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摘要:“整体思想”是初中数学中一个重要的数学思想方法. 利用整体思想,我们可以解决一些复杂的问题. 本文通过对初中阶段几个知识点的阐述,与各位同仁一起体验一下“整体思想”的魅力.
关键词:整体思想;解题;应用
数学中的“整体思想”是学生必须掌握的数学思想方法之一. 整体思想方法就是指在研究问题时从整体出发,对问题的整体形式、结构、特征进行综合分析、整体处理的思想方法. 利用整体思想分析问题,往往可以找到最合理、最简捷、最实用的解题方法,起到化难为易、化繁为简的作用,提高解题效率. 整体思想涉及的形式较多,这里主要对“整体观察”“整体代入”“整体换元”“整体构造”在解题过程中的作用,结合初中毕业专题复习,从下面的例题中让学生进一步掌握整体思想的解题技巧,从而提高学生的解题能力.
在生活中的应用
例1某班春游,上午8时从学校出发,先沿平路到山脚下,再爬到山顶,在山顶停留1.5 h,沿原路返回学校时已是下午3时30分. 已知平路每小时行4 km,上山速度是平路的,下山速度是上山的2倍,求所行全程.
分析设全程中平路为2x km,上、下山路各为y km,则平路所用的时间为 h,上山时间为 h,下山时间为 h,而总时间为15.5-8-1.5=6 h,得到方程++=6. 从而求解.
解析设全程中平路为2x km,上、下山路各为y km,依题意有++=6.
化简得x+y=12,
所以2x+2y=24.
所以全程为24 km.
点评本题并没有求得平路与上下山路的路程,而是巧妙地通过关系式求得它们的关系.
在求值中的应用
例2已知x=-1,y=+1,求+的值.
解析x+y=(-1)+(+1)=2,xy=(-1)•(+1)=1.
+====6.
点评本题如果直接代入计算,则计算量较大,而且容易出错. 通过观察已知条件和欲求解的式子,发现它们都可以化简,采取整体代入的思想,比较容易求出问题的解.
例3已知m+2n-1=0,求33m×272n的值.
分析33m×272n并不符合同底数幂的乘法,但27可以化成以3为底的幂的形式,这样就可以把所求式转化为以3为底的幂相乘的形式.
解析由已知m+2n-1=0,得m+2n=1,3(m+2n)=3,即3m+6n=3,所以33m×272n=33m×(33)2n=33m×36n=33m+6n=33=27.
点评解决此类问题的关键是将代数式化为幂的形式,然后将已知条件代入即可. 有时需要把某个代数式看作一个整体,代入要求的代数式,这样可使问题简化.
在勾股定理中的应用
例4已知a,b,c分别是Rt△ABC的两条直角边和斜边,且a+b=14,c=10,则S△ABC= .
分析要求直角三角形的面积,一般的想法是先求出其两条直角边a,b,则S△ABC即可求出. 但这样求a,b非常复杂,甚至在现阶段不可能. 如果注意到S△ABC=ab,那么只要求出ab这一整体就可以了.
解析由a+b=14,两边平方得a2+2ab+b2=196,
所以ab=.
根据勾股定理,a2+b2=c2,
所以ab===48.
因此,S△ABC=ab=24.
点评采取整体思想的方法,有时可以使问题直奔主题,少走弯路,使问题的解决方便、快捷. 在一定程度上,体现了解题者的目标意识.
在面积中的应用
例5如图1,菱形ABCD的对角线的长分别是2和5,P是对角线AC上的任一点(点P不与点A,C重合),且PE∥BC交AB于点E,PF∥CD交AD于点F,则阴影部分的面积是______.
图1
解析由条件知PE∥BC,PF∥CD,进而可得PE∥AF,PF∥AE,所以四边形AEPF为平行四边形,这样容易得到S△POF=S△AOE .
所以S阴影=S△ABC=S菱形ABCD =××AC•BD=.
点评整体思想就是根据问题的整体结构特征,把一组数、一个代数式或几个图形视为一个整体,去观察、分析、探究问题的一种方法,从而使问题得以巧妙地解决.
例6如图2,有六个等圆按甲、乙、丙三种方式摆放,使相邻两圆互相外切,圆心连线分别构成正六边形、平行四边形、正三角形. 圆心连线外侧的六个扇形(阴影部分)的面积之和依次记为S,P,Q,则()
A. S>P>Q B. S>Q>P
C. S>P=Q D. S=P=Q
图2
分析要想比较各个图形中阴影部分的面积,若逐一计算,显然有点繁,还有可能难以求解. 由于无法知道每个扇形的圆心角,可以考虑将六个扇形的圆心角合为一个整体,这样就可以利用多边形内角和定理,分别求得各自六个圆心角之和,即可以利用扇形面积计算公式从整体上求解.
解析因为甲图是六边形,即六个圆心角之和为(6-2)×180°=720°,乙图的六个圆心角之和为平行四边形的内角和加上两个半圆的圆心角,即为360°+2×180°=720°,丙图的六个圆心角之和为三角形的内角和加上三个半圆的圆心角,即为180°+3×180°=720°.
由此可见,甲、乙、丙三个图形中的六个扇形的面积之和是相等的,即阴影部分的面积S=P=Q=6-πR2=4πR2.
故应选D.
在解方程组中的应用
例7求二元一次方程组7x+4y=10,4x+2y=5 的解.
解析(1)普通的代入法(用含x的代数式表示y):
7x+4y=10,①4x+2y=5.②
由②得y=. ③
把③代入①,得7x+4×=10,
解得x=0.
把x=0代入③,得y==2.5.
所以,原方程组的解是x=0,y=2.5.
(2)整体代入法(考虑到方程②和方程①中y的系数存在一个整数倍的关系,即4y是2y的2倍,所以可以把方程②中的2y看成一个整体,求2y的结果,然后直接代入方程①,而不是将y的代数式代入方程①,这样计算起来更简单):
7x+4y=10,①4x+2y=5.②
由②得2y=5-4x,③
把③代入①,得7x+2(5-4x)=10,
解得x=0,
把x=0代入③,得2y=5-4×0=5,
所以y=2.5.
故原方程组的解是x=0,y=2.5.
点评当方程组中的两个方程存在整数倍关系时,用代入法可将整数倍数关系数中较小的一个变形,用另一个字母代数式表示它后代入另一个方程. 通过整体方法的使用,我们应该知道在进行任何一种数学计算时,计算方法和解题方法都不是不变的,是可以在常规的方法基础上,根据具体的实际情况进行适当的变化,从而将整个解题过程变得更加简单、更加容易理解和接受.
关键词:整体思想;解题;应用
数学中的“整体思想”是学生必须掌握的数学思想方法之一. 整体思想方法就是指在研究问题时从整体出发,对问题的整体形式、结构、特征进行综合分析、整体处理的思想方法. 利用整体思想分析问题,往往可以找到最合理、最简捷、最实用的解题方法,起到化难为易、化繁为简的作用,提高解题效率. 整体思想涉及的形式较多,这里主要对“整体观察”“整体代入”“整体换元”“整体构造”在解题过程中的作用,结合初中毕业专题复习,从下面的例题中让学生进一步掌握整体思想的解题技巧,从而提高学生的解题能力.
在生活中的应用
例1某班春游,上午8时从学校出发,先沿平路到山脚下,再爬到山顶,在山顶停留1.5 h,沿原路返回学校时已是下午3时30分. 已知平路每小时行4 km,上山速度是平路的,下山速度是上山的2倍,求所行全程.
分析设全程中平路为2x km,上、下山路各为y km,则平路所用的时间为 h,上山时间为 h,下山时间为 h,而总时间为15.5-8-1.5=6 h,得到方程++=6. 从而求解.
解析设全程中平路为2x km,上、下山路各为y km,依题意有++=6.
化简得x+y=12,
所以2x+2y=24.
所以全程为24 km.
点评本题并没有求得平路与上下山路的路程,而是巧妙地通过关系式求得它们的关系.
在求值中的应用
例2已知x=-1,y=+1,求+的值.
解析x+y=(-1)+(+1)=2,xy=(-1)•(+1)=1.
+====6.
点评本题如果直接代入计算,则计算量较大,而且容易出错. 通过观察已知条件和欲求解的式子,发现它们都可以化简,采取整体代入的思想,比较容易求出问题的解.
例3已知m+2n-1=0,求33m×272n的值.
分析33m×272n并不符合同底数幂的乘法,但27可以化成以3为底的幂的形式,这样就可以把所求式转化为以3为底的幂相乘的形式.
解析由已知m+2n-1=0,得m+2n=1,3(m+2n)=3,即3m+6n=3,所以33m×272n=33m×(33)2n=33m×36n=33m+6n=33=27.
点评解决此类问题的关键是将代数式化为幂的形式,然后将已知条件代入即可. 有时需要把某个代数式看作一个整体,代入要求的代数式,这样可使问题简化.
在勾股定理中的应用
例4已知a,b,c分别是Rt△ABC的两条直角边和斜边,且a+b=14,c=10,则S△ABC= .
分析要求直角三角形的面积,一般的想法是先求出其两条直角边a,b,则S△ABC即可求出. 但这样求a,b非常复杂,甚至在现阶段不可能. 如果注意到S△ABC=ab,那么只要求出ab这一整体就可以了.
解析由a+b=14,两边平方得a2+2ab+b2=196,
所以ab=.
根据勾股定理,a2+b2=c2,
所以ab===48.
因此,S△ABC=ab=24.
点评采取整体思想的方法,有时可以使问题直奔主题,少走弯路,使问题的解决方便、快捷. 在一定程度上,体现了解题者的目标意识.
在面积中的应用
例5如图1,菱形ABCD的对角线的长分别是2和5,P是对角线AC上的任一点(点P不与点A,C重合),且PE∥BC交AB于点E,PF∥CD交AD于点F,则阴影部分的面积是______.
图1
解析由条件知PE∥BC,PF∥CD,进而可得PE∥AF,PF∥AE,所以四边形AEPF为平行四边形,这样容易得到S△POF=S△AOE .
所以S阴影=S△ABC=S菱形ABCD =××AC•BD=.
点评整体思想就是根据问题的整体结构特征,把一组数、一个代数式或几个图形视为一个整体,去观察、分析、探究问题的一种方法,从而使问题得以巧妙地解决.
例6如图2,有六个等圆按甲、乙、丙三种方式摆放,使相邻两圆互相外切,圆心连线分别构成正六边形、平行四边形、正三角形. 圆心连线外侧的六个扇形(阴影部分)的面积之和依次记为S,P,Q,则()
A. S>P>Q B. S>Q>P
C. S>P=Q D. S=P=Q
图2
分析要想比较各个图形中阴影部分的面积,若逐一计算,显然有点繁,还有可能难以求解. 由于无法知道每个扇形的圆心角,可以考虑将六个扇形的圆心角合为一个整体,这样就可以利用多边形内角和定理,分别求得各自六个圆心角之和,即可以利用扇形面积计算公式从整体上求解.
解析因为甲图是六边形,即六个圆心角之和为(6-2)×180°=720°,乙图的六个圆心角之和为平行四边形的内角和加上两个半圆的圆心角,即为360°+2×180°=720°,丙图的六个圆心角之和为三角形的内角和加上三个半圆的圆心角,即为180°+3×180°=720°.
由此可见,甲、乙、丙三个图形中的六个扇形的面积之和是相等的,即阴影部分的面积S=P=Q=6-πR2=4πR2.
故应选D.
在解方程组中的应用
例7求二元一次方程组7x+4y=10,4x+2y=5 的解.
解析(1)普通的代入法(用含x的代数式表示y):
7x+4y=10,①4x+2y=5.②
由②得y=. ③
把③代入①,得7x+4×=10,
解得x=0.
把x=0代入③,得y==2.5.
所以,原方程组的解是x=0,y=2.5.
(2)整体代入法(考虑到方程②和方程①中y的系数存在一个整数倍的关系,即4y是2y的2倍,所以可以把方程②中的2y看成一个整体,求2y的结果,然后直接代入方程①,而不是将y的代数式代入方程①,这样计算起来更简单):
7x+4y=10,①4x+2y=5.②
由②得2y=5-4x,③
把③代入①,得7x+2(5-4x)=10,
解得x=0,
把x=0代入③,得2y=5-4×0=5,
所以y=2.5.
故原方程组的解是x=0,y=2.5.
点评当方程组中的两个方程存在整数倍关系时,用代入法可将整数倍数关系数中较小的一个变形,用另一个字母代数式表示它后代入另一个方程. 通过整体方法的使用,我们应该知道在进行任何一种数学计算时,计算方法和解题方法都不是不变的,是可以在常规的方法基础上,根据具体的实际情况进行适当的变化,从而将整个解题过程变得更加简单、更加容易理解和接受.