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【摘要】数学概念教学是数学教学的重要组成部分。本文在传统数学概念教学反思的基础上，探讨了基于建构理论的数学概念教学，以平面直角坐标系概念的教学为例，分析了基于建构理论的数学概念教学的过程。
【关键词】数学概念教学;平面直角坐标系
掌握数学概念对数学知识的学习和能力的培养具有“奠基植根”作用，只有正确理解并掌握了基本概念，才能正确认识数学的基本规律，才可能有正确、合理的分析推理能力及迅速、简捷的运算技巧，才能形成数学思想方法，因此，数学概念在数学学习与教学中具有重要地位，若忽视了数学概念教学，学生不能真正掌握数学概念，则学生的数学能力将难以得到发展，更谈不上其他一切教学要求和目的。
在传统的数学概念教学中，总是习惯于把概念当作知识来讲授，实际上剥夺了学生的自主操作、活动的建构过程，剥夺了学生的自主认知过程。学生也许对每一个概念都很熟悉，但是具体到应用的时候，却往往不知所措，或者只能够孤立地记忆概念，但不能够运用联系的观点，在必要的地方联想到这些该应用的概念。
所以我们在教学中应重视学生的数学概念学习的建构过程，即学生将知识建构成自己的东西储存，这种将概念形成的过程暴露给学生，让其建构为自己的“概念”，对其理解该概念的意义无疑是深刻的。
下面我以初中“平面直角坐标系”这个概念为例具体谈谈如何有效地进行基于建构理论的数学概念教学，数学概念的建构过程要经过“操作——过程——对象——图式”四个阶段。
一、操作（活动）阶段
理解数学概念，需要进行蕴含数学概念本质特征的数学活动和操作过程，并以具体的活动或操作规则表现出来.通过活动或操作可以让学习者在接触教材上的科学概念之前，首先对这个概念有个初步的认识。学习者可能并未意识到这种活动或操作的意义，只是将之视为一类具有一定规则的系列动作，甚至是带有趣味性的游戏。当他们遵循一定规则试图完成系列动作或游戏时，学习者便获得了对规则的初步认识，进而理解并接受这些规则。整个活动阶段，学习者通过对活动规则的理解、反思而认识和理解相应数学概念的现实意义。
这一阶段的学习体现了数学概念二重性中的过程性特点。通过设计好的活动或操作让学习者初步認识到数学概念中的要素满足一定的操作过程或算法。因此，这一阶段的学习实质上是使数学概念过程化，是为概念形成做准备。
例如，在平面直角坐标系概念的教学时，教师可以先让学生们说说，他们走进教室以后，都怎样找到自己的座位的？这时有的学生会说，我的座位就在第几行第几列，很容易找到的。有的学生会说，我从教室前门先横走再竖走就到我的座位上了，等等。接着教师在给每一位同学一张地图，请学生们仔细观察地图，并回答问题：
（1）向你的同桌描述建筑物A（动物园）、B（青少年宫）、C（电影院）的位置;
（2）假设你在另一处D（学校），你将怎样找到A、B、C？
结合学生的生活经验，进行这些活动和操作，给学生创造了展开思考与想象的环境和学习平面直角坐标系的现实背景，给予学生充分表达自己看法的机会，让在他们自主思考、自由交流中，在与同学观点交锋中，撞击出思维的火花，使学生更自然地去理解平面直角坐标系的现实意义。
二、过程阶段
在经过了活动阶段的各种活动或操作后，学习者通过观察、分析、比较和抽象，归纳出这些活动和操作中共同的成分，把这些共同的属性与已有认知结构中相关的部分进行整合，或是在发现活动中的新认知与原有认知结构中某些部分发生冲突后，而将原有认知结构作调整以纳入新认知。最后将上述活动或操作中共同的成分推广到一般的情况，并用适当的语言符号将新属性表示出来，这便是综合形成概念的过程。在这个过程中，学习者需要通过有意义的发现或接受学习反复将活动与操作中归纳出的新属性与已有认知结构主动建立联系，并结合具体活动和操作去验证教师或教材给出的科学概念的定义，体会定义中语言和符号的含义。
这一阶段的学习主要是对活动和操作进行分析、比较、归纳和反思，进而理解数学概念中要素的意义，是概念的形成阶段。
例如，经过前面的活动和操作，学生通过观察分析、比较、归纳出这些活动的共同之处，即确定平面上某一位置时的有关横走、竖走的经验。接下来，教师与学生共同回顾已有认知结构中的有关数轴的内容——数轴上的每一点都对应着一个实数值，也即找到那一点，以此诱发学生思考平面上一个点的确定。结合先前活动的经验（有关横走、竖走的经验），抽象得出平面上的确定位置的过程，也是寻找、设置两条数轴（两个方向）的过程。两条互相垂直的数轴也是其中的一种过程，也就构成了平面直角坐标系.然后再结合教材给出的平面直角坐标系的定义，明确原点、X（横）轴、Y（竖）轴等要素的意义，这就初步形成了平面直角坐标系的概念。
三、对象阶段
在掌握了数学概念的各要素后，学习者将把概念形成的过程当作一个独立的对象来处理，即概念由过程向对象转化，转化过程需要三方面内部的心理机制。一是过程的内化，即过程的操作应当脱离相对具体的情景，转变或上升为心理上的操作，不再完全依赖具体的被操作对象和实际问题;二是过程的压缩，需要将内化了的心理操作简约、抽象;三是对象的实体化或对象化。在压缩的基础上，概念达到结构化、整体化，完全摆脱过程的束缚和限制，由需要通过前后顺序操作而在实质意义上显得空泛的一组过程脱胎成易于把握本质的实体对象。
这一阶段的学习，随着理解的深入，学习者不断丰富和完善数学概念在头脑中的表象，由具体形象的表象向抽象简约的表象过渡，最终能综合、压缩数学概念所含的所有要素，将概念作为一个整体对待，即将概念作为整个认知结构中的一个节点。此时，概念作为过程仍然存在，根据需要，学习者可自如地进行概念的过程与对象的转化。
例如，掌握了平面直角坐标系概念中各要素后，教师继续引导学生探讨平面直角坐标系的特点、存在意义——平面内的每一个点与两个数相对应，即一个数对等，将平面直角坐标系作为一个新的对象来认识，对其进行形式化、工具性地表达。这是运用平面直角坐标系的性质来解决问题，可以达到逐步认识新概念的目的。教师可以设置课堂练习： （1）请你在先前地图中，建立平面直角坐标系;
（2）写出各点的坐标;
（3）写出与B点关于坐标轴相对称的点的坐标;
（4）先有点（4，5）和点（-1，7），请你在自己建立的平面直角坐标系中描出这些点。
第一小题由于巩固平面直角坐标系的概念;第二、三小题皆在练习通过点写坐标;第四小题解决根据坐标描点，这一切都将学生的动手实践放在教师讲解之前，已考虑到了知识内容本身的难易程度和学生已有的知识背景。
四、图式阶段
作为对象的数学概念，在学习者整个认知结构中表现为某个节点，它与认知结构中代表数学知识的其它节点逐渐建立起联系，形成节点与节点相联系的网络，即使这个数学概念（包括实例性质、抽象过程、完整定义等）与其它相关的数学概念、定理、性质等建立有意义的联系，以一种综合的心理图式存在于脑海里，在数学认知体系中占有特定的地位。
这一阶段的学习是个不断深化的过程，随着知识的积累，学习者需要不断对已有认知结构进行调整，对数学概念的理解和认知也随着这种调整不断深入。
例如，当对平面直角坐标系概念的学习达到对象阶段后，综合作为过程的平面直角坐标系和作为对象的平面直角坐标系，形成平面直角坐标系的知识板块。这一部分包括平面直角坐标系的性质、完整的定义、原点、X轴、Y轴等要素的意义，现实生活中直角坐标系思想的应用（例如进电影院找座位，到公园找景点等）、直角坐标系的作用（刻画平面上点的位置）、在直角坐标系中确定点的过程等。在此基础上，可以明确平面直角坐标系的内容与数轴的区别与联系。
教师可以带领学生课堂练习，并在其中尝试区分平面直角坐标系与数轴的不同，认识它们的优越性。例如，让学生们在自己的平面直角坐标系中找出点（0，3）与点（0，-5），观察这两个点有什么关系。可以看出，平面直角坐标系当中点的坐标可表示在一条数轴上的點，这样看来，它既表示平面的点，也可以表示平面当中的直线上的点。
【参考文献】
[1]赵继源.数学教学论[M].桂林：广西师范大学出版社，2005：66-72.
[2]乔连全.APOS：一种建构主义的数学学习理论[J].全球教育展望，2001（3）：16-18.
[3]张莹.基于建构主义的数学学习理论[J].数学学习与研究，2007（2）：32.
[4]张伟平.基于建构理论的数学概念教学探究[J].数学通讯，2006（15）：1-4.
[5]涂荣豹.数学教学认识论[M].南京：南京师范大学出版社，2004：294-301.
【关键词】数学概念教学;平面直角坐标系
掌握数学概念对数学知识的学习和能力的培养具有“奠基植根”作用，只有正确理解并掌握了基本概念，才能正确认识数学的基本规律，才可能有正确、合理的分析推理能力及迅速、简捷的运算技巧，才能形成数学思想方法，因此，数学概念在数学学习与教学中具有重要地位，若忽视了数学概念教学，学生不能真正掌握数学概念，则学生的数学能力将难以得到发展，更谈不上其他一切教学要求和目的。
在传统的数学概念教学中，总是习惯于把概念当作知识来讲授，实际上剥夺了学生的自主操作、活动的建构过程，剥夺了学生的自主认知过程。学生也许对每一个概念都很熟悉，但是具体到应用的时候，却往往不知所措，或者只能够孤立地记忆概念，但不能够运用联系的观点，在必要的地方联想到这些该应用的概念。
所以我们在教学中应重视学生的数学概念学习的建构过程，即学生将知识建构成自己的东西储存，这种将概念形成的过程暴露给学生，让其建构为自己的“概念”，对其理解该概念的意义无疑是深刻的。
下面我以初中“平面直角坐标系”这个概念为例具体谈谈如何有效地进行基于建构理论的数学概念教学，数学概念的建构过程要经过“操作——过程——对象——图式”四个阶段。
一、操作（活动）阶段
理解数学概念，需要进行蕴含数学概念本质特征的数学活动和操作过程，并以具体的活动或操作规则表现出来.通过活动或操作可以让学习者在接触教材上的科学概念之前，首先对这个概念有个初步的认识。学习者可能并未意识到这种活动或操作的意义，只是将之视为一类具有一定规则的系列动作，甚至是带有趣味性的游戏。当他们遵循一定规则试图完成系列动作或游戏时，学习者便获得了对规则的初步认识，进而理解并接受这些规则。整个活动阶段，学习者通过对活动规则的理解、反思而认识和理解相应数学概念的现实意义。
这一阶段的学习体现了数学概念二重性中的过程性特点。通过设计好的活动或操作让学习者初步認识到数学概念中的要素满足一定的操作过程或算法。因此，这一阶段的学习实质上是使数学概念过程化，是为概念形成做准备。
例如，在平面直角坐标系概念的教学时，教师可以先让学生们说说，他们走进教室以后，都怎样找到自己的座位的？这时有的学生会说，我的座位就在第几行第几列，很容易找到的。有的学生会说，我从教室前门先横走再竖走就到我的座位上了，等等。接着教师在给每一位同学一张地图，请学生们仔细观察地图，并回答问题：
（1）向你的同桌描述建筑物A（动物园）、B（青少年宫）、C（电影院）的位置;
（2）假设你在另一处D（学校），你将怎样找到A、B、C？
结合学生的生活经验，进行这些活动和操作，给学生创造了展开思考与想象的环境和学习平面直角坐标系的现实背景，给予学生充分表达自己看法的机会，让在他们自主思考、自由交流中，在与同学观点交锋中，撞击出思维的火花，使学生更自然地去理解平面直角坐标系的现实意义。
二、过程阶段
在经过了活动阶段的各种活动或操作后，学习者通过观察、分析、比较和抽象，归纳出这些活动和操作中共同的成分，把这些共同的属性与已有认知结构中相关的部分进行整合，或是在发现活动中的新认知与原有认知结构中某些部分发生冲突后，而将原有认知结构作调整以纳入新认知。最后将上述活动或操作中共同的成分推广到一般的情况，并用适当的语言符号将新属性表示出来，这便是综合形成概念的过程。在这个过程中，学习者需要通过有意义的发现或接受学习反复将活动与操作中归纳出的新属性与已有认知结构主动建立联系，并结合具体活动和操作去验证教师或教材给出的科学概念的定义，体会定义中语言和符号的含义。
这一阶段的学习主要是对活动和操作进行分析、比较、归纳和反思，进而理解数学概念中要素的意义，是概念的形成阶段。
例如，经过前面的活动和操作，学生通过观察分析、比较、归纳出这些活动的共同之处，即确定平面上某一位置时的有关横走、竖走的经验。接下来，教师与学生共同回顾已有认知结构中的有关数轴的内容——数轴上的每一点都对应着一个实数值，也即找到那一点，以此诱发学生思考平面上一个点的确定。结合先前活动的经验（有关横走、竖走的经验），抽象得出平面上的确定位置的过程，也是寻找、设置两条数轴（两个方向）的过程。两条互相垂直的数轴也是其中的一种过程，也就构成了平面直角坐标系.然后再结合教材给出的平面直角坐标系的定义，明确原点、X（横）轴、Y（竖）轴等要素的意义，这就初步形成了平面直角坐标系的概念。
三、对象阶段
在掌握了数学概念的各要素后，学习者将把概念形成的过程当作一个独立的对象来处理，即概念由过程向对象转化，转化过程需要三方面内部的心理机制。一是过程的内化，即过程的操作应当脱离相对具体的情景，转变或上升为心理上的操作，不再完全依赖具体的被操作对象和实际问题;二是过程的压缩，需要将内化了的心理操作简约、抽象;三是对象的实体化或对象化。在压缩的基础上，概念达到结构化、整体化，完全摆脱过程的束缚和限制，由需要通过前后顺序操作而在实质意义上显得空泛的一组过程脱胎成易于把握本质的实体对象。
这一阶段的学习，随着理解的深入，学习者不断丰富和完善数学概念在头脑中的表象，由具体形象的表象向抽象简约的表象过渡，最终能综合、压缩数学概念所含的所有要素，将概念作为一个整体对待，即将概念作为整个认知结构中的一个节点。此时，概念作为过程仍然存在，根据需要，学习者可自如地进行概念的过程与对象的转化。
例如，掌握了平面直角坐标系概念中各要素后，教师继续引导学生探讨平面直角坐标系的特点、存在意义——平面内的每一个点与两个数相对应，即一个数对等，将平面直角坐标系作为一个新的对象来认识，对其进行形式化、工具性地表达。这是运用平面直角坐标系的性质来解决问题，可以达到逐步认识新概念的目的。教师可以设置课堂练习： （1）请你在先前地图中，建立平面直角坐标系;
（2）写出各点的坐标;
（3）写出与B点关于坐标轴相对称的点的坐标;
（4）先有点（4，5）和点（-1，7），请你在自己建立的平面直角坐标系中描出这些点。
第一小题由于巩固平面直角坐标系的概念;第二、三小题皆在练习通过点写坐标;第四小题解决根据坐标描点，这一切都将学生的动手实践放在教师讲解之前，已考虑到了知识内容本身的难易程度和学生已有的知识背景。
四、图式阶段
作为对象的数学概念，在学习者整个认知结构中表现为某个节点，它与认知结构中代表数学知识的其它节点逐渐建立起联系，形成节点与节点相联系的网络，即使这个数学概念（包括实例性质、抽象过程、完整定义等）与其它相关的数学概念、定理、性质等建立有意义的联系，以一种综合的心理图式存在于脑海里，在数学认知体系中占有特定的地位。
这一阶段的学习是个不断深化的过程，随着知识的积累，学习者需要不断对已有认知结构进行调整，对数学概念的理解和认知也随着这种调整不断深入。
例如，当对平面直角坐标系概念的学习达到对象阶段后，综合作为过程的平面直角坐标系和作为对象的平面直角坐标系，形成平面直角坐标系的知识板块。这一部分包括平面直角坐标系的性质、完整的定义、原点、X轴、Y轴等要素的意义，现实生活中直角坐标系思想的应用（例如进电影院找座位，到公园找景点等）、直角坐标系的作用（刻画平面上点的位置）、在直角坐标系中确定点的过程等。在此基础上，可以明确平面直角坐标系的内容与数轴的区别与联系。
教师可以带领学生课堂练习，并在其中尝试区分平面直角坐标系与数轴的不同，认识它们的优越性。例如，让学生们在自己的平面直角坐标系中找出点（0，3）与点（0，-5），观察这两个点有什么关系。可以看出，平面直角坐标系当中点的坐标可表示在一条数轴上的點，这样看来，它既表示平面的点，也可以表示平面当中的直线上的点。
【参考文献】
[1]赵继源.数学教学论[M].桂林：广西师范大学出版社，2005：66-72.
[2]乔连全.APOS：一种建构主义的数学学习理论[J].全球教育展望，2001（3）：16-18.
[3]张莹.基于建构主义的数学学习理论[J].数学学习与研究，2007（2）：32.
[4]张伟平.基于建构理论的数学概念教学探究[J].数学通讯，2006（15）：1-4.
[5]涂荣豹.数学教学认识论[M].南京：南京师范大学出版社，2004：294-301.