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[摘要] 近年来，由于线性矩阵不等式（LMI）的优良性质以及解法的突破，使其在控制系统的分析和设计得到了广泛的重视和应用。本文主要推导和证明现行矩阵不等式的一个性质，这个性质可以于应用解决凸优化问题。
[关键词] 线性矩阵不等式 凸集
1.背景分析
在实际工业控制中，各种工业生产过程、生产设备以及其他众多被控对象，其动态特性一般都难以用精确的数学模型来描述。有时即使能获得被控对象的精确数学模型，但由于过于复杂，使得难以对其进行有效的控制性能分析和综合，因此必须进行适当的简化。因此，线性矩阵不等式及求解凸优化问题的内点法的提出，为许多控制问题的分析和求解提供了有效工具。在过去的10 余年内,由于线性矩阵不等式(LMI) 的优良性质以及解法的突破,使其在控制系统分析和设计方面得到了广泛的重视和应用。在此之前,绝大多数的控制问题都是通过Riccati方程或其不等式的方法来解决的。但是解Riccati 方程或其不等式时,有大量的参数和正定对称矩阵需要预先调整。有时,即使问题本身是有解的,也找不出问题的解。这给实际应用问题的解决带来极大不便,而线性矩阵不等式方法可以很好地弥补Riccati 方程方法的上述不足。在解线性矩阵不等式时,不需要预先调整任何参数和正定对称矩阵。控制系统中时滞的存在往往导致系统的不稳定和较差的系统性能。因此,时滞系统包括不确定时滞系统的研究具有十分重要的理论意义和应用价值。关于LMI 技术在时滞系统方面的研究,经过许多学者的努力, 取得了较多的研究成果。
2.线性矩阵不等式
一个线性矩阵不等式就是具有形式
（2.1）
的一个表达式。其中是个实数变量，称为线性矩阵不等式（2.1）的决策变量，是由决策变量构成的向量，称为决策向量，是一组给定的实对称矩阵，（2.1）式中的不等号“”指的是矩阵是负定的，即对所有非零的向量，或者的最大特征值小于零。
如果把看成是从到实对称矩阵集的一个映射，则可以看出 并不是一个线性函数，而只是一个仿射函数。因此，更确切的说，不等式（2.1）应该成为一个仿射矩阵不等式。但是由于历史原因，目前线性矩阵不等式这一名称已被广泛接受和使用。
在许多系统与控制问题中，问题的变量是以矩阵的形式出现的。例如Lyapunov不等式：
（2.2）
其中：是给定的常数矩阵，且是对称的，是对称的未知矩阵变量，因此，该矩阵不等式中的变量是一个矩阵。设是中的一组基，则对任意对称矩阵，存在，使得。因此，
即Lyapunov矩阵不等式（2.2）写成了线性矩阵不等式的一般形式（2.1）。
3.线性矩阵不等式的一个性质
如果在（2.2.1）式中用“” 代替“” ，则相应的矩阵不等式称为非严格的线性矩阵不等式。对的任意仿射函数和，，也是线性矩阵不等式，因此它们可以等价地写成，。
所有满足线性矩阵不等式（2.1）的的全体构成一个凸集，这就是以下的性质3.2.1。
性质3.1 是一个凸集。
证明 对任意的和任意的，由于以及 是一个仿射函数，故
所以，即 是凸的。从而性质3.1得证。
4.结束语
性质3.1说明了线性矩阵不等式（2.1）这个约束条件定义了自变量空间中的一个凸集，因此是自变量的一个凸约束。正是线性矩阵不等式的这一性质使得可以应用解决凸优化问题的有效方法来求解相关的线性矩阵不等式问题。
参考文献:
[1] Peterson I R,Hollot C V.A Riccati equation ap2proach to the stabilization of uncertain linear systems[J]. Automatica,1986,22 (4) :3972411.
[2] Mahmoud M S,Muthairi N F. Quadratic stabiliza2tion of continuous time systems with state2delay andnorm2 bounded time2varying uncertainties [J].IEEETrans Automat Control,1994 ,39 (10) : 213522139.
[3] Xie L H ,Yeng C S,Carlos E,et al.Robust Kalmanfiltering for uncertain discrete2time systems [ J ] .IEEE Trans Automat Control , 1994 , 39 (6) : 131121314.
[4] D’Andrea R.Linear matrix inequality conditions forrobustness and control design[J ].International Jour2nal of Robust and Nonlinear Control , 2001 , 11 (6) :5412554.
[5 ]Li Y.Stability robustness bounds for linear systemswith delayed perturbations [J].Journal of theFranklin institute , 1999 , 336 (5) :7552765.
[6] 俞立. 一类时滞系统的绝对稳定性问题研究[J ] . 自动化学报2003 ,29 (3) :4282431.
[7] LiX,Carlos E , Souza D. Delay2dependent robuststability and stabilization of uncertain linear delaysystems: a linear matrix inequality approach [ J ] .IEEE Trans Automat Control , 1997 ,42 (8) : 114421148.
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[关键词] 线性矩阵不等式 凸集
1.背景分析
在实际工业控制中，各种工业生产过程、生产设备以及其他众多被控对象，其动态特性一般都难以用精确的数学模型来描述。有时即使能获得被控对象的精确数学模型，但由于过于复杂，使得难以对其进行有效的控制性能分析和综合，因此必须进行适当的简化。因此，线性矩阵不等式及求解凸优化问题的内点法的提出，为许多控制问题的分析和求解提供了有效工具。在过去的10 余年内,由于线性矩阵不等式(LMI) 的优良性质以及解法的突破,使其在控制系统分析和设计方面得到了广泛的重视和应用。在此之前,绝大多数的控制问题都是通过Riccati方程或其不等式的方法来解决的。但是解Riccati 方程或其不等式时,有大量的参数和正定对称矩阵需要预先调整。有时,即使问题本身是有解的,也找不出问题的解。这给实际应用问题的解决带来极大不便,而线性矩阵不等式方法可以很好地弥补Riccati 方程方法的上述不足。在解线性矩阵不等式时,不需要预先调整任何参数和正定对称矩阵。控制系统中时滞的存在往往导致系统的不稳定和较差的系统性能。因此,时滞系统包括不确定时滞系统的研究具有十分重要的理论意义和应用价值。关于LMI 技术在时滞系统方面的研究,经过许多学者的努力, 取得了较多的研究成果。
2.线性矩阵不等式
一个线性矩阵不等式就是具有形式
（2.1）
的一个表达式。其中是个实数变量，称为线性矩阵不等式（2.1）的决策变量，是由决策变量构成的向量，称为决策向量，是一组给定的实对称矩阵，（2.1）式中的不等号“”指的是矩阵是负定的，即对所有非零的向量，或者的最大特征值小于零。
如果把看成是从到实对称矩阵集的一个映射，则可以看出 并不是一个线性函数，而只是一个仿射函数。因此，更确切的说，不等式（2.1）应该成为一个仿射矩阵不等式。但是由于历史原因，目前线性矩阵不等式这一名称已被广泛接受和使用。
在许多系统与控制问题中，问题的变量是以矩阵的形式出现的。例如Lyapunov不等式：
（2.2）
其中：是给定的常数矩阵，且是对称的，是对称的未知矩阵变量，因此，该矩阵不等式中的变量是一个矩阵。设是中的一组基，则对任意对称矩阵，存在，使得。因此，
即Lyapunov矩阵不等式（2.2）写成了线性矩阵不等式的一般形式（2.1）。
3.线性矩阵不等式的一个性质
如果在（2.2.1）式中用“” 代替“” ，则相应的矩阵不等式称为非严格的线性矩阵不等式。对的任意仿射函数和，，也是线性矩阵不等式，因此它们可以等价地写成，。
所有满足线性矩阵不等式（2.1）的的全体构成一个凸集，这就是以下的性质3.2.1。
性质3.1 是一个凸集。
证明 对任意的和任意的，由于以及 是一个仿射函数，故
所以，即 是凸的。从而性质3.1得证。
4.结束语
性质3.1说明了线性矩阵不等式（2.1）这个约束条件定义了自变量空间中的一个凸集，因此是自变量的一个凸约束。正是线性矩阵不等式的这一性质使得可以应用解决凸优化问题的有效方法来求解相关的线性矩阵不等式问题。
参考文献:
[1] Peterson I R,Hollot C V.A Riccati equation ap2proach to the stabilization of uncertain linear systems[J]. Automatica,1986,22 (4) :3972411.
[2] Mahmoud M S,Muthairi N F. Quadratic stabiliza2tion of continuous time systems with state2delay andnorm2 bounded time2varying uncertainties [J].IEEETrans Automat Control,1994 ,39 (10) : 213522139.
[3] Xie L H ,Yeng C S,Carlos E,et al.Robust Kalmanfiltering for uncertain discrete2time systems [ J ] .IEEE Trans Automat Control , 1994 , 39 (6) : 131121314.
[4] D’Andrea R.Linear matrix inequality conditions forrobustness and control design[J ].International Jour2nal of Robust and Nonlinear Control , 2001 , 11 (6) :5412554.
[5 ]Li Y.Stability robustness bounds for linear systemswith delayed perturbations [J].Journal of theFranklin institute , 1999 , 336 (5) :7552765.
[6] 俞立. 一类时滞系统的绝对稳定性问题研究[J ] . 自动化学报2003 ,29 (3) :4282431.
[7] LiX,Carlos E , Souza D. Delay2dependent robuststability and stabilization of uncertain linear delaysystems: a linear matrix inequality approach [ J ] .IEEE Trans Automat Control , 1997 ,42 (8) : 114421148.
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