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题型一 利用导数研究数列的单调性与最值
例1 已知数列[an]的通项[an=-2n3+7n2]，求数列的最大项.
解析 令[f（x）=-2x3+7x2，]则[f（x）=-6x（x-73），]
当[00].
当[x>73]时，[f（x）<0].
∴[f（x）]在[（0，73]]上是增函数，在[[73，+∞）]上是减函数.
∴[f（2）=12]，[f（3）=9].
∴数列[an]的最大项为[a2=12].
题型二 利用导数求数列前[n]项的和
例2 已知数列[an]，[an=nxn-1]，求此数列前[n]项和[Sn].
解析 当[x=1]时，
[Sn=1+2+3+…+n=12n（n+1）].
当[x≠1]时，由[x+x2+x3+…+xn=x-xn+11-x]两边求导得，
[1+2x+3x2+…+nxn-1=1-（n+1）xn+nxn+1（1-x）2].
∴[Sn=12n（n+1）， x=1，1-（n+1）xn+nxn+1（1-x）2，x≠1.]
题型三 利用导数证明数列不等式
例3 已知[a>0]，[n∈N*]，抛物线[y=-x2+an2]与[x]轴正半轴交于点[A]，设[f（n）]为抛物线在点[A]处的切线在[y]轴上的截距.
（1）用[a]和[n]表示[f（n）]；
（2）当[0 解析 （1）抛物线[y=-x2+an2]以其上一点[A（an2，0）]为切点的切线方程为[y=-2anx+an]，此直线在[y]轴上的截距为[f（n）=an].
（2）令[g（x）=274x（x2-x）+1（0 则[g（x）=814x（x-23）]，
当[0 当[230].
∴[g（x）]在[（0，23]]上是减函数，在[[23，1）]上是增函数，
则[g（x）]≥[g（23）=0][?274x（x2-x）+1]≥0
[?1x-x2]≥[274x].
取[x=a，a2，a3，…，an]得到的[n]个不等式相加得，
[1a-a2+1a2-a4+1a3-a6+…+1an-a2n]
≥[274（a+a2+a3+…+an）]
[=274?a-an+11-a>274?a-an1-a].
∴[Sn>274?f（1）-f（n）f（0）-f（1）].
例4 已知曲线[cn]：[x2-2nx+y2=0][（n∈N*）]，以点[P（-1，0）]向曲线[cn]引斜率为[kn][（kn>0）]的切线[ln]，切点为[Pn（xn，yn）].
（1）求数列[xn]与数列[yn]的通项公式；
（2）证明：[x1x3x5…x2n-1<1-xn1+xn<2sinxnyn].
解析 曲线[cn]：[x2-2nx+y2=0][（n∈N*）]是圆心为[（n，0）]、半径为[n]的圆，圆的切线[ln]的方程为[y=kn（x+1）].
（1）[|nkn+kn|1+kn2=n]即[kn2=n22n+1]，则
[xn2-2nxn+yn2=0yn=kn（xn+1）?xn2-2nxn+yn2=0yn2=n22n+1（xn+1）2?xn=nn+1yn=n2n+1n+1]
（2）[1-xn1+xn=12n+1，][2sinxnyn=2sin12n+1.]
由数列[xn]是递增数列知：
[（x1x3x5…x2n-1）2 [=12?23?34?…?2n-12n?2n2n+1=12n+1]
[?x1x3x5…x2n-1<12n+1.]
令[f（x）=x-2sinx（0 由[33<π4]及[y=cosx]在[（0，π2）]上是减函数知，
[f（x）=1-2cosx][1-2cos33][<1-2cosπ4=0，]
则[f（x）]是减函数，于是
[f（x） ∴[x1x3x5…x2n-1<1-xn1+xn<2sinxnyn].
例1 已知数列[an]的通项[an=-2n3+7n2]，求数列的最大项.
解析 令[f（x）=-2x3+7x2，]则[f（x）=-6x（x-73），]
当[0
当[x>73]时，[f（x）<0].
∴[f（x）]在[（0，73]]上是增函数，在[[73，+∞）]上是减函数.
∴[f（2）=12]，[f（3）=9].
∴数列[an]的最大项为[a2=12].
题型二 利用导数求数列前[n]项的和
例2 已知数列[an]，[an=nxn-1]，求此数列前[n]项和[Sn].
解析 当[x=1]时，
[Sn=1+2+3+…+n=12n（n+1）].
当[x≠1]时，由[x+x2+x3+…+xn=x-xn+11-x]两边求导得，
[1+2x+3x2+…+nxn-1=1-（n+1）xn+nxn+1（1-x）2].
∴[Sn=12n（n+1）， x=1，1-（n+1）xn+nxn+1（1-x）2，x≠1.]
题型三 利用导数证明数列不等式
例3 已知[a>0]，[n∈N*]，抛物线[y=-x2+an2]与[x]轴正半轴交于点[A]，设[f（n）]为抛物线在点[A]处的切线在[y]轴上的截距.
（1）用[a]和[n]表示[f（n）]；
（2）当[0
（2）令[g（x）=274x（x2-x）+1（0
当[0
∴[g（x）]在[（0，23]]上是减函数，在[[23，1）]上是增函数，
则[g（x）]≥[g（23）=0][?274x（x2-x）+1]≥0
[?1x-x2]≥[274x].
取[x=a，a2，a3，…，an]得到的[n]个不等式相加得，
[1a-a2+1a2-a4+1a3-a6+…+1an-a2n]
≥[274（a+a2+a3+…+an）]
[=274?a-an+11-a>274?a-an1-a].
∴[Sn>274?f（1）-f（n）f（0）-f（1）].
例4 已知曲线[cn]：[x2-2nx+y2=0][（n∈N*）]，以点[P（-1，0）]向曲线[cn]引斜率为[kn][（kn>0）]的切线[ln]，切点为[Pn（xn，yn）].
（1）求数列[xn]与数列[yn]的通项公式；
（2）证明：[x1x3x5…x2n-1<1-xn1+xn<2sinxnyn].
解析 曲线[cn]：[x2-2nx+y2=0][（n∈N*）]是圆心为[（n，0）]、半径为[n]的圆，圆的切线[ln]的方程为[y=kn（x+1）].
（1）[|nkn+kn|1+kn2=n]即[kn2=n22n+1]，则
[xn2-2nxn+yn2=0yn=kn（xn+1）?xn2-2nxn+yn2=0yn2=n22n+1（xn+1）2?xn=nn+1yn=n2n+1n+1]
（2）[1-xn1+xn=12n+1，][2sinxnyn=2sin12n+1.]
由数列[xn]是递增数列知：
[（x1x3x5…x2n-1）2
[?x1x3x5…x2n-1<12n+1.]
令[f（x）=x-2sinx（0
[f（x）=1-2cosx][1-2cos33][<1-2cosπ4=0，]
则[f（x）]是减函数，于是
[f（x）