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【摘要】 本文对一道中考题进行解法探究.
【关键词】 多解；探究
问题：（2013·镇江）如图，五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE∥CD，∠A=∠E = 120°，AB = CD = 1，AE = 2，则五边形ABCDE的面积等于 .
在平时学习过程中，我们经常会遇到求不规则图形的面积. 通常来讲，解好此类问题要善于把不规则图形向规则图形去转化，把陌生的图形演变为我们比较熟悉的图形进行处理.
解法一 如图1，延长DC，AB交于点F，作AG∥DE交DF于点G.∵ AE∥CD，∠BAE = ∠AED = 120°，∴四边形AFDE是等腰梯形，且∠F = ∠D = 60°，△AFG是等边三角形，四边形AGDE是平行四边形. 设BF = x， ∵在Rt△BCF中，∠BCF = 90° - ∠F = 30°，∴ FC = 2x，FD = 2x + 1. ∵？荀AGDE中，DG = AE = 2，∴ FG = 2x - 1. ∵ △AFG是等边三角形，AF = FG，∴ x + 1 = 2x - 1，解得x = 2.
在Rt△BCF中，BC = BF·tan F = 2■，则S△BCF = ■BF·BC = 2■. 作AH⊥DF，垂足为点H. 则AH = AF·sin F = ■，则S梯形AFDE = ■（AE + DF）·AH = ■.
所以S五边形ABCDE = S梯形AFDE - S△BCF = ■ - 2■ = ■.
解法一源自试题答案，其将题图补全为等腰梯形，计算出等腰梯形AEDF和Rt△BCF的面积，通过作差求解. 把不规则的图形补全为规则图形，利用补全后大图形的面积减去补全增加的各小图形的面积求解，运用了补全求差的方法，此外还可将图形补全为三角形求解.
解法二 如图2，延长BA，DE相交于点G，延长BC，ED相交于点F，作GH⊥AE，垂足为H，作DN⊥CF，垂足为N. 由∠BAE = ∠AED = 120°，∠B = 90°，AE∥CD，易得△AGE为等边三角形，∠F = ∠DCF = 30°，△CDF为等腰三角形. 在△AGE中，AG = AE = 2，GH = AG·sin∠GAE = ■，可得S△AGE = ■AE·GH = ■. 在△CDF中，DN = CD·sin∠DCF = ■，CF = 2CN = 2CD·cos∠DCF = ■，可得S△CDF = ■CF·DN = ■. 在Rt△GBF中，GB = GA + AB = 3，BF = GB ÷ tan F = 3■，可得S△GBF = ■BF·GB = ■■.
所以S五边形ABCDE = S△GBF - S△AGE - S△CDF = ■■.
解法三 如图3，延长CB，EA相交于点G，延长BC，ED相交于点F，作EH⊥BC，垂足为H，作DN⊥GF，垂足为N. 易得∠G = ∠F = 30°，△GEF和△CDF是等腰三角形.
在Rt△ABG中，AG = AB ÷ sin G = 2，BG = AG·cos G = ■，可得S△ABG = ■AB·GB = ■■.
在△EGF中，GE = GA + AE = 4，EH = GE·sin∠EGH = 2，GF = 2GH = 2GE·cos∠EGH = 4■.
可得S△EGF = ■GF·EH = 4■.见解法二，易得S△CDF = ■. 所以S五边形ABCDE = S△EGF - S△ABG - S△CDF = ■■.
解法四 如图4，延长AB，DC相交于点F，延长BA，DE相交于点G，作DH⊥GF，垂足为H. 易得△AGE为等边三角形，△DGF为等边三角形，设FD = x，则BF = x - 3，FC = x - 1，FH = ■. ∵ BC∥HD，∴ ■ = ■，即■ = ■，解得x = 5，∴ BF = 2，FC = 4，根据勾股定理可得BC = 2■，∴ S△BFC = 2■. 易得等边三角形DGF的面积为■■. 见解法二，易得S△GAE = ■.
所以S五边形ABCDE = S△DGF - S△BCF - S△GAE = ■■.
为求不规则图形的面积，也可考虑用分割求和法，将其分割成若干个规则图形，再把这些规则图形的面积相加求出不规则图形的面积.
解法五 如图5，作CF∥AB交DE于点F，连接AF，作EG⊥AF，垂足为G，作FH⊥CD，垂足为H. ∵ AE∥CD，∠AEF = 120°，∴∠D = 60°. ∵AB⊥BC，∴∠B = 90°，又CF∥AB，得∠BCF = 90°. 在五边形ABCDE中，∠BCD = 540° - ∠BAE - ∠AEF - ∠D - ∠ABC = 150°，∴ ∠FCD = ∠BCD - ∠BCF = 60°，可得△CDF为等边三角形. ∴ CF = CD = 1，FH = CF·sin∠FCD = ■，S△CDF = ■CD·FH = ■.
∵ CF = AB = 1，且CF∥AB，∴四边形ABCF是平行四邊形，又∠ABC = 90°，∴？荀ABCF是矩形. ∴ ∠EAF = ∠BAE - ∠BAF = 30°，∴∠EFA = 180° - ∠AEF - ∠EAF = 30°，得△AEF为等腰三角形，EG = AE·sin∠EAG = 1，AF = 2AG = 2AE·cos∠EAG = 2■，∴ S△AEF = ■AF·EG = ■，S矩形ABCF = AB·AF = 2■.
所以S五边形ABCDE = S△CDF + S△AEF + S矩形ABCF = ■■.
还可将图形分割为图6、7形式求解，解题思路如下：
解法六 如图6，作EF∥AB交BC于点F，CG∥AB交DE于点G.
易证得：梯形ABFE和梯形CGEF均为直角梯形，△CGD为等边三角形. 结合题目条件，参照以上解法，添加适当辅助线，易求得：
S梯形ABEF = ■■，S梯形CGEF = ■■，S△CGD = ■■.
所以S五边形ABCDE = S梯形ABFE + S梯形CGEF + S△CGD = ■■.
解法七 如图7，作BF∥AE交DE于点F，CG∥DE交BF于点G.
易证：梯形ABFE为等腰梯形，△BCG为等腰三角形，四边形CDFG为平行四边形. 结合题目条件，参照以上解法，添加适当辅助线，易求得：
S梯形ABFE = ■■，S△BCG = ■，S？荀CDFG = ■.
所以 S五边形ABCDE = S梯形ABFE + S△BCG + S？荀CDFG = ■■.
教学中适当地对数学问题进行“一题多解”， 可以激发学生的求知欲，加深对所学知识的理解， 培养学生的思维品质，发展学生的创造性思维.
【关键词】 多解；探究
问题：（2013·镇江）如图，五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE∥CD，∠A=∠E = 120°，AB = CD = 1，AE = 2，则五边形ABCDE的面积等于 .
在平时学习过程中，我们经常会遇到求不规则图形的面积. 通常来讲，解好此类问题要善于把不规则图形向规则图形去转化，把陌生的图形演变为我们比较熟悉的图形进行处理.
解法一 如图1，延长DC，AB交于点F，作AG∥DE交DF于点G.∵ AE∥CD，∠BAE = ∠AED = 120°，∴四边形AFDE是等腰梯形，且∠F = ∠D = 60°，△AFG是等边三角形，四边形AGDE是平行四边形. 设BF = x， ∵在Rt△BCF中，∠BCF = 90° - ∠F = 30°，∴ FC = 2x，FD = 2x + 1. ∵？荀AGDE中，DG = AE = 2，∴ FG = 2x - 1. ∵ △AFG是等边三角形，AF = FG，∴ x + 1 = 2x - 1，解得x = 2.
在Rt△BCF中，BC = BF·tan F = 2■，则S△BCF = ■BF·BC = 2■. 作AH⊥DF，垂足为点H. 则AH = AF·sin F = ■，则S梯形AFDE = ■（AE + DF）·AH = ■.
所以S五边形ABCDE = S梯形AFDE - S△BCF = ■ - 2■ = ■.
解法一源自试题答案，其将题图补全为等腰梯形，计算出等腰梯形AEDF和Rt△BCF的面积，通过作差求解. 把不规则的图形补全为规则图形，利用补全后大图形的面积减去补全增加的各小图形的面积求解，运用了补全求差的方法，此外还可将图形补全为三角形求解.
解法二 如图2，延长BA，DE相交于点G，延长BC，ED相交于点F，作GH⊥AE，垂足为H，作DN⊥CF，垂足为N. 由∠BAE = ∠AED = 120°，∠B = 90°，AE∥CD，易得△AGE为等边三角形，∠F = ∠DCF = 30°，△CDF为等腰三角形. 在△AGE中，AG = AE = 2，GH = AG·sin∠GAE = ■，可得S△AGE = ■AE·GH = ■. 在△CDF中，DN = CD·sin∠DCF = ■，CF = 2CN = 2CD·cos∠DCF = ■，可得S△CDF = ■CF·DN = ■. 在Rt△GBF中，GB = GA + AB = 3，BF = GB ÷ tan F = 3■，可得S△GBF = ■BF·GB = ■■.
所以S五边形ABCDE = S△GBF - S△AGE - S△CDF = ■■.
解法三 如图3，延长CB，EA相交于点G，延长BC，ED相交于点F，作EH⊥BC，垂足为H，作DN⊥GF，垂足为N. 易得∠G = ∠F = 30°，△GEF和△CDF是等腰三角形.
在Rt△ABG中，AG = AB ÷ sin G = 2，BG = AG·cos G = ■，可得S△ABG = ■AB·GB = ■■.
在△EGF中，GE = GA + AE = 4，EH = GE·sin∠EGH = 2，GF = 2GH = 2GE·cos∠EGH = 4■.
可得S△EGF = ■GF·EH = 4■.见解法二，易得S△CDF = ■. 所以S五边形ABCDE = S△EGF - S△ABG - S△CDF = ■■.
解法四 如图4，延长AB，DC相交于点F，延长BA，DE相交于点G，作DH⊥GF，垂足为H. 易得△AGE为等边三角形，△DGF为等边三角形，设FD = x，则BF = x - 3，FC = x - 1，FH = ■. ∵ BC∥HD，∴ ■ = ■，即■ = ■，解得x = 5，∴ BF = 2，FC = 4，根据勾股定理可得BC = 2■，∴ S△BFC = 2■. 易得等边三角形DGF的面积为■■. 见解法二，易得S△GAE = ■.
所以S五边形ABCDE = S△DGF - S△BCF - S△GAE = ■■.
为求不规则图形的面积，也可考虑用分割求和法，将其分割成若干个规则图形，再把这些规则图形的面积相加求出不规则图形的面积.
解法五 如图5，作CF∥AB交DE于点F，连接AF，作EG⊥AF，垂足为G，作FH⊥CD，垂足为H. ∵ AE∥CD，∠AEF = 120°，∴∠D = 60°. ∵AB⊥BC，∴∠B = 90°，又CF∥AB，得∠BCF = 90°. 在五边形ABCDE中，∠BCD = 540° - ∠BAE - ∠AEF - ∠D - ∠ABC = 150°，∴ ∠FCD = ∠BCD - ∠BCF = 60°，可得△CDF为等边三角形. ∴ CF = CD = 1，FH = CF·sin∠FCD = ■，S△CDF = ■CD·FH = ■.
∵ CF = AB = 1，且CF∥AB，∴四边形ABCF是平行四邊形，又∠ABC = 90°，∴？荀ABCF是矩形. ∴ ∠EAF = ∠BAE - ∠BAF = 30°，∴∠EFA = 180° - ∠AEF - ∠EAF = 30°，得△AEF为等腰三角形，EG = AE·sin∠EAG = 1，AF = 2AG = 2AE·cos∠EAG = 2■，∴ S△AEF = ■AF·EG = ■，S矩形ABCF = AB·AF = 2■.
所以S五边形ABCDE = S△CDF + S△AEF + S矩形ABCF = ■■.
还可将图形分割为图6、7形式求解，解题思路如下：
解法六 如图6，作EF∥AB交BC于点F，CG∥AB交DE于点G.
易证得：梯形ABFE和梯形CGEF均为直角梯形，△CGD为等边三角形. 结合题目条件，参照以上解法，添加适当辅助线，易求得：
S梯形ABEF = ■■，S梯形CGEF = ■■，S△CGD = ■■.
所以S五边形ABCDE = S梯形ABFE + S梯形CGEF + S△CGD = ■■.
解法七 如图7，作BF∥AE交DE于点F，CG∥DE交BF于点G.
易证：梯形ABFE为等腰梯形，△BCG为等腰三角形，四边形CDFG为平行四边形. 结合题目条件，参照以上解法，添加适当辅助线，易求得：
S梯形ABFE = ■■，S△BCG = ■，S？荀CDFG = ■.
所以 S五边形ABCDE = S梯形ABFE + S△BCG + S？荀CDFG = ■■.
教学中适当地对数学问题进行“一题多解”， 可以激发学生的求知欲，加深对所学知识的理解， 培养学生的思维品质，发展学生的创造性思维.