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摘要：本文从数学的应用性出发，以复变函数课程为例，探讨目前大学数学教育在教学内容、教学方法和手段、教学效果评价三方面存在的问题及对策。
关键词：教学内容；方法和手段；效果评价
中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）08-0051-03
大学数学课程一直困扰着很多学生和数学教师，众多高校数学教师在为此不懈地探索、研究，积累了丰富的经验。本文从数学的应用性出发，以复变函数课程为例，站在学习者的角度，在强调数学思想的介绍基础上，探讨目前大学数学教育在教学内容、教学方法和手段、教学效果评价三方面存在的问题及对策。
一、数学的广泛应用性
数学来源于实践，数学主要是在解决各领域中各类实际问题而产生，并通过抽象和概括转化为数学问题，从而发展起来的。反过来，数学为解决实际问题提供了思想方法、计算工具和理论论证。因此数学的一个重要特征就是应用的广泛性。对多数人来说，对数学的学习源于其广泛应用性。
二、大学数学教育存在的问题
数学最本质的就是其思想。能否把数学思想很好地介绍给学生，取决于学生是否有兴趣，而实用性恰是兴趣的重要源泉。
生活中，我们更喜欢说：“我可以给你什么？”而不是：“你想要什么？”因为后者需要我们付出更多努力而不是信手拈来，逐渐地，人的兴趣被压抑和扼杀了。这是非常糟糕的现状。作为高校数学教师能做点什么呢？我们从学和教两方面来分析：一方面，学习分为两个大的层次，首先是学以致用，其次才是兴趣使然。事实上，多数人对于多数课程的学习都属于第一层次。另一方面，在教授环节中，教育理念是教育成败的关键。教材的内容，体现着作者的教育理念；教师授课过程和考察制度体现着教师的教育理念。
那么，作为教师我们必须做到：结合学习者和讲授者两方面因素，倾听、感悟学习者的心声，理解学习者的困惑，站在学习者的立场来分析大学数学教育中问题的根源所在、寻找对策。
1.教学内容。目前数学教材普遍问题总结为：①序言或绪论部分过于精致，不能激发学生对该课程的足够期待。②教学内容的展开枯燥、机械。抽象地陈述定义、定理，而很少提及它们的产生背景和应用；很少阐述如何去发现问题、分析问题和解决问题等。这难以培养、激发学生的学习兴趣和创新能力，这使数学学习成为机械地记忆、复制过程。③教学内容重理论轻应用，重知识的完整性轻发展线索。很少介绍知识的背景材料和具体应用，而只关注知识本身；对定义及定理证明缺少必要的分析和概括。这样学生头脑里会产生很多问题却得不到解答，困惑使学习数学变得痛苦。④教学内容重细节轻整体，这样即使学生掌握了书中的各个细节，但是对于理论发展脉络不清楚，这门课实际上就是肢体完整但失去了灵魂。⑤课后习题缺乏创新性、思考性和应用性。
2.教学方法和手段。目前，大学数学教育在教师的工作强度、学时减少的压力及秉承传统的习惯等因素下，在教学方法和手段方面主要问题表现为：①学生处于被动接受状态，没有处在主体地位。老师通常是把定义、定理、推论及相关证明逐一给出，而对于证明思路没有足够的分析，不考究为什么，学生通常做的事情只是理解和记忆，然后套用所学，而缺乏创新思考。②强调知识的逻辑线索，忽略了知识的发展线索，违背了人的认知规律。③过于强调细节，忽略知识的整体结构。通常是详尽地证明定理、问题求解过程等，而常常忽略从整体上把握一节课乃至整本书的结构框架、关系框架以及此刻与其他相关课程的关联。④没有恰当利用现代化教学资源。一种是教师没有利用现代化教学资源。另一种是现代化教学资源利用过多或不当：有些老师定理证明甚至整节课都用幻灯片，这对学生来说整节课就像走马观花一样，根本提不上课程的整体性。
3.考核模式。目前，高校在课程考核方式和内容上，普遍是“重知识和理论，轻能力和应用，忽略创新”：①考核内容不科学。考核内容多局限于基本知识和理论，这导致记忆性内容所占比重过大，缺乏对学生实际应用能力和创新能力的综合考察。②考核方式单一。通常采用閉卷笔试的理论考核，平时成绩基本上取决于出勤和作业情况，而作业情况的真实性较差，故对学生学习过程的考核通常并不奏效，导致很多学生“平时不学习、考前背几天、考后就忘掉”的学习状态。因此考核模式及内容亟待改革。
三、问题的解决对策
我认为作为大学数学教师，能够做到：站在学生的角度上，以“数学的应用性”为主线，遵循人类认知的客观规律，充分发挥现代手段，展现在数学“冰冷美丽”背后的数学本质，渗透数学思想，就已经是完美了。
1.教材或教学内容，应该把学习者都当作是该领域中不谙世事的孩子而不是经历风霜的长者。对抽象的数学概念、定理，在陈述上要尽量直观、通俗。
2.给学生一个精彩的绪论。当学一门新课时学生都会有这些问题：为什么要学这门课程？这门课程是怎样产生和发展起来的？学这门课有什么用？怎么学？作为教师，必须在第一次课给学生一个精彩的绪论，来回答这些重要而关键的问题，激发学生的学习兴趣。
3.“数学的应用性”要贯穿于教学及考核环节。在绪论、每一章开头、习题、作业、考试试题及考核模式，除了基本知识和理论外，还要体现出数学的应用性，从而去考察学生的思考能力、创新能力。在考核中制定更为科学合理的学生成绩评价方法：①开卷和闭卷结合。对于复变函数课程的重要内容如解析函数的判别和构造、解析函数的洛朗展开、留数定理、共形映射等必须熟练掌握，其他内容适当了解即可；②提高平时成绩的真实有效性：坚持随机点名、不定期的课堂测验、每章结束时要求学生撰写总结小论文，督促学生积极思考，力求听懂学会。
4.遵循人类认知的客观规律，展现出在数学“冰冷美丽”背后的数学本质。数学家H·弗赖登塔（1908～1990）说过：“没有一种数学思想，以它被发现时的那个样子发表出来。一个问题被解决以后，相应地发展成一种形式化的技巧，结果使得火热的思考变成了冰冷的美丽。”事实上，通常教科书里陈述的数学，往往是“冰冷的美丽”，令人步履维艰.因此，数学教师的责任在于把数学的学术形态转化为教育形态，使学生既能高效率地进行火热的思考，又能比较容易接受、理解隐藏在“冰冷美丽”背后的数学本质。教师需做到以下几点： （1）尊重学生的主体地位，充分发挥教师的主导地位。一勺盐是难以下咽的，但把盐放入汤中既美味又营养。将数学融入实践应用中来教学，才能显示数学的活力和魅力。在教学中，要通过创设良好的问题情境，引导学生观察、思考、探索，通过自己的亲身实践，充分发挥学生学习的主动性。
（2）以理论的发展线索，展现完整的学习内容。正如柯朗说过：“只有在以达到有机整体为目标的前提，只有在内在需要的引导下，自由的思维才能做出有科学价值的成果。”所以在教学中：①要充分介绍知识的产生背景，因为任何一门数学课程都要兼顾理论研究和实际应用，数学理论演变的过程往往就是一段让同学们感兴趣的历史，可以再现数学先哲们思考问题的方式，可以窥视他们是如何探索真理的，从而激发学生的兴趣、启发学生怎样去思考问题、引发学生的期待；②要以理论的发展线索来展开教学，学生就如同追随着知识发展的脚步一道走来，而后再与学生共同分析总结逻辑线索；③要先抓住整体框架，再进行细节展开，这样更利于对知识的整体把握；④要注意与相关知识的对比，找出差别与联系，从而把数学各分支紧密联系起来；⑤要强调对概念的准确理解和掌握（因为各种推理论证都是在寻求不同概念之间的关系，对概念准确到位的理解和掌握是进行推理论证的前提）；⑥要强调对解决问题思路的分析过程，而不是只要证明过程；⑦要引导学生发现抽象的形式理论的实质和思想方法，变抽象为通俗、具体，从而会拉近学生与数学的距离。
例如：在绪论部分，首要是要学生明确：“微积分主要讨论的是实变数函数的微分和积分，从字面看，似乎只是将实数变成复数，那么运算规则及定理应该是一样的，为什么还要再开一门复变函数呢？”这一问题，以极限及微分定义、函数可微与导函数可微的关系为例来说明复变函数并非是微积分从“实数到复数”的平凡推广，而是有本质的不同：微积分中函数一次可微分，其导函数未必连续从而比一定二次可微分，但是由于复变函数可微分是很强的一个条件，所以函数一次可微分，就会任意次可微分。除了强调复变函数中某些概念及其性质呈现出的差异这些知识点外，在教学中还应使学生明确概念推广所遵循的一些基本原则。一方面，概念的推广必须满足相容性，例如當复数域上函数限制到实数域时，必须与实函数的一切性质相吻合。另一方面，概念推广要尽可能保持原对象的性质，尤其是运算性质。
（3）遵循人类记忆规律（见艾宾浩斯记忆曲线），提高学习效率。
5.根据教学内容、教学对象和教学目标，恰当运用板书和多媒体进行教学。
参考文献：
[1]张恭庆.谈数学职业[J].数学通报，2009，（7）：1-7.
[2]张奠宙.微积分教学：从冰冷的美丽到火热的思考[J].高等数学研究，2006，（2）：2-4.
[3][美]Richard Courant Herbert Robbins.What is Mathematics (中译本：什么是数学——对思想和方法的基本研究)[M].上海:复旦大学出版社，2005.
基金项目：东北石油大学教育教学改革项目
作者简介：曹丽霞（1978-），女，硕士，讲师，主要从事奇异积分方程方面的研究；田淑杰（1979-），女，硕士，讲师，研究方向：非线性微分方程；赵忠奎（1960-），男，学士，副教授，研究方向：数学物理方法。
关键词：教学内容；方法和手段；效果评价
中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）08-0051-03
大学数学课程一直困扰着很多学生和数学教师，众多高校数学教师在为此不懈地探索、研究，积累了丰富的经验。本文从数学的应用性出发，以复变函数课程为例，站在学习者的角度，在强调数学思想的介绍基础上，探讨目前大学数学教育在教学内容、教学方法和手段、教学效果评价三方面存在的问题及对策。
一、数学的广泛应用性
数学来源于实践，数学主要是在解决各领域中各类实际问题而产生，并通过抽象和概括转化为数学问题，从而发展起来的。反过来，数学为解决实际问题提供了思想方法、计算工具和理论论证。因此数学的一个重要特征就是应用的广泛性。对多数人来说，对数学的学习源于其广泛应用性。
二、大学数学教育存在的问题
数学最本质的就是其思想。能否把数学思想很好地介绍给学生，取决于学生是否有兴趣，而实用性恰是兴趣的重要源泉。
生活中，我们更喜欢说：“我可以给你什么？”而不是：“你想要什么？”因为后者需要我们付出更多努力而不是信手拈来，逐渐地，人的兴趣被压抑和扼杀了。这是非常糟糕的现状。作为高校数学教师能做点什么呢？我们从学和教两方面来分析：一方面，学习分为两个大的层次，首先是学以致用，其次才是兴趣使然。事实上，多数人对于多数课程的学习都属于第一层次。另一方面，在教授环节中，教育理念是教育成败的关键。教材的内容，体现着作者的教育理念；教师授课过程和考察制度体现着教师的教育理念。
那么，作为教师我们必须做到：结合学习者和讲授者两方面因素，倾听、感悟学习者的心声，理解学习者的困惑，站在学习者的立场来分析大学数学教育中问题的根源所在、寻找对策。
1.教学内容。目前数学教材普遍问题总结为：①序言或绪论部分过于精致，不能激发学生对该课程的足够期待。②教学内容的展开枯燥、机械。抽象地陈述定义、定理，而很少提及它们的产生背景和应用；很少阐述如何去发现问题、分析问题和解决问题等。这难以培养、激发学生的学习兴趣和创新能力，这使数学学习成为机械地记忆、复制过程。③教学内容重理论轻应用，重知识的完整性轻发展线索。很少介绍知识的背景材料和具体应用，而只关注知识本身；对定义及定理证明缺少必要的分析和概括。这样学生头脑里会产生很多问题却得不到解答，困惑使学习数学变得痛苦。④教学内容重细节轻整体，这样即使学生掌握了书中的各个细节，但是对于理论发展脉络不清楚，这门课实际上就是肢体完整但失去了灵魂。⑤课后习题缺乏创新性、思考性和应用性。
2.教学方法和手段。目前，大学数学教育在教师的工作强度、学时减少的压力及秉承传统的习惯等因素下，在教学方法和手段方面主要问题表现为：①学生处于被动接受状态，没有处在主体地位。老师通常是把定义、定理、推论及相关证明逐一给出，而对于证明思路没有足够的分析，不考究为什么，学生通常做的事情只是理解和记忆，然后套用所学，而缺乏创新思考。②强调知识的逻辑线索，忽略了知识的发展线索，违背了人的认知规律。③过于强调细节，忽略知识的整体结构。通常是详尽地证明定理、问题求解过程等，而常常忽略从整体上把握一节课乃至整本书的结构框架、关系框架以及此刻与其他相关课程的关联。④没有恰当利用现代化教学资源。一种是教师没有利用现代化教学资源。另一种是现代化教学资源利用过多或不当：有些老师定理证明甚至整节课都用幻灯片，这对学生来说整节课就像走马观花一样，根本提不上课程的整体性。
3.考核模式。目前，高校在课程考核方式和内容上，普遍是“重知识和理论，轻能力和应用，忽略创新”：①考核内容不科学。考核内容多局限于基本知识和理论，这导致记忆性内容所占比重过大，缺乏对学生实际应用能力和创新能力的综合考察。②考核方式单一。通常采用閉卷笔试的理论考核，平时成绩基本上取决于出勤和作业情况，而作业情况的真实性较差，故对学生学习过程的考核通常并不奏效，导致很多学生“平时不学习、考前背几天、考后就忘掉”的学习状态。因此考核模式及内容亟待改革。
三、问题的解决对策
我认为作为大学数学教师，能够做到：站在学生的角度上，以“数学的应用性”为主线，遵循人类认知的客观规律，充分发挥现代手段，展现在数学“冰冷美丽”背后的数学本质，渗透数学思想，就已经是完美了。
1.教材或教学内容，应该把学习者都当作是该领域中不谙世事的孩子而不是经历风霜的长者。对抽象的数学概念、定理，在陈述上要尽量直观、通俗。
2.给学生一个精彩的绪论。当学一门新课时学生都会有这些问题：为什么要学这门课程？这门课程是怎样产生和发展起来的？学这门课有什么用？怎么学？作为教师，必须在第一次课给学生一个精彩的绪论，来回答这些重要而关键的问题，激发学生的学习兴趣。
3.“数学的应用性”要贯穿于教学及考核环节。在绪论、每一章开头、习题、作业、考试试题及考核模式，除了基本知识和理论外，还要体现出数学的应用性，从而去考察学生的思考能力、创新能力。在考核中制定更为科学合理的学生成绩评价方法：①开卷和闭卷结合。对于复变函数课程的重要内容如解析函数的判别和构造、解析函数的洛朗展开、留数定理、共形映射等必须熟练掌握，其他内容适当了解即可；②提高平时成绩的真实有效性：坚持随机点名、不定期的课堂测验、每章结束时要求学生撰写总结小论文，督促学生积极思考，力求听懂学会。
4.遵循人类认知的客观规律，展现出在数学“冰冷美丽”背后的数学本质。数学家H·弗赖登塔（1908～1990）说过：“没有一种数学思想，以它被发现时的那个样子发表出来。一个问题被解决以后，相应地发展成一种形式化的技巧，结果使得火热的思考变成了冰冷的美丽。”事实上，通常教科书里陈述的数学，往往是“冰冷的美丽”，令人步履维艰.因此，数学教师的责任在于把数学的学术形态转化为教育形态，使学生既能高效率地进行火热的思考，又能比较容易接受、理解隐藏在“冰冷美丽”背后的数学本质。教师需做到以下几点： （1）尊重学生的主体地位，充分发挥教师的主导地位。一勺盐是难以下咽的，但把盐放入汤中既美味又营养。将数学融入实践应用中来教学，才能显示数学的活力和魅力。在教学中，要通过创设良好的问题情境，引导学生观察、思考、探索，通过自己的亲身实践，充分发挥学生学习的主动性。
（2）以理论的发展线索，展现完整的学习内容。正如柯朗说过：“只有在以达到有机整体为目标的前提，只有在内在需要的引导下，自由的思维才能做出有科学价值的成果。”所以在教学中：①要充分介绍知识的产生背景，因为任何一门数学课程都要兼顾理论研究和实际应用，数学理论演变的过程往往就是一段让同学们感兴趣的历史，可以再现数学先哲们思考问题的方式，可以窥视他们是如何探索真理的，从而激发学生的兴趣、启发学生怎样去思考问题、引发学生的期待；②要以理论的发展线索来展开教学，学生就如同追随着知识发展的脚步一道走来，而后再与学生共同分析总结逻辑线索；③要先抓住整体框架，再进行细节展开，这样更利于对知识的整体把握；④要注意与相关知识的对比，找出差别与联系，从而把数学各分支紧密联系起来；⑤要强调对概念的准确理解和掌握（因为各种推理论证都是在寻求不同概念之间的关系，对概念准确到位的理解和掌握是进行推理论证的前提）；⑥要强调对解决问题思路的分析过程，而不是只要证明过程；⑦要引导学生发现抽象的形式理论的实质和思想方法，变抽象为通俗、具体，从而会拉近学生与数学的距离。
例如：在绪论部分，首要是要学生明确：“微积分主要讨论的是实变数函数的微分和积分，从字面看，似乎只是将实数变成复数，那么运算规则及定理应该是一样的，为什么还要再开一门复变函数呢？”这一问题，以极限及微分定义、函数可微与导函数可微的关系为例来说明复变函数并非是微积分从“实数到复数”的平凡推广，而是有本质的不同：微积分中函数一次可微分，其导函数未必连续从而比一定二次可微分，但是由于复变函数可微分是很强的一个条件，所以函数一次可微分，就会任意次可微分。除了强调复变函数中某些概念及其性质呈现出的差异这些知识点外，在教学中还应使学生明确概念推广所遵循的一些基本原则。一方面，概念的推广必须满足相容性，例如當复数域上函数限制到实数域时，必须与实函数的一切性质相吻合。另一方面，概念推广要尽可能保持原对象的性质，尤其是运算性质。
（3）遵循人类记忆规律（见艾宾浩斯记忆曲线），提高学习效率。
5.根据教学内容、教学对象和教学目标，恰当运用板书和多媒体进行教学。
参考文献：
[1]张恭庆.谈数学职业[J].数学通报，2009，（7）：1-7.
[2]张奠宙.微积分教学：从冰冷的美丽到火热的思考[J].高等数学研究，2006，（2）：2-4.
[3][美]Richard Courant Herbert Robbins.What is Mathematics (中译本：什么是数学——对思想和方法的基本研究)[M].上海:复旦大学出版社，2005.
基金项目：东北石油大学教育教学改革项目
作者简介：曹丽霞（1978-），女，硕士，讲师，主要从事奇异积分方程方面的研究；田淑杰（1979-），女，硕士，讲师，研究方向：非线性微分方程；赵忠奎（1960-），男，学士，副教授，研究方向：数学物理方法。