，则 f(x)不是偶函数
由f(0)≠0，可知f(x)不是奇函数．
故函数y=f(x)是非奇非偶函数；
（Ⅱ） 由f(2-x)=f(2+x)
f(7-x)=f(7+x)
f(x)=f(4-x)
f(x)=f(14-x)
f(4-x)=f(14-x)f(x)=f(x+10)
又 f(3)=f(1)=0, f(11)=f(13)=
f(-7)=f(-9)=0
故f(x)在［0,10］和［-10,0］上均有有两个解，从而可知函数y=f(x)在［0,2005］上有402个解，在［-2005，0］上有400个解，所以函数y=f(x)在［-2005，2005］上有802个解．
评注： 解决周期函数问题，常常选取一个特殊的周期作为研究对象，然后再推广到一般情形．
例5设a1,a2,…,an为实数，如果它们中任意两数之和非负，那么对于满足x1+x2+…+xn=1的任意非负实数x1,x2,…,xn，有不等式a1x1+a2x2+…+anxn≥a1x21+a2x22+…+anx2n成立．请证明上述命题及逆命题．
分析： 若直接求解，不等式的变化方向不明了，尝试特殊探路．
当n=2时，左-右=a1x1(1-x1)+a2x2(1-x2)=(a1+a2)x1x2
当n=3时，左-右=a1x1(1-x1)+a2x2(1-x2)+a3x3(1-x3)=
(a1+a2)x1x2+(a1+a3)x1x3+(a2+a3)x2x3
从中受到启示，可得 (a1x1+a2x2+…+anxn)-(a1x21+a2x22+…+anx2n)=(a1+a2)x1x2+(a1+a3)x1x3+…+(as+at)xsst+…+(an-1+an)xn-1xn
其中 s,t=1,2,…,n,s≠t．
（1） 证原命题：因为 xs, xt≥0, as+at≥0(as+at)xsxt≥0，因为 原命题成立．
（2） 证逆命题：因为 (a1x1+a2x2+…+anxn)-(a1x21+a2x22+…+anx2n)≥0恒成立，
取xs=xt= 1 2 , xi=0, i=1,2,…,n, i≠s, i≠t，则有 （as+at)xsxt≥0
因为 xs, xt≥0, 所以 as+at≥0，即逆命题得证．
评注：本题解答从特殊（取n=1,2情形）入手，投石问路，寻找解题突破口，对于逆命题的证明，亦是通过对xi取特殊值而得证．
4 拓展功能
在特定条件下的数学问题，通过反思，将条件一般化处理，有时能引申推广，获取更一般的结论．
例6椭圆的中心是原点O，它的短轴长为
2 3 ，相应于焦点F（c,0) (c＞0)的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过A点的直线与椭圆相交于P、Q两点，设AP =λAQ(λ＞1)，过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明: FM =-λFQ ．
分析： 此题只有在特定条件下，证明F、M、Q三点共线问题，如果将条件置于一般情形之中进行思考，会获得惊喜．
结论1：设椭圆（或双曲线）C： x2 a2 + y2 b2 =1 (a＞b＞0) （或x2 a2 + y2 b2 =1 (a＞0, b＞0))的焦点为F（c,0) (c＞0)，相应于焦点F的准线l与x轴相交于点A，过点A的直线交曲线C于点P、Q，过P且平行于准线l的直线与曲线C交于另一点M，则M、F、Q三点共线．
结论2：设抛物线C：y2=2px (p＞0)的焦点为F，准线l与x轴相交于点A，过点A的直线交抛物线C于点P、Q，过P且平行于准线l的直线与抛物线C交于另一点M，则M、F、Q三点共线．
下面仅对结论2进行证明
证明： 设P（x1,y1), Q(x2,y2)，
则 M（x1,-y1),
且 AP =（x1+ p 2 ,y1), AQ =(x2+ p 2 ,y2)
设 AP =λAQ ，根据题意λ≠1，有
x1+ p 2 =λ(x2+ p 2 )
y1=λy2
y21=2px1
y22=2px2
消元化为 λ（λ-1）x2= p 2 (λ-1),
解得 x2= p 2λ
则 FM =（x1- p 2 , -y1)=
(λ2x2- p 2 ,-λy2)=-λ( p 2λ - p 2 ,y2)
FQ =(x2- p 2 ,y2)=( p 2λ - p 2 ,y2)
由 FM =-λFQ 可知，M、F、Q三点共线．
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
1 求解功能
法国数学家希尔伯特曾说过：“在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用．”事实如此，有些数学问题若从特殊化角度去思考，会使问题快捷解决．
例1F1，F2是椭圆C： x2 8 + y2 4 =1的焦点，在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数 ．
分析： 本题直接求解花费时间，若取P点的极限位置——短轴的端点时，由∠F1PF2的范围即可判定．
当P点为短轴的端点时，有|PF1|=|PF2|=a=2 2 , c=2，易求出cos∠F1PF2=0，即 ∠F1PF2=90°．由于此时∠F1PF2最大，所以满足条件的点有2个．
例2设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn，求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有Sk2=(Sk)2成立．
分析： 确定一个等差数列，关键在于确定两个基本量，即首项a1和公差d．
考虑从特殊入手求解，取k=1,2，得S1=（S1）2
S4=（S2）2 ， 即a1=a21
4a1+6d=(2a1+d)2
解得a1=0
d=0或a1=0
d=6或a1=1
d=0或 a1=1
d=2
经检验 a1=0, d=6时，有S9≠(S3)2．
所以共有3个满足条件的无穷等差数列：
① {an}∶an=0; ② {an}∶an=1;
③ {an}∶an=2n-1．
2 验证功能
利用特例进行验证或反驳，是一种重要的辩证思维．特别是面对一个不太明了或错误的数学问题时，若能举出一个特例进行反驳或验证，常常收到意外效果．
例3已知点P是椭圆C： x2 8 + y2 4 =1上的动点，F1，F2为焦点，O为坐标原点，则 t= ||PF1|-|PF2|| |OP| 的取值范围是（）
（A） ［0,22 ］．（B） ［0,2］.
(C) ( 1 2 ,22 ］. (D) ［0, 2 ］．
分析： 此题可通过建立函数关系式求解．但若利用点P的特殊位置，验证答案，可避开繁琐的运算，使解答简捷化．
取点P在x轴和y轴上时，可求得t=0和 2 ，排除A、C．
又因为 0≤||PF1|-|PF2||≤2c,
b≤|OP|≤a，据此可推出 t＜ 2c b =2，排除B．
3 探路功能
当一般性问题的解答方法不明了，难以入手时，若能“退”到特殊情形，利用特殊探路的方法，常能指明解题方向．
例4设函数f(x)在（-∞,+∞)上满足f(2-x)=f(2+x), f(7-x)=f(7+x)，且在闭区间［0,7］上，只有f(1)=f(3)=0．
（Ⅰ) 试判断函数y=f(x)的奇偶性；
（Ⅱ） 试求方程f(x)=0在闭区间［-2005,2005］上的根的个数，并证明你的结论．
解析：（Ⅰ) 若用常规的定义推导，难以用上条件，因而采取特殊求索的方法．
由 f(2-x)=f(2+x), f(7-x)=f(7+x) 得函数 y=f(x)的对称轴为x=2和x=7．
因为 f(-3)=f(2-5)=f(2+5)=f(7)≠0，而 f(3)=0
所以 f(-3)≠f(3)，则 f(x)不是偶函数
由f(0)≠0，可知f(x)不是奇函数．
故函数y=f(x)是非奇非偶函数；
（Ⅱ） 由f(2-x)=f(2+x)
f(7-x)=f(7+x)
f(x)=f(4-x)
f(x)=f(14-x)
f(4-x)=f(14-x)f(x)=f(x+10)
又 f(3)=f(1)=0, f(11)=f(13)=
f(-7)=f(-9)=0
故f(x)在［0,10］和［-10,0］上均有有两个解，从而可知函数y=f(x)在［0,2005］上有402个解，在［-2005，0］上有400个解，所以函数y=f(x)在［-2005，2005］上有802个解．
评注： 解决周期函数问题，常常选取一个特殊的周期作为研究对象，然后再推广到一般情形．
例5设a1,a2,…,an为实数，如果它们中任意两数之和非负，那么对于满足x1+x2+…+xn=1的任意非负实数x1,x2,…,xn，有不等式a1x1+a2x2+…+anxn≥a1x21+a2x22+…+anx2n成立．请证明上述命题及逆命题．
分析： 若直接求解，不等式的变化方向不明了，尝试特殊探路．
当n=2时，左-右=a1x1(1-x1)+a2x2(1-x2)=(a1+a2)x1x2
当n=3时，左-右=a1x1(1-x1)+a2x2(1-x2)+a3x3(1-x3)=
(a1+a2)x1x2+(a1+a3)x1x3+(a2+a3)x2x3
从中受到启示，可得 (a1x1+a2x2+…+anxn)-(a1x21+a2x22+…+anx2n)=(a1+a2)x1x2+(a1+a3)x1x3+…+(as+at)xsst+…+(an-1+an)xn-1xn
其中 s,t=1,2,…,n,s≠t．
（1） 证原命题：因为 xs, xt≥0, as+at≥0(as+at)xsxt≥0，因为 原命题成立．
（2） 证逆命题：因为 (a1x1+a2x2+…+anxn)-(a1x21+a2x22+…+anx2n)≥0恒成立，
取xs=xt= 1 2 , xi=0, i=1,2,…,n, i≠s, i≠t，则有 （as+at)xsxt≥0
因为 xs, xt≥0, 所以 as+at≥0，即逆命题得证．
评注：本题解答从特殊（取n=1,2情形）入手，投石问路，寻找解题突破口，对于逆命题的证明，亦是通过对xi取特殊值而得证．
4 拓展功能
在特定条件下的数学问题，通过反思，将条件一般化处理，有时能引申推广，获取更一般的结论．
例6椭圆的中心是原点O，它的短轴长为
2 3 ，相应于焦点F（c,0) (c＞0)的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过A点的直线与椭圆相交于P、Q两点，设AP =λAQ(λ＞1)，过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明: FM =-λFQ ．
分析： 此题只有在特定条件下，证明F、M、Q三点共线问题，如果将条件置于一般情形之中进行思考，会获得惊喜．
结论1：设椭圆（或双曲线）C： x2 a2 + y2 b2 =1 (a＞b＞0) （或x2 a2 + y2 b2 =1 (a＞0, b＞0))的焦点为F（c,0) (c＞0)，相应于焦点F的准线l与x轴相交于点A，过点A的直线交曲线C于点P、Q，过P且平行于准线l的直线与曲线C交于另一点M，则M、F、Q三点共线．
结论2：设抛物线C：y2=2px (p＞0)的焦点为F，准线l与x轴相交于点A，过点A的直线交抛物线C于点P、Q，过P且平行于准线l的直线与抛物线C交于另一点M，则M、F、Q三点共线．
下面仅对结论2进行证明
证明： 设P（x1,y1), Q(x2,y2)，
则 M（x1,-y1),
且 AP =（x1+ p 2 ,y1), AQ =(x2+ p 2 ,y2)
设 AP =λAQ ，根据题意λ≠1，有
x1+ p 2 =λ(x2+ p 2 )
y1=λy2
y21=2px1
y22=2px2
消元化为 λ（λ-1）x2= p 2 (λ-1),
解得 x2= p 2λ
则 FM =（x1- p 2 , -y1)=
(λ2x2- p 2 ,-λy2)=-λ( p 2λ - p 2 ,y2)
FQ =(x2- p 2 ,y2)=( p 2λ - p 2 ,y2)
由 FM =-λFQ 可知，M、F、Q三点共线．
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文