论文部分内容阅读
浙江丽水青田船寮高级中学 323911
摘要：本文针对2008年高考试卷中涉及的新课程增加的算法初步、统计中的茎叶图、立体几何中的三视图、概率中的几何概型、定积分这五个方面的试题特点进行归纳总结，以期对新课程实验区的高考复习有所帮助.
关键词：算法；茎叶图；三视图；几何概型；定积分
2008年是广东、山东、海南、宁夏进入新课程实验后的第二次高考，今年江苏也进入了新课程高考. 新课程试卷处处体现了“新课标”的特点，并在试题的设置上进行了大胆尝试，几乎所有新增的知识内容都体现了这一点，对新课程中增加的算法初步、统计中的茎叶图、立体几何中的三视图、概率中的几何概型及定积分等知识都进行了考查. 以下便是对这几方面试题考查特点的归纳总结.
[⇩]对算法的考查
例1 （2008广东）阅读图1所示的程序框图，若输入m=4，n=6，则输出a=，i=. （注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”）
[开始][输入m，n][i=1][a=m×i][i=i+1][被n整除][否][是][输出a，i][结束]
图1
解析 因m=4，n=6，则当i=1时，a=m·i=4，6不能整除4，
所以i=2，a=m·i=8，6不能整除8，
所以i=3，a=m·i=12，6能整除12.
所以a=12，i=3.
点评 本题考查了循环语句，输入要结束程序的数据，就必须通过n整除a的条件运算，而同时m也整除a，那么a的最小值应为m和n的最小公倍数12，即此时有i=3.
例2 （2008江苏）某地区为了解70～80岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查，表1是这50位老人睡眠时间的频率分布表.
表1
[序号i\&分组
（睡眠时间）\&组中值
（Gi ）\&频数
（人数）\&频率
（Fi）\&1\&［4，5）\&4.5\&6\&0.12\&2\&［5，6）\&5.5\&10\&0.20\&3\&［6，7）\&6.5\&20\&0.40\&4\&［7，8）\&7.5\&10\&0.20\&5\&［8，9）\&8.5\&4\&0.08\&]
在对上述统计数据的分析中的一部分计算见算法流程图2，则输出的S值为 .
[开始][S←0][i←0][输入Gi，Fi][i←i+1][S←S+Gi·Fi][N][i≥5][Y][输出S][结束]
图2
解析 由算法流程图可知S为5组数据的组中值与相应频率之积的和，即
S=G1F1+G2F2+G3F3+G4F4+G5F5
=4.5×0.12+5.5×0.20+6.5×0.40+7.5×0.20+8.5×0.08=6.42.
点评本题以老年人日平均睡眠时间为背景，运用循环结构，计算组中值与相应频率之积的和，具有一定的实际意义. 算法是新课程中新增的内容，从近两年看，新课程实验区每套试卷对算法流程图都进行了考查，因而算法已成为新高考中的一个热点内容，应引起高度重视.
[⇩]对茎叶图的考查
例3 （2008山东）图3是根据《山东统计年鉴2007》中的资料制成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图. 图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字. 从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为A. 304.6 B. 303.6
C. 302.6 D. 301.6
解析 从图3可以得到1997至2006年我省的城镇居民百姓家庭人口数的平均数为（290×4+15+300×2+8+310×4+13）÷10=303.6
点评 本题以城镇居民百户家庭人口数为背景，利用茎叶图直观地看到10个数字分布的特点，考查了茎叶图的有关知识，从而计算出城镇居民百户家庭人口数的平均数.
例4 （2008海南、宁夏）从甲、乙两个品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下
甲品种：271 273 280 285 285 287 292 294 295
301 303 303 307 308 310 314 319 323 325
325 328 331 334 337 352
乙品种：284 292 295 304 306 307 312 313 315
315 316 318 318 320 322 322 324 327 329
331 333 336 337 343 356
由以上数据设计了一个茎叶图（如图4）：
根据上面的茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：
解析 ①乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度；
②甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散（或乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中）.
③甲品种棉花的纤维长度的中位数为307 mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318 mm；
④乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近），甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀.
点评 本题考查了统计中的茎叶图知识，要求学生对数据作出统计分析. 对数据的处理是新高考要求的，2007年广东高考卷以生产中的节能减耗为背景，考查了利用统计中的最小二乘法求线性回归方程的能力. 因此，对统计知识的考查仍然要予以重视.
[⇩]对三视图的考查
例5 （2008广东）将正三棱柱截去三个角（如图5-1所示，A，B，C分别是△GHI三边的中点）得到几何体如图5-2，则该几何体按图5-2所示方向的侧视图（或称左视图）为（）
[H][A][G][I][C][B][E][F][D][侧视][A][B][C][E][F][D][图5-1][图5-2]
[E][B][A B C D][E][B][E][B][B][E]
解析 根据三视图的定义，它是把图5-2向右面侧正面作正投影所得到的平面图形. 显然，在本题所得到的几何体中，平面ADE与左视图所在的侧立投影面是相互垂直的，因为图5-1是正三棱柱，且AE在平面EG中，所以在左视图中，AE应为竖直的. 故答案选A.
点评 三视图是新课程的一个新增内容，画三视图的关键是要理解定义，要理解“长对正、高平齐、宽相等”的作图原则，注意虚实线的区别.
例6 （2008海南、宁夏）在下面的三个图中，图6-1是一个长方体截去一个角所得的多面体的直观图. 它的正视图和侧视图分别为图6-2、图6-3（单位：cm）.
（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
（2）按照给出的尺寸，求出该多面体的体积；
（3）在所给直观图中连结BC′，证明：BC′∥面EFG.
[D′][G][F][E][A][B][C][C′][B′][2][6][2][2][4][4][图6-1][图6-2][图6-3][D]
解析 （1）俯视图
[2][2][4][6][（俯视图）]
（2）所求多面体的体积V=V长方体-V正三棱锥=4×4×6-×
×2×2×2=（cm3）
（3）如图6-4，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，连结AD′，则AD′∥BC′. 因为E，G分别为AA′，A′D′中点，所以AD′∥EG，从而EG∥BC′. 又BC′⊄平面EFG，所以BC′∥面EFG.
[D′][G][F][A′][E][A][B][C][B′][C′][D]
图6-4
点评 本题考查了长方体体积的计算、三视图及直观图中线面间的关系. 解题时要充分注意直观图与三视图线段长度的对应数据. 三视图是新课程中的新内容，也是新高考的热点之一，应予以足够的重视.
[⇩]对几何概型的考查
例7 （2008江苏）在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向区域D中随机投一点，则所投点在E中的概率是.
[B][y][x][C][O][D][A]
图7
解析 由已知条件得：D=｛（x，y）x≤2，y≤2｝，E=（x，y）x2
+y2≤1.
区域D表示边长为4的正方形的内部（含边界），区域E表示单位圆及其内部（如图7所示），因此，由几何概型公式得P===.
点评 本题考查了几何概型的概率，是新课程的新增内容. 本题属容易题，只需掌握几何概型公式即可. 在2007年的海南卷中，几何概型与二项分布巧妙地结合在一起，给人耳目一新的感觉；尽管比较简单，但其命题的方向和命题的艺术却是应该引起注意的.
[⇩]对定积分的考查
例8 （2008海南、宁夏）由直线x=，x=2，曲线y=及x轴所围图形的面积是（）
A. B. C. ln2D. 2ln2
解析 直线x=，x=2，曲线y=及x轴所围成的图形如图8所示.
[2][1][][2][O][x][y]
图8
因为（lnx）′=，所以S=[][]dx=lnx|=ln2－ln=2ln2.
故答案选D.
点评 本题考查了定积分求曲边梯形面积的方法，旨在考查学生对定积分概念的初步了解及简单应用. 2008年的山东理科卷也对求定积分进行了考查，这说明新课程对作为高等数学基础知识的定积分非常重视.
综上所述，2008年新课程高考试题对新增内容力求在平易中考查能力，对算法初步、统计中的茎叶图、立体几何中的三视图、概率中的几何概型、微积分的基本定理、积分等内容都有所涉及. 算法重点考查程序框图，内容涉及循环语句，而且是必考题，题型主要为客观题. 统计考查了求线性回归方程、茎叶图，题型有客观题，也有主观题. 考查三视图的题型大多为选择题或填空题，内容为三视图的画法及与三视图相关的直观图的面积、体积或线面关系等，这类题是新课程高考的必考题. 对几何概型的考查只有2007年的海南、宁夏卷及2008年的江苏卷有所涉及. 2008年的山东卷及海南、宁夏卷则涉及了对微积分的基本定理等内容的考查，且属基本概念题. 总之，2008年新课程数学高考对新增内容的考查十分全面，试卷的设计也符合新课标和时代的要求，有利于新课程的实施，对新课程教学起到良好的导向作用.
摘要：本文针对2008年高考试卷中涉及的新课程增加的算法初步、统计中的茎叶图、立体几何中的三视图、概率中的几何概型、定积分这五个方面的试题特点进行归纳总结，以期对新课程实验区的高考复习有所帮助.
关键词：算法；茎叶图；三视图；几何概型；定积分
2008年是广东、山东、海南、宁夏进入新课程实验后的第二次高考，今年江苏也进入了新课程高考. 新课程试卷处处体现了“新课标”的特点，并在试题的设置上进行了大胆尝试，几乎所有新增的知识内容都体现了这一点，对新课程中增加的算法初步、统计中的茎叶图、立体几何中的三视图、概率中的几何概型及定积分等知识都进行了考查. 以下便是对这几方面试题考查特点的归纳总结.
[⇩]对算法的考查
例1 （2008广东）阅读图1所示的程序框图，若输入m=4，n=6，则输出a=，i=. （注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”）
图1
解析 因m=4，n=6，则当i=1时，a=m·i=4，6不能整除4，
所以i=2，a=m·i=8，6不能整除8，
所以i=3，a=m·i=12，6能整除12.
所以a=12，i=3.
点评 本题考查了循环语句，输入要结束程序的数据，就必须通过n整除a的条件运算，而同时m也整除a，那么a的最小值应为m和n的最小公倍数12，即此时有i=3.
例2 （2008江苏）某地区为了解70～80岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查，表1是这50位老人睡眠时间的频率分布表.
表1
[序号i\&分组
（睡眠时间）\&组中值
（Gi ）\&频数
（人数）\&频率
（Fi）\&1\&［4，5）\&4.5\&6\&0.12\&2\&［5，6）\&5.5\&10\&0.20\&3\&［6，7）\&6.5\&20\&0.40\&4\&［7，8）\&7.5\&10\&0.20\&5\&［8，9）\&8.5\&4\&0.08\&]
在对上述统计数据的分析中的一部分计算见算法流程图2，则输出的S值为 .
图2
解析 由算法流程图可知S为5组数据的组中值与相应频率之积的和，即
S=G1F1+G2F2+G3F3+G4F4+G5F5
=4.5×0.12+5.5×0.20+6.5×0.40+7.5×0.20+8.5×0.08=6.42.
点评本题以老年人日平均睡眠时间为背景，运用循环结构，计算组中值与相应频率之积的和，具有一定的实际意义. 算法是新课程中新增的内容，从近两年看，新课程实验区每套试卷对算法流程图都进行了考查，因而算法已成为新高考中的一个热点内容，应引起高度重视.
[⇩]对茎叶图的考查
例3 （2008山东）图3是根据《山东统计年鉴2007》中的资料制成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图. 图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字. 从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为A. 304.6 B. 303.6
C. 302.6 D. 301.6
解析 从图3可以得到1997至2006年我省的城镇居民百姓家庭人口数的平均数为（290×4+15+300×2+8+310×4+13）÷10=303.6
点评 本题以城镇居民百户家庭人口数为背景，利用茎叶图直观地看到10个数字分布的特点，考查了茎叶图的有关知识，从而计算出城镇居民百户家庭人口数的平均数.
例4 （2008海南、宁夏）从甲、乙两个品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下
甲品种：271 273 280 285 285 287 292 294 295
301 303 303 307 308 310 314 319 323 325
325 328 331 334 337 352
乙品种：284 292 295 304 306 307 312 313 315
315 316 318 318 320 322 322 324 327 329
331 333 336 337 343 356
由以上数据设计了一个茎叶图（如图4）：
根据上面的茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：
解析 ①乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度；
②甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散（或乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中）.
③甲品种棉花的纤维长度的中位数为307 mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318 mm；
④乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近），甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀.
点评 本题考查了统计中的茎叶图知识，要求学生对数据作出统计分析. 对数据的处理是新高考要求的，2007年广东高考卷以生产中的节能减耗为背景，考查了利用统计中的最小二乘法求线性回归方程的能力. 因此，对统计知识的考查仍然要予以重视.
[⇩]对三视图的考查
例5 （2008广东）将正三棱柱截去三个角（如图5-1所示，A，B，C分别是△GHI三边的中点）得到几何体如图5-2，则该几何体按图5-2所示方向的侧视图（或称左视图）为（）
解析 根据三视图的定义，它是把图5-2向右面侧正面作正投影所得到的平面图形. 显然，在本题所得到的几何体中，平面ADE与左视图所在的侧立投影面是相互垂直的，因为图5-1是正三棱柱，且AE在平面EG中，所以在左视图中，AE应为竖直的. 故答案选A.
点评 三视图是新课程的一个新增内容，画三视图的关键是要理解定义，要理解“长对正、高平齐、宽相等”的作图原则，注意虚实线的区别.
例6 （2008海南、宁夏）在下面的三个图中，图6-1是一个长方体截去一个角所得的多面体的直观图. 它的正视图和侧视图分别为图6-2、图6-3（单位：cm）.
（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
（2）按照给出的尺寸，求出该多面体的体积；
（3）在所给直观图中连结BC′，证明：BC′∥面EFG.
解析 （1）俯视图
（2）所求多面体的体积V=V长方体-V正三棱锥=4×4×6-×
×2×2×2=（cm3）
（3）如图6-4，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，连结AD′，则AD′∥BC′. 因为E，G分别为AA′，A′D′中点，所以AD′∥EG，从而EG∥BC′. 又BC′⊄平面EFG，所以BC′∥面EFG.
图6-4
点评 本题考查了长方体体积的计算、三视图及直观图中线面间的关系. 解题时要充分注意直观图与三视图线段长度的对应数据. 三视图是新课程中的新内容，也是新高考的热点之一，应予以足够的重视.
[⇩]对几何概型的考查
例7 （2008江苏）在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向区域D中随机投一点，则所投点在E中的概率是.
图7
解析 由已知条件得：D=｛（x，y）x≤2，y≤2｝，E=（x，y）x2
+y2≤1.
区域D表示边长为4的正方形的内部（含边界），区域E表示单位圆及其内部（如图7所示），因此，由几何概型公式得P===.
点评 本题考查了几何概型的概率，是新课程的新增内容. 本题属容易题，只需掌握几何概型公式即可. 在2007年的海南卷中，几何概型与二项分布巧妙地结合在一起，给人耳目一新的感觉；尽管比较简单，但其命题的方向和命题的艺术却是应该引起注意的.
[⇩]对定积分的考查
例8 （2008海南、宁夏）由直线x=，x=2，曲线y=及x轴所围图形的面积是（）
A. B. C. ln2D. 2ln2
解析 直线x=，x=2，曲线y=及x轴所围成的图形如图8所示.
图8
因为（lnx）′=，所以S=[][]dx=lnx|=ln2－ln=2ln2.
故答案选D.
点评 本题考查了定积分求曲边梯形面积的方法，旨在考查学生对定积分概念的初步了解及简单应用. 2008年的山东理科卷也对求定积分进行了考查，这说明新课程对作为高等数学基础知识的定积分非常重视.
综上所述，2008年新课程高考试题对新增内容力求在平易中考查能力，对算法初步、统计中的茎叶图、立体几何中的三视图、概率中的几何概型、微积分的基本定理、积分等内容都有所涉及. 算法重点考查程序框图，内容涉及循环语句，而且是必考题，题型主要为客观题. 统计考查了求线性回归方程、茎叶图，题型有客观题，也有主观题. 考查三视图的题型大多为选择题或填空题，内容为三视图的画法及与三视图相关的直观图的面积、体积或线面关系等，这类题是新课程高考的必考题. 对几何概型的考查只有2007年的海南、宁夏卷及2008年的江苏卷有所涉及. 2008年的山东卷及海南、宁夏卷则涉及了对微积分的基本定理等内容的考查，且属基本概念题. 总之，2008年新课程数学高考对新增内容的考查十分全面，试卷的设计也符合新课标和时代的要求，有利于新课程的实施，对新课程教学起到良好的导向作用.