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(乌鲁木齐市第十三中学 新疆 乌鲁木齐 830000)
【摘要】提高中学数学教学质量，不仅仅是为了提高学生的成绩，更重要的是能使学生学到有用的数学。为此，我认为在中学数学教学中渗透数学建模思想无疑是数学教学改革的一个正确的方向。本文通过叙述数学建模概念与数学建模思想，结合实例，提出了在中学数学教学中渗透数学建模思想，培养学生数学建模能力的途径，同时，激发学生对学习数学兴趣的一些想法。
【关键词】数学建模;教学环节
Shallow talk to open exhibition mathematics to set up a mold in the high school
Hu Yu-se
【Abstract】The mathematics teaching quality of the exaltation high school, not only only is for the sake of exaltation the student's result, more important ability make the student learn useful mathematics.Is this, I think in the mathematics teaching in high school permeate mathematics to set up mold thought doubtless is mathematics reform in education of an exactitude of direction.This text pass to describe mathematics to set up mold concept and mathematics to set up mold thought and combine solid example, put forward to permeate mathematics to set up a mold thought in the mathematics teaching of high school, development student's mathematics set up the path of mold ability and stir up a student in the meantime to study mathematics interest of some viewpoint.
【Key words】Mathematics set up a mold;Teaching link
1. 引言——数学教育改革的迫切性 人类已经进入了信息时代，21世纪经济竞争的关键是人才培养，而人才培养的竞争的关键就是教育的竞争。传统的教育模式是以教师为中心，教材为蓝本，一元化的学习模式。这种模式显而易见的缺点是不利于学生创造性思维能力的培养和开发。特别是，现在教学中普遍存在的学时紧、内容多、不生动、赶进度的不良循环大大影响了学生学习数学的积极性，对于培养有竞争力的人才是不利的。
所有这些问题和挑战都是国际性的、不容易解决的，这正是世界范围正在蓬勃开展的数学教育改革的背景。挑战和机遇往往是同时存在的，如果我们正视数学教育改革的迫切性，并真正花力气进行改革并取得成果我们就是抓住了机遇。数学教育的改革有众多的方面，就中学而言，从完小、初中、高中不断的有大量青年进入劳动力市场，因而学以致用(从而进入“用而后知不足”的境界，推动进一步学习的自觉性，进入良性循环)必然成为中学数学教育改革中的一条重要指导原则，即使对于要继续升大学深造的同学来讲如果真能进入这种良性循环对于他们进一步学好、用好数学也是极为重要的。正是由于以上所述种种背景，早在二十多年前，先进国家就开始在中学中如何开展数学建模活动进行研究。这些要求不仅符合数学本身发展的需要，也是社会发展的需要。
2. 什么是数学建模 数学建模不是新东西，我们甚至可以说只要用数学去解决各种各样的实际问题就有数学建模的活动。但是数学建模这一名词是相对新的名词；数学建模作为研究生、大学生、中学生所学数学课程中的重要内容(甚至课程)则是真正的新事物，有待认真研究、探讨和发展．为此，我们先简要地介绍一下什么是数学建模。
数学建模(Mathematical，Modeling)是建立数学模型的缩略表示。数学建模其实就是运用数学的原理、方法、语言解决实际问题的过程。从本质上说，在物理和生物世界中的任何现实情形，无论它是天然的或是与技术和人的干预有关的，只要它可以角定量的术语来描述，就能够通过建立模型使它服从解析的规律。略为具体说明数学建模这一过程，我们用下面的框图来说明。
定义：数学建模就是上述框图(流程图)多次循环执行的过程。
中学数学建模与实际建模相比是建模的初级阶段，一般来说给定了较多的确定条件，循环的次数较少。有目的地培养中学生的应用意识和初步掌握用数学模型来解决实际问题的方法。
3. 中学数学建模教学的意义
3.1 在中学开展建模的教学，可使学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，体会数学的应用价值。
3.2 在中学开展建模教学，可使学生学会用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中的数学问题。
3.3 以建模为手段，激发学生的学习积极性，学会团结协作，建立良好的人际关系，相互合作的工作能力。
3.4 以建模为载体，使学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的数学事实(包括数学知识、数学活动经验)以基本思想方法和必要的应用技能。
3.5 通过系统的数学建模教学，能使学生适应高考对人才的选拔要求。为进入大学深造打下坚实的基础。
4. 贯彻应用意识的课堂数学环节 这种教学模式要求教师以建模的视角来对待和处理教学内容，把基础数学知识学习与应用结合起来，使之符合“具体——抽象——具体”的认识规律。其五个基本环节是：
4.1 创设问题情景，激发求知欲。根据具体的教学内容，从学生的生活经验和已有的知识背景出发，选编合适的实际应用题，让学生带着问题在迫切要求下学习，为知识的形成做好情感上的准备，并提供给学生充分进行数学实践活动和交流的机会。
4.2 抽象概括，建立模型，导入学习课题。通过学生的实践、交流，发表见解，搜集、整理、描述，抽象其本质，渗透建模意识，介绍建模方法，学生应是这一过程的主体，教师适时启发，介绍观察、实验、猜测、矫正与调控等合情推理模式，成为学生学习数学的组织者、引导者、合作者与共同研究者。
4.3 研究模型，形成数学知识。对所建立的模型，灵活运用启发式、尝试指导法等教学方法，以教师为主导，学生为主体完成课题学习，形成数学知识、思想和方法，并获得新的数学活动经验。
4.4 解决实际应用问题，享受成功喜悦。用课题学习中形成的数学知识解答开始提出的实际应用题。问题得以解决，学生能体会到数学在解决问题时的实际应用价值，体验到所学知识的用途和益处，成功的喜悦油然而生。
4.5 归纳总结，深化目标。根据教学目标，指导学生归纳总结，拓展知识的一般结论，指出这些知识和技能在整体中的相互关系和结构上的统一性，使学生认识新问题，同化新知识，并构建自己的智力系统。
5. 中学数学建模教学的教学方式 数学建模教学应结合正常的数学内容进行切入，把培养应用数学的意识落实在平时的教学过程中，以教材为载体，以改革教学方法为突破口，通过对教学内容的科学加工、处理和再创造达到在学中用，在用中学，让学生学习到数学的精神、思想和方法。
5.1 立足课本，结合教学内容，渗透建模思想，发掘改编。数学建模是依赖一定的数学基础知识而存在，是数学知识的应用与深化。进行数学建模教学可以以书本为依托，结合教学内容，从常见数学教学人手。对课本中出现的应用题可以改变设问方式，变换题设条件，互换条件结论，综合拓广类比成新的应用题。
例1高中代数上册P37．9
建筑一个容积为8000立方米，深为6米的长方体蓄水池，池壁每平方米的造价是a元，池底每平方米的造价为2a元，把总造价y元表示为底的一边长为x米的函数，并指出函数的定义域。
这一题目用来训练学生利用函数的知识点建模是具有代表性的。该题虽然不算复杂，但是却有相当的综合性，内涵丰富。利用它可以改编出很多有较高思维价值的题目。
改编题一、(1993年高考数学试题)
建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为多少元?
答案：1760元。
改编题二、欲建一个容积为定值的无盖圆柱水池
(1)水池尺寸如何选取才能使所用材料最省?
(2)若池底材料成本为30元/米2，池壁材料成本为20元/米2，问怎样的尺寸使水池的造价最低?
5.2 深入生活联系实际，发现生活中的数学问题，强化建模应用意识，学数学的一个基本目的是要用数学，用数学解决日常生活中的问题，目前很多学生还没有意识到生活中处处存在着数学，处处存在着要用数学解决的问题。教师要提供丰富的材料，扩大学生的视野，启发学生的思维。
例2 降水量是指水平地面上单位面积的降雨水的深度，用上口直径为38cm，底面直径为24cm，深为35cm的圆台形水桶来测量降水量，如果一次降水 过程中，用此桶盛得的雨水正好是桶深的 ，则此次下雨的降水量是______(精确到1mm)。
此题的情景是给出了一个测量降雨量的一个简单操作方法，实际背景人人 都清楚，而降雨量在报刊和电视等媒体时有出现，但实际数字是如何测得很多人不清楚，因而极大地激发了学生的好奇心。
分析出此题的四层含义是解决此问题的关键：给出了降水量的定义；介绍 测量降水量的工具；一次降水的状况；求此次下雨的降水量，容易求得降水量为22mm 。
5.3 以社会热点问题出发，介绍建模方法。国家大事、社会热点、市场经济中涉及诸如成本、利润、储蓄、保险、投 标及股份制等，是中学数学建模问题的好素材，适当的选取，融入教学活动中，使学生掌握相关类型的建模方法，不仅可以使学生树立正确的商品经济观念，而且还为日后能主动以数学的意识、方法、手段处理问题提供了能力上的准备。
例3：广渝高速公路指挥部接到预报，24小时后将有一场超历史记录的大暴民为确保万无一失，指挥部决定在24小时内筑一道堤坝以防山洪淹没正在紧张施工的华蓥山隧道工程。经测算，其工程量除现有施工人员连续奋战外，还需要20辆翻斗车同时作业24小时。但是，除了有一辆车可立即投入施工外，其余车辆需从各处紧急抽调，每隔20分钟能有一辆车到达并投入施工。已知指挥部最多可组织到25辆车，问24小时内能否完成防洪堤坝工程?说明理由。
“可以设想，计算者感受到形势的危急和责任的重大，周围是热切期盼的目光，数学与生命财产连在一起：必须尽快算出来，算准确。如果几个小时后才算出来，那就没用了!算错了，其后果将是灾难性的。当你断定：没问题!大家该 会多么兴奋，多么感激。”几句话，让学生顿感学好数学的重要性，更多的人则拿起笔演算起来。但是，建立什么模型，题目中没有任何暗示，要求较高。此时再详细介绍数学建模的方法，无疑会收到事半功倍的效果。
解答一个应用问题重点过好三关：
（1）事理关：读懂题意，知道讲的是什么事件。
（2）文理关：需要将“问题情景”的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式表达关系。
（3）数理关：在构建数学模型的过程中，要求学生有对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化，此后解答过程也需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力。
本例是学习数列、不等式时，结合广渝高速公路的瓶颈工程——华蓥山隧道工程(为全国最长的公路隧道)为背景，以1998年的抗洪斗争为实际编拟的， 不仅使学生从中学到数学建模的方法，也让学生受到德育教育，体现了数学的社会化功能。
6. 通过课外兴趣小组的建模活动，带动、推进数学建模教学 参加数学课外小组的学生是对数学有较大兴趣，他们对数学建模的学习有较好的潜力。若能在他们中间先进行建模教学活动，这就很容易在全班渗透建模意识，使学生对数学建模产生兴趣，从而提高学生的建模能力。
7. 不断提高教师自身的水平 教师水平的高低，直接影响着对学生建模能力的培养。不少教师对数学建 模教学处于一种应付状态。要知道如何进行数学建模教学对教师也是一页新的课题。因而教师必须加强自身修养，不断提高自身业务水平。才能适应新形势下，培养学生数学素质的要求。
在基础教育中开展数学建模教学，其根本是要使学生走出课本，走出传统的习题演练，使他们走人生活，生产的实际中，使学生体会数学的由来，数学的应用，体验到一个充满生命活力的教学，架起从生活问题通往数学问题的桥梁。
参考文献
［1］ 冯永明 中学数学建模的教学构想与实践 《数学通讯》 2 000年13期
［2］ 沈文选编著 数学建模 1999年7月第1版 湖南师大出版社
［3］ 叶其孝主编 中学数学建模1998年4)1 湖南教育出版社
【摘要】提高中学数学教学质量，不仅仅是为了提高学生的成绩，更重要的是能使学生学到有用的数学。为此，我认为在中学数学教学中渗透数学建模思想无疑是数学教学改革的一个正确的方向。本文通过叙述数学建模概念与数学建模思想，结合实例，提出了在中学数学教学中渗透数学建模思想，培养学生数学建模能力的途径，同时，激发学生对学习数学兴趣的一些想法。
【关键词】数学建模;教学环节
Shallow talk to open exhibition mathematics to set up a mold in the high school
Hu Yu-se
【Abstract】The mathematics teaching quality of the exaltation high school, not only only is for the sake of exaltation the student's result, more important ability make the student learn useful mathematics.Is this, I think in the mathematics teaching in high school permeate mathematics to set up mold thought doubtless is mathematics reform in education of an exactitude of direction.This text pass to describe mathematics to set up mold concept and mathematics to set up mold thought and combine solid example, put forward to permeate mathematics to set up a mold thought in the mathematics teaching of high school, development student's mathematics set up the path of mold ability and stir up a student in the meantime to study mathematics interest of some viewpoint.
【Key words】Mathematics set up a mold;Teaching link
1. 引言——数学教育改革的迫切性 人类已经进入了信息时代，21世纪经济竞争的关键是人才培养，而人才培养的竞争的关键就是教育的竞争。传统的教育模式是以教师为中心，教材为蓝本，一元化的学习模式。这种模式显而易见的缺点是不利于学生创造性思维能力的培养和开发。特别是，现在教学中普遍存在的学时紧、内容多、不生动、赶进度的不良循环大大影响了学生学习数学的积极性，对于培养有竞争力的人才是不利的。
所有这些问题和挑战都是国际性的、不容易解决的，这正是世界范围正在蓬勃开展的数学教育改革的背景。挑战和机遇往往是同时存在的，如果我们正视数学教育改革的迫切性，并真正花力气进行改革并取得成果我们就是抓住了机遇。数学教育的改革有众多的方面，就中学而言，从完小、初中、高中不断的有大量青年进入劳动力市场，因而学以致用(从而进入“用而后知不足”的境界，推动进一步学习的自觉性，进入良性循环)必然成为中学数学教育改革中的一条重要指导原则，即使对于要继续升大学深造的同学来讲如果真能进入这种良性循环对于他们进一步学好、用好数学也是极为重要的。正是由于以上所述种种背景，早在二十多年前，先进国家就开始在中学中如何开展数学建模活动进行研究。这些要求不仅符合数学本身发展的需要，也是社会发展的需要。
2. 什么是数学建模 数学建模不是新东西，我们甚至可以说只要用数学去解决各种各样的实际问题就有数学建模的活动。但是数学建模这一名词是相对新的名词；数学建模作为研究生、大学生、中学生所学数学课程中的重要内容(甚至课程)则是真正的新事物，有待认真研究、探讨和发展．为此，我们先简要地介绍一下什么是数学建模。
数学建模(Mathematical，Modeling)是建立数学模型的缩略表示。数学建模其实就是运用数学的原理、方法、语言解决实际问题的过程。从本质上说，在物理和生物世界中的任何现实情形，无论它是天然的或是与技术和人的干预有关的，只要它可以角定量的术语来描述，就能够通过建立模型使它服从解析的规律。略为具体说明数学建模这一过程，我们用下面的框图来说明。
定义：数学建模就是上述框图(流程图)多次循环执行的过程。
中学数学建模与实际建模相比是建模的初级阶段，一般来说给定了较多的确定条件，循环的次数较少。有目的地培养中学生的应用意识和初步掌握用数学模型来解决实际问题的方法。
3. 中学数学建模教学的意义
3.1 在中学开展建模的教学，可使学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，体会数学的应用价值。
3.2 在中学开展建模教学，可使学生学会用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中的数学问题。
3.3 以建模为手段，激发学生的学习积极性，学会团结协作，建立良好的人际关系，相互合作的工作能力。
3.4 以建模为载体，使学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的数学事实(包括数学知识、数学活动经验)以基本思想方法和必要的应用技能。
3.5 通过系统的数学建模教学，能使学生适应高考对人才的选拔要求。为进入大学深造打下坚实的基础。
4. 贯彻应用意识的课堂数学环节 这种教学模式要求教师以建模的视角来对待和处理教学内容，把基础数学知识学习与应用结合起来，使之符合“具体——抽象——具体”的认识规律。其五个基本环节是：
4.1 创设问题情景，激发求知欲。根据具体的教学内容，从学生的生活经验和已有的知识背景出发，选编合适的实际应用题，让学生带着问题在迫切要求下学习，为知识的形成做好情感上的准备，并提供给学生充分进行数学实践活动和交流的机会。
4.2 抽象概括，建立模型，导入学习课题。通过学生的实践、交流，发表见解，搜集、整理、描述，抽象其本质，渗透建模意识，介绍建模方法，学生应是这一过程的主体，教师适时启发，介绍观察、实验、猜测、矫正与调控等合情推理模式，成为学生学习数学的组织者、引导者、合作者与共同研究者。
4.3 研究模型，形成数学知识。对所建立的模型，灵活运用启发式、尝试指导法等教学方法，以教师为主导，学生为主体完成课题学习，形成数学知识、思想和方法，并获得新的数学活动经验。
4.4 解决实际应用问题，享受成功喜悦。用课题学习中形成的数学知识解答开始提出的实际应用题。问题得以解决，学生能体会到数学在解决问题时的实际应用价值，体验到所学知识的用途和益处，成功的喜悦油然而生。
4.5 归纳总结，深化目标。根据教学目标，指导学生归纳总结，拓展知识的一般结论，指出这些知识和技能在整体中的相互关系和结构上的统一性，使学生认识新问题，同化新知识，并构建自己的智力系统。
5. 中学数学建模教学的教学方式 数学建模教学应结合正常的数学内容进行切入，把培养应用数学的意识落实在平时的教学过程中，以教材为载体，以改革教学方法为突破口，通过对教学内容的科学加工、处理和再创造达到在学中用，在用中学，让学生学习到数学的精神、思想和方法。
5.1 立足课本，结合教学内容，渗透建模思想，发掘改编。数学建模是依赖一定的数学基础知识而存在，是数学知识的应用与深化。进行数学建模教学可以以书本为依托，结合教学内容，从常见数学教学人手。对课本中出现的应用题可以改变设问方式，变换题设条件，互换条件结论，综合拓广类比成新的应用题。
例1高中代数上册P37．9
建筑一个容积为8000立方米，深为6米的长方体蓄水池，池壁每平方米的造价是a元，池底每平方米的造价为2a元，把总造价y元表示为底的一边长为x米的函数，并指出函数的定义域。
这一题目用来训练学生利用函数的知识点建模是具有代表性的。该题虽然不算复杂，但是却有相当的综合性，内涵丰富。利用它可以改编出很多有较高思维价值的题目。
改编题一、(1993年高考数学试题)
建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为多少元?
答案：1760元。
改编题二、欲建一个容积为定值的无盖圆柱水池
(1)水池尺寸如何选取才能使所用材料最省?
(2)若池底材料成本为30元/米2，池壁材料成本为20元/米2，问怎样的尺寸使水池的造价最低?
5.2 深入生活联系实际，发现生活中的数学问题，强化建模应用意识，学数学的一个基本目的是要用数学，用数学解决日常生活中的问题，目前很多学生还没有意识到生活中处处存在着数学，处处存在着要用数学解决的问题。教师要提供丰富的材料，扩大学生的视野，启发学生的思维。
例2 降水量是指水平地面上单位面积的降雨水的深度，用上口直径为38cm，底面直径为24cm，深为35cm的圆台形水桶来测量降水量，如果一次降水 过程中，用此桶盛得的雨水正好是桶深的 ，则此次下雨的降水量是______(精确到1mm)。
此题的情景是给出了一个测量降雨量的一个简单操作方法，实际背景人人 都清楚，而降雨量在报刊和电视等媒体时有出现，但实际数字是如何测得很多人不清楚，因而极大地激发了学生的好奇心。
分析出此题的四层含义是解决此问题的关键：给出了降水量的定义；介绍 测量降水量的工具；一次降水的状况；求此次下雨的降水量，容易求得降水量为22mm 。
5.3 以社会热点问题出发，介绍建模方法。国家大事、社会热点、市场经济中涉及诸如成本、利润、储蓄、保险、投 标及股份制等，是中学数学建模问题的好素材，适当的选取，融入教学活动中，使学生掌握相关类型的建模方法，不仅可以使学生树立正确的商品经济观念，而且还为日后能主动以数学的意识、方法、手段处理问题提供了能力上的准备。
例3：广渝高速公路指挥部接到预报，24小时后将有一场超历史记录的大暴民为确保万无一失，指挥部决定在24小时内筑一道堤坝以防山洪淹没正在紧张施工的华蓥山隧道工程。经测算，其工程量除现有施工人员连续奋战外，还需要20辆翻斗车同时作业24小时。但是，除了有一辆车可立即投入施工外，其余车辆需从各处紧急抽调，每隔20分钟能有一辆车到达并投入施工。已知指挥部最多可组织到25辆车，问24小时内能否完成防洪堤坝工程?说明理由。
“可以设想，计算者感受到形势的危急和责任的重大，周围是热切期盼的目光，数学与生命财产连在一起：必须尽快算出来，算准确。如果几个小时后才算出来，那就没用了!算错了，其后果将是灾难性的。当你断定：没问题!大家该 会多么兴奋，多么感激。”几句话，让学生顿感学好数学的重要性，更多的人则拿起笔演算起来。但是，建立什么模型，题目中没有任何暗示，要求较高。此时再详细介绍数学建模的方法，无疑会收到事半功倍的效果。
解答一个应用问题重点过好三关：
（1）事理关：读懂题意，知道讲的是什么事件。
（2）文理关：需要将“问题情景”的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式表达关系。
（3）数理关：在构建数学模型的过程中，要求学生有对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化，此后解答过程也需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力。
本例是学习数列、不等式时，结合广渝高速公路的瓶颈工程——华蓥山隧道工程(为全国最长的公路隧道)为背景，以1998年的抗洪斗争为实际编拟的， 不仅使学生从中学到数学建模的方法，也让学生受到德育教育，体现了数学的社会化功能。
6. 通过课外兴趣小组的建模活动，带动、推进数学建模教学 参加数学课外小组的学生是对数学有较大兴趣，他们对数学建模的学习有较好的潜力。若能在他们中间先进行建模教学活动，这就很容易在全班渗透建模意识，使学生对数学建模产生兴趣，从而提高学生的建模能力。
7. 不断提高教师自身的水平 教师水平的高低，直接影响着对学生建模能力的培养。不少教师对数学建 模教学处于一种应付状态。要知道如何进行数学建模教学对教师也是一页新的课题。因而教师必须加强自身修养，不断提高自身业务水平。才能适应新形势下，培养学生数学素质的要求。
在基础教育中开展数学建模教学，其根本是要使学生走出课本，走出传统的习题演练，使他们走人生活，生产的实际中，使学生体会数学的由来，数学的应用，体验到一个充满生命活力的教学，架起从生活问题通往数学问题的桥梁。
参考文献
［1］ 冯永明 中学数学建模的教学构想与实践 《数学通讯》 2 000年13期
［2］ 沈文选编著 数学建模 1999年7月第1版 湖南师大出版社
［3］ 叶其孝主编 中学数学建模1998年4)1 湖南教育出版社