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【摘要】“包装的學问”是北师大版五年级下“数学好玩”中的内容，是一节实践活动课，以长方体和正方体的表面积为线索，探究多个长方体拼接成各种更大的长方体时面积最小的策略.平常的教学中我们都是探究到4个长方体为止，课后的练习中却出现6个长方体组合求最小表面积的题目.根据对学生的访谈了解的情况，笔者对求这类包装最小面积的问题有两点启发，不仅可以得到通用的方法，还可以提高学生的探究意识.
【关键词】包装的学问;重合的面;有序;表面积最小
一、重温旧梦
“包装的学问”老师们都很熟悉，很多名师对它也有精彩演绎，关于它的设计我不多做赘述，以下是一个“包装的学问”课堂中新授课部分的一个简单流程.
（一）激发兴趣，导入新课
1.课件中播放各种精美的包装，感受生活中的包装.
2.出示单个包装盒（长20 cm，宽10 cm，高5 cm），包装的面积就是长方体的表面积.
（二）动手操作，探究方案，得出结论
1.2个包装盒的包装方案
学生动手实践展示三种方案.
方案一：两个小面重合（如图1所示）.
方案二：两个中面重合（如图2所示）.
方案三：两个大面重合（如图3所示）.
观察后猜测第三种方案的表面积最小.
2.计算验证
（1）方法一：用组合后的图形的长、宽、高求解.
方案一：（40×10 40×5 10×5）×2=1300（cm2）.
方案二：（20×20 20×5 20×5）×2=1200（cm2）.
方案三：（20×10 20×10 10×10）×2=1000（cm2）.
（2）方法二：用原来的面积减去重合的面积计算.
方案一：（20×10×2 20×5×2 10×5×2）×2-5×10×2=1300（cm2）.
方案二：（20×10×2 20×5×2 10×5×2）×2-20×5×2=1200（cm2）.
方案三：（20×10×2 20×5×2 10×5×2）×2-20×10×2=1000（cm2）.
（3）方法三：求小面、中面、大面的面积之和.
方案一：20×10×4 20×5×4 10×5×2=1300（cm2）.
方案二：20×10×4 10×5×4 20×5×2=1200（cm2）.
方案三：20×10×2 20×5×4 10×5×4=1000（cm2）.
比较计算方法，可以得出方法一和方法二的计算比较方便.
（三）包装三个盒子
学生展示三种包装方案.
方案一：4个小面重合（如图4所示）.
方案二：4个中面重合（如图5所示）.
方案三：4个大面重合（如图6所示）.
学生计算得出方案三的面积最小.
小结：重合的面积越多，其包装面积越小.
（四）包装4个盒子
学生用学具代替盒子进行尝试摆拼，得出六种方法（如图7所示）.
学生根据上面的小结进行猜测，并计算验证哪种包装面积最小.
总结：重合的面积越大，表面积就越小，就越节约包装纸，这就是包装的学问.用表面积之和减去重合的面积就是包装纸的面积.
二、惊现问题
以上就是“包装的学问”新授课部分的一个简单的流程，本人也是按照这样的流程进行教学的.那么教学效果如何？在课后的一道练习中又暴露了学生的困惑，或者说是无从下手的地方，我们一起来看看这道题目：
把六个完全相同的长方体（6 cm×2 cm×1 cm）盒子包装成一个大长方体，表面积最小是多少？
全班30人只有2人得出正确答案，其中一人还是在网络的帮助下得到的正确答案.我对全班同学进行了统计，以了解他们解决这类题目时的策略及困难.
班级里的29人都不知道究竟有几种拼法，其中只有一人知道总共有9种拼法.
这些人中有25人没有通过计算，只是通过直觉判断图8这种拼法最节省，学生认为这种拼法有10个最大的面重合，而且大面比中面和小面大得多.从上面的调查我们可以发现，学生对究竟有几种拼法是发现几种就几种，而且为了避开复杂的计算，都是凭直觉判断哪种方案有最小的表面积.
三、慎思之，明辨之
俞正强特级教师曾说：“自己要时刻保持善良和努力.因为善良，他们就会倒逼自己去思考如何提高、完善管理或教学，让小朋友幸福成长.善良的老师会受不了孩子学得这么痛苦或将来会痛苦，于是会去思考，当他思考足够努力时，解决方法就出来了.”
针对学生的困惑，我们要去努力解决两个问题：
（1）如何有序地知道有几种拼法？
（2）如何判断何时表面积最小？能直接排除其他，只要计算其中的一种或两种进行比较岂不是更好？
管子曾说：“思之思之，又重思之.思之而不通，鬼神将通之;非鬼神之功也，精诚之极也！”经过思考，我们一起来解决这两个问题.
（一）第一个问题——有序地知道有几种拼法
我们先从简单的入手，2个盒子、3个盒子都是3种拼法，4个盒子就是6种拼法，6个盒子就是9种拼法，这和它们因数的对数有关，因数的对数越多，拼法也就越多.
以6个盒子为例，约定：如图9，像这样由24个小长方体组成的长方体我们把它叫作（2，3，4）.
我们知道，24=2×3×4.
6个小长方体能摆几种，只要思考6=（ ）×（ ）×（ ）有多少种答案，我们根据排列组合可以预测它有9种，分别如下所示：
以上就是寻找有多少种组合的方法：只要寻找n个小长方体中n=（ ）×（ ）×（ ）有多少种结果，就可以根据它的因数有序寻找.
（二）第二个问题：何时面积最小
上述的9种拼法中，（1，2，3）这种拼法的面积是最小的，拼成之后的长方体的长、宽、高分别是6 cm，4 cm，3 cm.这组数据非常小而且非常接近，在图形上也可以理解为拼成之后的立体图形比其他几个更加接近正方体，面积=（6×4 6×3 3×4）×2=108（cm2）.
随着要拼的小长方体数量的增多，研究重合面积会变得越来越复杂.所幸拼成的大长方体的长、宽、高可以根据三维数对清楚地知道.用长、宽、高可以更快地求出最小表面积，或者说这是一种更加通用的方法.
判断表面积最小的方法就是：用三维数对求出对应的大长方体的长、宽、高，哪种拼法长、宽、高越小而且越接近（也就是拼成的立体图形越接近正方体）它的表面积就越小.
四、思之又思之
为了培养学生的探究意识和创新意识，我们可以把上面的两个结论放在第二课时讲解.第一课时就按教材的内容从变化的角度着重研究变化部分的面积，第二课时就是为了让学生挖得更深，走得更远，同时也走得更加轻松一些.
【参考文献】
[1]胡英武.“包装的学问”之数学模型[J].教育界，2016（33）：76-77.
[2]李玲玲.妙用数学问题，整体建构模型：以“数图形的学问”为例谈数学模型的建构[J].小学教学，2019（12）：38-40.
[3]侯政.构建数学模型使数学问题“形象化”[J].考试周刊，2010（43）：75-76.
【关键词】包装的学问;重合的面;有序;表面积最小
一、重温旧梦
“包装的学问”老师们都很熟悉，很多名师对它也有精彩演绎，关于它的设计我不多做赘述，以下是一个“包装的学问”课堂中新授课部分的一个简单流程.
（一）激发兴趣，导入新课
1.课件中播放各种精美的包装，感受生活中的包装.
2.出示单个包装盒（长20 cm，宽10 cm，高5 cm），包装的面积就是长方体的表面积.
（二）动手操作，探究方案，得出结论
1.2个包装盒的包装方案
学生动手实践展示三种方案.
方案一：两个小面重合（如图1所示）.
方案二：两个中面重合（如图2所示）.
方案三：两个大面重合（如图3所示）.
观察后猜测第三种方案的表面积最小.
2.计算验证
（1）方法一：用组合后的图形的长、宽、高求解.
方案一：（40×10 40×5 10×5）×2=1300（cm2）.
方案二：（20×20 20×5 20×5）×2=1200（cm2）.
方案三：（20×10 20×10 10×10）×2=1000（cm2）.
（2）方法二：用原来的面积减去重合的面积计算.
方案一：（20×10×2 20×5×2 10×5×2）×2-5×10×2=1300（cm2）.
方案二：（20×10×2 20×5×2 10×5×2）×2-20×5×2=1200（cm2）.
方案三：（20×10×2 20×5×2 10×5×2）×2-20×10×2=1000（cm2）.
（3）方法三：求小面、中面、大面的面积之和.
方案一：20×10×4 20×5×4 10×5×2=1300（cm2）.
方案二：20×10×4 10×5×4 20×5×2=1200（cm2）.
方案三：20×10×2 20×5×4 10×5×4=1000（cm2）.
比较计算方法，可以得出方法一和方法二的计算比较方便.
（三）包装三个盒子
学生展示三种包装方案.
方案一：4个小面重合（如图4所示）.
方案二：4个中面重合（如图5所示）.
方案三：4个大面重合（如图6所示）.
学生计算得出方案三的面积最小.
小结：重合的面积越多，其包装面积越小.
（四）包装4个盒子
学生用学具代替盒子进行尝试摆拼，得出六种方法（如图7所示）.
学生根据上面的小结进行猜测，并计算验证哪种包装面积最小.
总结：重合的面积越大，表面积就越小，就越节约包装纸，这就是包装的学问.用表面积之和减去重合的面积就是包装纸的面积.
二、惊现问题
以上就是“包装的学问”新授课部分的一个简单的流程，本人也是按照这样的流程进行教学的.那么教学效果如何？在课后的一道练习中又暴露了学生的困惑，或者说是无从下手的地方，我们一起来看看这道题目：
把六个完全相同的长方体（6 cm×2 cm×1 cm）盒子包装成一个大长方体，表面积最小是多少？
全班30人只有2人得出正确答案，其中一人还是在网络的帮助下得到的正确答案.我对全班同学进行了统计，以了解他们解决这类题目时的策略及困难.
班级里的29人都不知道究竟有几种拼法，其中只有一人知道总共有9种拼法.
这些人中有25人没有通过计算，只是通过直觉判断图8这种拼法最节省，学生认为这种拼法有10个最大的面重合，而且大面比中面和小面大得多.从上面的调查我们可以发现，学生对究竟有几种拼法是发现几种就几种，而且为了避开复杂的计算，都是凭直觉判断哪种方案有最小的表面积.
三、慎思之，明辨之
俞正强特级教师曾说：“自己要时刻保持善良和努力.因为善良，他们就会倒逼自己去思考如何提高、完善管理或教学，让小朋友幸福成长.善良的老师会受不了孩子学得这么痛苦或将来会痛苦，于是会去思考，当他思考足够努力时，解决方法就出来了.”
针对学生的困惑，我们要去努力解决两个问题：
（1）如何有序地知道有几种拼法？
（2）如何判断何时表面积最小？能直接排除其他，只要计算其中的一种或两种进行比较岂不是更好？
管子曾说：“思之思之，又重思之.思之而不通，鬼神将通之;非鬼神之功也，精诚之极也！”经过思考，我们一起来解决这两个问题.
（一）第一个问题——有序地知道有几种拼法
我们先从简单的入手，2个盒子、3个盒子都是3种拼法，4个盒子就是6种拼法，6个盒子就是9种拼法，这和它们因数的对数有关，因数的对数越多，拼法也就越多.
以6个盒子为例，约定：如图9，像这样由24个小长方体组成的长方体我们把它叫作（2，3，4）.
我们知道，24=2×3×4.
6个小长方体能摆几种，只要思考6=（ ）×（ ）×（ ）有多少种答案，我们根据排列组合可以预测它有9种，分别如下所示：
以上就是寻找有多少种组合的方法：只要寻找n个小长方体中n=（ ）×（ ）×（ ）有多少种结果，就可以根据它的因数有序寻找.
（二）第二个问题：何时面积最小
上述的9种拼法中，（1，2，3）这种拼法的面积是最小的，拼成之后的长方体的长、宽、高分别是6 cm，4 cm，3 cm.这组数据非常小而且非常接近，在图形上也可以理解为拼成之后的立体图形比其他几个更加接近正方体，面积=（6×4 6×3 3×4）×2=108（cm2）.
随着要拼的小长方体数量的增多，研究重合面积会变得越来越复杂.所幸拼成的大长方体的长、宽、高可以根据三维数对清楚地知道.用长、宽、高可以更快地求出最小表面积，或者说这是一种更加通用的方法.
判断表面积最小的方法就是：用三维数对求出对应的大长方体的长、宽、高，哪种拼法长、宽、高越小而且越接近（也就是拼成的立体图形越接近正方体）它的表面积就越小.
四、思之又思之
为了培养学生的探究意识和创新意识，我们可以把上面的两个结论放在第二课时讲解.第一课时就按教材的内容从变化的角度着重研究变化部分的面积，第二课时就是为了让学生挖得更深，走得更远，同时也走得更加轻松一些.
【参考文献】
[1]胡英武.“包装的学问”之数学模型[J].教育界，2016（33）：76-77.
[2]李玲玲.妙用数学问题，整体建构模型：以“数图形的学问”为例谈数学模型的建构[J].小学教学，2019（12）：38-40.
[3]侯政.构建数学模型使数学问题“形象化”[J].考试周刊，2010（43）：75-76.