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摘要：针对在高硬度曲面模具铣削过程当中，工件与刀具接触特性的不断变化导致了铣削系统动态特性的变化，进而对刀具寿命和加工质量产生不良影响。依据典型的摩擦模型、本构模型以及切屑分离准则等有限元仿真关键技术，利用有限元仿真软件Deform3D建立了曲面铣削的三维仿真模型。仿真模型通过建立刀具位置坐标和时间的表达式实现了刀具运动轨迹准确的控制。结合实验研究结果，分析了曲面铣削力的变化特性以及在不同铣削条件下的铣削力的变化规律。研究结果表明仿真模型的有效性。
关键词：
淬硬钢模具；曲面铣削；有限元仿真；铣削力；参数优化
DOI：10.15938/j.jhust.2018.05.008
中图分类号： TG501
文献标志码： A
文章编号： 1007-2683（2018）05-0040-06
3D FEM Simulation and Experiment Research for Milling Process of Hardened Curved Mold
YUE Caixu，HAO Shengyu，HUANG Cui，WANG Yanwu
（School of Mechanical and Power Engineering， Harbin University of Science and Technology，Harbin 150080，China）
Abstract：In milling process of high hardness curved mold， the change of contact characteristics between cutting tool and workpiece will cause larger fluctuations of cutting force， which will have an adverse effect on tool life and machining quality Based on key technology of the finite element simulation such as typical friction model， constitutive model and chip separation criterion， the 3D simulation model of surface milling is established by using finite element simulation software Deform3DThe trajectory of milling cutter was accurately achieved by controlling the relationship of milling cutter position coordinate and time Based on the experimental results， the variation characteristics of the curved surfaces milling force and the variation rule of milling force under different milling conditions are analyzed The results show the effectiveness of the simulation
Keywords：hardened steel mold； curved milling process； FEM simulation； milling process； process parameters optimization
0引言
模具用于制造汽車覆盖件时，具有结构尺寸大、表面硬度大、型面特征复杂多样等特点[1-3]。在汽车覆盖件模具铣削加工过程中，刀具受到较大的交变载荷，时变的切削力会加快刀具刃口的磨损，进而会降低刀具的使用寿命，同时会使加工工件的表面质量降低[4]。为此，在曲面铣削加工过程中，有必要揭示刀具受力的变化特性，进而通过合理的设置铣削参数和优化刀具路径的方法来实现铣削力的控制。
国内外诸多学者对曲面加工过程展开了深入研究。吉林大学的张忠松博士提出了一种针对球头铣刀铣削曲面过程进行参数规划的方法，深入的探讨了球头铣刀曲面局部可铣的充分条件[5]。Ozturk等人根据球头铣刀铣削自由曲面的过程，建立了工件与刀具啮合区计算的解析模型，研究结果提高了模型的运算速度和计算精度[6]。清华大学的张智海把圆弧曲面铣削过程假定为一个动态切削的过程，首先对铣刀在沿轴线的方向上进行了铣削力的分段计算，然后通过积分得到全部铣削过程中的铣削力，进而建立了铣削力的解析模型[7]。大连理工大学魏兆成建立了曲面加工过程中刀具让刀误差预报模型和铣削力数学模型，还提出了以让刀变形为补偿对象的误差补偿的一种方法[8]。王敏杰教授等建立了一种基于微分离散方法，从而把曲面加工转化成为斜平面加工的解析模型，该种方法界定了刀具工件接触区域[9]。雷星等将切削刃离散为切削微元，建立斜角切削模型，将二维正交Oxley模型沿用到斜角模型中计算流动应力及微元切削力，提高了运算效率[10]。
伴随着计算机技术的快速发展，诸多学者把精力投入到了有限元仿真方面的研究，研究结果为刀具的设计研发、铣削参数优化提供了一种简洁高效的方法。BEKlamecki利用三维有限元分析方法对切削加工过程中切屑的形成机理进行了研究，并优化了切削加工工艺[11]。Lee 等根据理论知识对铣刀刀具刃线进行了简化，成功建立了三维斜角切削模型，对斜角切削模型进行了实验研究，利用实验研究的结果分析切削力的变化规律，并验证了模型的正确性[12]。Pittalà等人在平面加工过程中利用有限元仿真理论对切屑进行了仿真，深入研究了平面铣削过程的机理[13]。学者Aspinwall D针对高速铣削高温合金加工过程对球头铣刀进行了有限元仿真，根据实验得到的切屑形状对比结果揭示了铣削力的变化规律[14]。JCAurich等学者采用CockroftLatham分离准则，采用DEFORM软件对三维锯齿形切屑形成过程进行了有限元仿真，使切削条件得到进一步优化 [15]。江苏大学曲海军利用有限元仿真软件DEFORM 2D初步模拟了毛刺的形成过程，从切削方向和进给方向两方面对切削过程进行仿真，研究了毛刺的形成和变化规律[16]。合肥工业大学陈文琳利用有限元模拟方法对金属陶瓷刀具切削过程刀具磨损过程及分布，为其刀具的制备和切削加工性研究提供支持[17]。哈尔滨理工大学马晶利用ABAQUS软件建立模具钢Cr12MoV切削过程二维仿真模型，通过分析节点位移确定了材料的最小切削厚度[18] 。于明明对通用有限元软件ABAQUS进行二次开发，建立二维切削仿真优化平台，实现了切削参数和刀具几何参数自动优化[19] 因为在曲面铣削的过程中，工件与刀具的相对位置关系不断地变化，且刀具的运动轨迹并不是直线，这样就会使刀具运动的轨迹很难进行精确的控制。另外，在三维有限元仿真中刀具与工件的接触面积会发生瞬时变化，从而使得仿真模型变得不容易收敛，因此在曲面铣削有限元仿真模型中，对前处理中的网格质量和迭代算法的选择提出了较高的要求。
为研究曲面铣削力的变化特性，本文通过DEFORM3D仿真软件建立了热力耦合仿真模型。有限元仿真模型采用的是网格重新划分技术，有效的解决了切屑在剪切区域中的畸变问题。同时，通过控制刀具位置与时间的影响关系，成功的实现了刀具运动轨迹的精确加载。本文通过有限元仿真技术和实验研究相结合的方法，揭示出了铣削过程中的切削参数对于铣削力的变化的影响规律。研究结果对揭示刀具-工件的作用机制提供了具有价值的指导，另外，还对后续的三维铣削仿真建模提供了一种新的方法和新的思路。
1切削过程有限元建模关键技术
本文基于DEFORM3D有限元仿真软件来建立淬硬钢模具曲面铣削有限元仿真模型，它的模拟求解的过程主要包含3个模块，即前处理器，模拟器以及后处理器。前处理过程包括工件的材料信息、几何信息和刀具以及切削参数的输入、热边界、力边界等边界条件的建立，另外，还包括有限元网格的生成等环节；模拟器在模拟求解过程中对所建立的有限元模型的热传导性进行了边界条件的处理，并进行了特性方程有限元求解；后处理过程对模拟结果进行了可视化处理，并输出了所需要的模拟数据，如：温度、力、刀具磨损量等的数据以及云图和流线图等。
11工件材料本构模型的设定
本文在刀具材料上选用的是硬质合金，由于需要忽略仿真模拟过程中的变形，故把刀具模型设计为刚性体。本模型采用的工件材料為淬硬钢Cr12MoV（国际牌号AISI D2），该材料具有硬度强度高，兼具塑性和韧性良好的特点，广泛应用于大型模具制造中。材料的本构关系反映了不同温度和不同应变率条件下材料流动应力应变关系，本构模建立的是否准确是实现高仿真精度的关键。本研究采用JohnsonCook材料本构模型，具体形式见式（1）。
=A+B（）n1+Cln··01-T-T0Tm-T0m（1）
式中：为等效塑性应变；·为塑性应变率；·0为参考塑性应变率；To为室温；Tm为材料的热熔参数；A、B、C、n、m为材料特性常数。工件材料的JohnsonCook本构模型参数设置见表1。
12材料分离准则的设定
在切削加工的过程中，伴随着工件材料的去除，对于切屑产生过程中要设置合适的切屑分离准则。合理有效的分离准则不但能够准确的反映工件材料与真实情况更为接近的力学性能和物理性能，而且直接影响着切屑形态、切削力以及切削热等过程变量的仿真结果。本文采用的是考虑切屑形态的CockroftLatham模型，表达式见式（2）。
∫f0σ*d=D（2）
式中：D值为材料的单元失效值；表示等效应力；σ*表示最大主应力；为等效应变。
13刀屑接触摩擦模型的设定
根据Zorev提出的粘结-滑动摩擦模型的理论来建立并设定刀屑接触摩擦模型，模型在建立的过程中认为法应力的分布不均匀，刀-屑接触区域分为黏结部分和滑动部分，而两个部分所占比例与刀-屑摩擦系数的设定相关，近切削刃处应力逐渐增大，而远切削刃处急剧减小，粘结区域的流动应力取值为塑性屈服应力，滑动区域采用的是库伦摩擦模型，模型方程见式（3）。
τf（x）=τp0 μσnlp 式中：σn是法向应力；τp是材料剪切流动应力；μ为摩擦系数。
为简化迭代求解的过程，本文建立了刚塑性有限元模型，并结合共轭梯度法与直接迭代法对模型进行求解。刚塑性有限元法在建模过程中需要忽略材料的弹性变形、忽略体积力和惯性力，而且材料流动应力应服从LevyMises应力准则以及材料各向同性。共轭梯度求解法是系统默认的求解方法，即通过迭代的形式来求解有限元方程。而直接迭代法是相对于牛顿迭代法更易收敛的迭代方法，但同时也需要更多的迭代步数。网格迭代的过程如图1所示。
2曲面铣削有限元仿真模型的建立
21刀具及工件几何模型的建立
本文的刀具和工件的几何模型是通过三维软件UG NX80预先建立后，再导入到DEFORM3D有限元仿真软件中。刀具及工件的几何模型通常是根据实际加工中的加工工艺和切削参数来建立的，建立合理有效的几何模型能够使切削仿真过程与真实的切削过程更加相近，同时也会在一定程度上影响仿真的计算量和仿真结果的精度。因此，为了提高仿真的精度和缩短仿真所需要的时间，本文在建模过程中，对刀具和工件的几何模型都适当的进行了处理，其中球头铣刀直径为6mm，螺旋角为-30°。因为刀杆并不会参与到切削，为了减少仿真时的计算量，增加仿真的工作效率，因此在建模过程中单独建立了直接参与切削的刀头部分，如图2所示。
为了使仿真过程与真实加工状态更加的相近，能够保留下工件在前一进给中所留下的加工痕迹，本文建立了理想预切后的工件几何模型，如图3所示。
22刀具运动轨迹的建立
对比于平面铣削和斜面铣削，球头铣刀在曲面铣削过程中的走刀路径情况更为复杂，本文是根据三轴机床在曲面铣削加工时的情况来建立刀具轨迹的，如图4所示。刀具轴线始终在Z方向上，刀具的运动轨迹为圆弧曲线S3，刀具与工件加工过程中相切时的切削深度保持不变，即刀具球头部分与工件（圆弧S1）始终保持相切，ap为切削深度，R1为已加工表面圆弧半径，R2为待加工表面圆弧半径，R3为球头铣刀的运动轨迹半径，θ为O2相对X方向转过的弧度。本文仿真模拟过程中θ的变化范围为从30°至90°。在全局坐标系下，球头铣刀保持沿圆弧曲线S3做进给运动，O2从A点到点B的运动方程为： xi=R3×cos（fs3×ti/R3）
yi=C0
zi=R3×sin（fs3×ti/R3）（4）
式中：xi、yi、zi为刀具运动轨迹坐标；ti为运动时间；C0为常数；fs3为铣削刀具沿着S3进给的速度。在本模型中待加工工件半径R2为10mm，刀具运动轨迹半径R3为127mm。
3有限元仿真结果的分析
当切削深度为025mm，每齿进给量为01mm/z，行距为03mm，主轴转速为6000r/min时，曲面铣削过程的仿真结果如图5所示。由仿真结果可知，随着刀具的进给，切屑及已加工表面不断地生成，工件与刀具的接触也持续的发生着变化。随着铣削的连续进行，刀具接触部位向下移动，实际的切削速度变小，铣削力的间隔也在逐渐的变小，切削刃与工件接触的时间在不断地增长，接触频率不发生变化。
4有限元仿真结果的实验验证
为了对仿真结果的精度进行准确的验证，本文进行了铣削实验的验证，加工实验现场如图6（a）所示。工件材料为淬硬钢Cr12MoV，淬火后硬度为58-62HRC，工件凸圆曲率半径为10mm。机床是EMCO公司的生产的型号为CONCEPT Mill 450的立式铣床加工中心，所选用的刀具的型号是山特维克可乐满公司生产的R216420630AI106G 1610双刃球头铣刀，铣刀齿数为2，直径为6mm，螺旋角为-30°。采用瑞士KISTLER公司生产的型号为9257B的三向压电测力仪对铣削力进行测量，采样频率为5kHz。刀具的运动轨迹如图6（b）所示，刀具在每组切削参数下进行两次切削，第一次对应的部分是仿真模型中工件的预切，第二次是实际加工过程和整个仿真过程的对应，铣削后已加工表面的实际结果如图6（c）所示。
41凸曲面銑削过程铣削力的研究
铣削力参数是一个能够综合反映曲面铣削加工过程的重要物理量，本文去除了切入阶段不稳定的切削负荷参数，选取切入稳定阶段θ从45°～90°变化区间为研究对象，深入的研究了凸曲面铣削加工过程铣削力的变化规律。当切削深度为025mm，每齿进给量为01mm/z，行距为03mm，主轴转速为6000r/min时，各个方向的铣削力仿真结果与实验结果的对比如图7所示，由于刀具的侧刃刀尖在曲面加工过程中时刻与工件保持接触，且明显能看出断续切削现象的发生，因此各个方向铣削力数值呈周期性变化趋势，即铣削力只有在刀具与工件接触时才会有数值，不接触时数值为零，并且每一个周期的时间间隔与主轴转速都有着紧密的关联。
从仿真结果和实验结果的对比中，可以明显的看出二者铣削力波形变化及铣削力的间断规律特点基本一致。从铣削力的变化趋势上看，铣削加工过程中Y方向铣削力变化较为平稳，X方向和Z方向铣削力都在逐渐上升，其中X方向铣削力增大的幅度较为明显，Z方向次之。
42不同切削参数下凸曲面铣削过程仿真模型实验验证
为了研究铣削参数对凸曲面铣削过程的铣削力产生的影响规律，同时验证仿真结果的精度，本文进行了变铣削参数下球头铣刀铣削凸曲面的切削实验。实验过程中，取每齿进给量为01mm/z，切削深度为025mm，行距为03mm，三者为固定值，主轴转速分别取4000r/min、5000r/min、6000r/min、7000r/min，铣削力的仿真和实验结果如图8所示。取主轴转速为6000r/min，切削深度为025mm，行距为03mm，三者为固定值，每齿进给量分别取006mm/z、008mm/z、010mm/z、012mm/z，3个不同方向上铣削力的变化规律如图9所示。
通过结合仿真与实验结果，由分析可知，随着主轴转速的提高，X、Y、Z 3个方向铣削力均呈逐渐减小的趋势。X方向铣削力变化比较平稳，仿真与试验误差在15%以内；Y向铣削力下降趋势较大，误差在132%以内；Z向铣削力先增大后减小，误差在135%以内。随着每齿的进给量不断增大，3个方向上的铣削力均呈增大的趋势。X方向铣削力变化较小，仿真与试验误差在15%以内；Y、Z方向铣削力波动较大，最大误差分别为112%、93%。由于仿真结果中网格存在畸变点，且在实际的加工过程中存在振动和装夹误差，仿真结果还是存在着一定的误差，通过上述结论得出最大误差值为15%，证明了仿真模型的有效性。
5结论
采用有限元仿真软件DEFORM3D，本文建立了球头铣刀铣削模具凸曲面的仿真模型，实现了曲线路径的迭代计算。通过分析仿真和实验结果得到了铣削力变化特性以及铣削参数对铣削力的影响规律。研究结果表明，由于切削刃与工件的接触区域由侧刃接触逐渐过渡到刀尖部分与工件接触，铣削力呈现先增大后减小的波峰周期，随着切削的进行，该周期的峰值在3个方向的变化分别为X方向有明显增大趋势、Z向也有增大趋势但较X向小，Y方向比较平稳。从铣削平均力的数值上看，Y方向平均铣削力最大，Z方向次之，X方向最小。随着主轴转速的增加，3个方向的平均铣削力都出现减小的趋势，而随着每齿进给量的增加3个方向的平均铣削力呈增大趋势。通过仿真与实验得到的凸曲面铣削过程中铣削力的变化趋势及铣削力的周期变化规律一致，经计算得出二者平均铣削力数值最大误差为15%。本文研究结果对优化曲面铣削工艺参数提供了理论依据。
参 考 文 献：
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（編辑：关毅）
关键词：
淬硬钢模具；曲面铣削；有限元仿真；铣削力；参数优化
DOI：10.15938/j.jhust.2018.05.008
中图分类号： TG501
文献标志码： A
文章编号： 1007-2683（2018）05-0040-06
3D FEM Simulation and Experiment Research for Milling Process of Hardened Curved Mold
YUE Caixu，HAO Shengyu，HUANG Cui，WANG Yanwu
（School of Mechanical and Power Engineering， Harbin University of Science and Technology，Harbin 150080，China）
Abstract：In milling process of high hardness curved mold， the change of contact characteristics between cutting tool and workpiece will cause larger fluctuations of cutting force， which will have an adverse effect on tool life and machining quality Based on key technology of the finite element simulation such as typical friction model， constitutive model and chip separation criterion， the 3D simulation model of surface milling is established by using finite element simulation software Deform3DThe trajectory of milling cutter was accurately achieved by controlling the relationship of milling cutter position coordinate and time Based on the experimental results， the variation characteristics of the curved surfaces milling force and the variation rule of milling force under different milling conditions are analyzed The results show the effectiveness of the simulation
Keywords：hardened steel mold； curved milling process； FEM simulation； milling process； process parameters optimization
0引言
模具用于制造汽車覆盖件时，具有结构尺寸大、表面硬度大、型面特征复杂多样等特点[1-3]。在汽车覆盖件模具铣削加工过程中，刀具受到较大的交变载荷，时变的切削力会加快刀具刃口的磨损，进而会降低刀具的使用寿命，同时会使加工工件的表面质量降低[4]。为此，在曲面铣削加工过程中，有必要揭示刀具受力的变化特性，进而通过合理的设置铣削参数和优化刀具路径的方法来实现铣削力的控制。
国内外诸多学者对曲面加工过程展开了深入研究。吉林大学的张忠松博士提出了一种针对球头铣刀铣削曲面过程进行参数规划的方法，深入的探讨了球头铣刀曲面局部可铣的充分条件[5]。Ozturk等人根据球头铣刀铣削自由曲面的过程，建立了工件与刀具啮合区计算的解析模型，研究结果提高了模型的运算速度和计算精度[6]。清华大学的张智海把圆弧曲面铣削过程假定为一个动态切削的过程，首先对铣刀在沿轴线的方向上进行了铣削力的分段计算，然后通过积分得到全部铣削过程中的铣削力，进而建立了铣削力的解析模型[7]。大连理工大学魏兆成建立了曲面加工过程中刀具让刀误差预报模型和铣削力数学模型，还提出了以让刀变形为补偿对象的误差补偿的一种方法[8]。王敏杰教授等建立了一种基于微分离散方法，从而把曲面加工转化成为斜平面加工的解析模型，该种方法界定了刀具工件接触区域[9]。雷星等将切削刃离散为切削微元，建立斜角切削模型，将二维正交Oxley模型沿用到斜角模型中计算流动应力及微元切削力，提高了运算效率[10]。
伴随着计算机技术的快速发展，诸多学者把精力投入到了有限元仿真方面的研究，研究结果为刀具的设计研发、铣削参数优化提供了一种简洁高效的方法。BEKlamecki利用三维有限元分析方法对切削加工过程中切屑的形成机理进行了研究，并优化了切削加工工艺[11]。Lee 等根据理论知识对铣刀刀具刃线进行了简化，成功建立了三维斜角切削模型，对斜角切削模型进行了实验研究，利用实验研究的结果分析切削力的变化规律，并验证了模型的正确性[12]。Pittalà等人在平面加工过程中利用有限元仿真理论对切屑进行了仿真，深入研究了平面铣削过程的机理[13]。学者Aspinwall D针对高速铣削高温合金加工过程对球头铣刀进行了有限元仿真，根据实验得到的切屑形状对比结果揭示了铣削力的变化规律[14]。JCAurich等学者采用CockroftLatham分离准则，采用DEFORM软件对三维锯齿形切屑形成过程进行了有限元仿真，使切削条件得到进一步优化 [15]。江苏大学曲海军利用有限元仿真软件DEFORM 2D初步模拟了毛刺的形成过程，从切削方向和进给方向两方面对切削过程进行仿真，研究了毛刺的形成和变化规律[16]。合肥工业大学陈文琳利用有限元模拟方法对金属陶瓷刀具切削过程刀具磨损过程及分布，为其刀具的制备和切削加工性研究提供支持[17]。哈尔滨理工大学马晶利用ABAQUS软件建立模具钢Cr12MoV切削过程二维仿真模型，通过分析节点位移确定了材料的最小切削厚度[18] 。于明明对通用有限元软件ABAQUS进行二次开发，建立二维切削仿真优化平台，实现了切削参数和刀具几何参数自动优化[19] 因为在曲面铣削的过程中，工件与刀具的相对位置关系不断地变化，且刀具的运动轨迹并不是直线，这样就会使刀具运动的轨迹很难进行精确的控制。另外，在三维有限元仿真中刀具与工件的接触面积会发生瞬时变化，从而使得仿真模型变得不容易收敛，因此在曲面铣削有限元仿真模型中，对前处理中的网格质量和迭代算法的选择提出了较高的要求。
为研究曲面铣削力的变化特性，本文通过DEFORM3D仿真软件建立了热力耦合仿真模型。有限元仿真模型采用的是网格重新划分技术，有效的解决了切屑在剪切区域中的畸变问题。同时，通过控制刀具位置与时间的影响关系，成功的实现了刀具运动轨迹的精确加载。本文通过有限元仿真技术和实验研究相结合的方法，揭示出了铣削过程中的切削参数对于铣削力的变化的影响规律。研究结果对揭示刀具-工件的作用机制提供了具有价值的指导，另外，还对后续的三维铣削仿真建模提供了一种新的方法和新的思路。
1切削过程有限元建模关键技术
本文基于DEFORM3D有限元仿真软件来建立淬硬钢模具曲面铣削有限元仿真模型，它的模拟求解的过程主要包含3个模块，即前处理器，模拟器以及后处理器。前处理过程包括工件的材料信息、几何信息和刀具以及切削参数的输入、热边界、力边界等边界条件的建立，另外，还包括有限元网格的生成等环节；模拟器在模拟求解过程中对所建立的有限元模型的热传导性进行了边界条件的处理，并进行了特性方程有限元求解；后处理过程对模拟结果进行了可视化处理，并输出了所需要的模拟数据，如：温度、力、刀具磨损量等的数据以及云图和流线图等。
11工件材料本构模型的设定
本文在刀具材料上选用的是硬质合金，由于需要忽略仿真模拟过程中的变形，故把刀具模型设计为刚性体。本模型采用的工件材料為淬硬钢Cr12MoV（国际牌号AISI D2），该材料具有硬度强度高，兼具塑性和韧性良好的特点，广泛应用于大型模具制造中。材料的本构关系反映了不同温度和不同应变率条件下材料流动应力应变关系，本构模建立的是否准确是实现高仿真精度的关键。本研究采用JohnsonCook材料本构模型，具体形式见式（1）。
=A+B（）n1+Cln··01-T-T0Tm-T0m（1）
式中：为等效塑性应变；·为塑性应变率；·0为参考塑性应变率；To为室温；Tm为材料的热熔参数；A、B、C、n、m为材料特性常数。工件材料的JohnsonCook本构模型参数设置见表1。
12材料分离准则的设定
在切削加工的过程中，伴随着工件材料的去除，对于切屑产生过程中要设置合适的切屑分离准则。合理有效的分离准则不但能够准确的反映工件材料与真实情况更为接近的力学性能和物理性能，而且直接影响着切屑形态、切削力以及切削热等过程变量的仿真结果。本文采用的是考虑切屑形态的CockroftLatham模型，表达式见式（2）。
∫f0σ*d=D（2）
式中：D值为材料的单元失效值；表示等效应力；σ*表示最大主应力；为等效应变。
13刀屑接触摩擦模型的设定
根据Zorev提出的粘结-滑动摩擦模型的理论来建立并设定刀屑接触摩擦模型，模型在建立的过程中认为法应力的分布不均匀，刀-屑接触区域分为黏结部分和滑动部分，而两个部分所占比例与刀-屑摩擦系数的设定相关，近切削刃处应力逐渐增大，而远切削刃处急剧减小，粘结区域的流动应力取值为塑性屈服应力，滑动区域采用的是库伦摩擦模型，模型方程见式（3）。
τf（x）=τp0
为简化迭代求解的过程，本文建立了刚塑性有限元模型，并结合共轭梯度法与直接迭代法对模型进行求解。刚塑性有限元法在建模过程中需要忽略材料的弹性变形、忽略体积力和惯性力，而且材料流动应力应服从LevyMises应力准则以及材料各向同性。共轭梯度求解法是系统默认的求解方法，即通过迭代的形式来求解有限元方程。而直接迭代法是相对于牛顿迭代法更易收敛的迭代方法，但同时也需要更多的迭代步数。网格迭代的过程如图1所示。
2曲面铣削有限元仿真模型的建立
21刀具及工件几何模型的建立
本文的刀具和工件的几何模型是通过三维软件UG NX80预先建立后，再导入到DEFORM3D有限元仿真软件中。刀具及工件的几何模型通常是根据实际加工中的加工工艺和切削参数来建立的，建立合理有效的几何模型能够使切削仿真过程与真实的切削过程更加相近，同时也会在一定程度上影响仿真的计算量和仿真结果的精度。因此，为了提高仿真的精度和缩短仿真所需要的时间，本文在建模过程中，对刀具和工件的几何模型都适当的进行了处理，其中球头铣刀直径为6mm，螺旋角为-30°。因为刀杆并不会参与到切削，为了减少仿真时的计算量，增加仿真的工作效率，因此在建模过程中单独建立了直接参与切削的刀头部分，如图2所示。
为了使仿真过程与真实加工状态更加的相近，能够保留下工件在前一进给中所留下的加工痕迹，本文建立了理想预切后的工件几何模型，如图3所示。
22刀具运动轨迹的建立
对比于平面铣削和斜面铣削，球头铣刀在曲面铣削过程中的走刀路径情况更为复杂，本文是根据三轴机床在曲面铣削加工时的情况来建立刀具轨迹的，如图4所示。刀具轴线始终在Z方向上，刀具的运动轨迹为圆弧曲线S3，刀具与工件加工过程中相切时的切削深度保持不变，即刀具球头部分与工件（圆弧S1）始终保持相切，ap为切削深度，R1为已加工表面圆弧半径，R2为待加工表面圆弧半径，R3为球头铣刀的运动轨迹半径，θ为O2相对X方向转过的弧度。本文仿真模拟过程中θ的变化范围为从30°至90°。在全局坐标系下，球头铣刀保持沿圆弧曲线S3做进给运动，O2从A点到点B的运动方程为： xi=R3×cos（fs3×ti/R3）
yi=C0
zi=R3×sin（fs3×ti/R3）（4）
式中：xi、yi、zi为刀具运动轨迹坐标；ti为运动时间；C0为常数；fs3为铣削刀具沿着S3进给的速度。在本模型中待加工工件半径R2为10mm，刀具运动轨迹半径R3为127mm。
3有限元仿真结果的分析
当切削深度为025mm，每齿进给量为01mm/z，行距为03mm，主轴转速为6000r/min时，曲面铣削过程的仿真结果如图5所示。由仿真结果可知，随着刀具的进给，切屑及已加工表面不断地生成，工件与刀具的接触也持续的发生着变化。随着铣削的连续进行，刀具接触部位向下移动，实际的切削速度变小，铣削力的间隔也在逐渐的变小，切削刃与工件接触的时间在不断地增长，接触频率不发生变化。
4有限元仿真结果的实验验证
为了对仿真结果的精度进行准确的验证，本文进行了铣削实验的验证，加工实验现场如图6（a）所示。工件材料为淬硬钢Cr12MoV，淬火后硬度为58-62HRC，工件凸圆曲率半径为10mm。机床是EMCO公司的生产的型号为CONCEPT Mill 450的立式铣床加工中心，所选用的刀具的型号是山特维克可乐满公司生产的R216420630AI106G 1610双刃球头铣刀，铣刀齿数为2，直径为6mm，螺旋角为-30°。采用瑞士KISTLER公司生产的型号为9257B的三向压电测力仪对铣削力进行测量，采样频率为5kHz。刀具的运动轨迹如图6（b）所示，刀具在每组切削参数下进行两次切削，第一次对应的部分是仿真模型中工件的预切，第二次是实际加工过程和整个仿真过程的对应，铣削后已加工表面的实际结果如图6（c）所示。
41凸曲面銑削过程铣削力的研究
铣削力参数是一个能够综合反映曲面铣削加工过程的重要物理量，本文去除了切入阶段不稳定的切削负荷参数，选取切入稳定阶段θ从45°～90°变化区间为研究对象，深入的研究了凸曲面铣削加工过程铣削力的变化规律。当切削深度为025mm，每齿进给量为01mm/z，行距为03mm，主轴转速为6000r/min时，各个方向的铣削力仿真结果与实验结果的对比如图7所示，由于刀具的侧刃刀尖在曲面加工过程中时刻与工件保持接触，且明显能看出断续切削现象的发生，因此各个方向铣削力数值呈周期性变化趋势，即铣削力只有在刀具与工件接触时才会有数值，不接触时数值为零，并且每一个周期的时间间隔与主轴转速都有着紧密的关联。
从仿真结果和实验结果的对比中，可以明显的看出二者铣削力波形变化及铣削力的间断规律特点基本一致。从铣削力的变化趋势上看，铣削加工过程中Y方向铣削力变化较为平稳，X方向和Z方向铣削力都在逐渐上升，其中X方向铣削力增大的幅度较为明显，Z方向次之。
42不同切削参数下凸曲面铣削过程仿真模型实验验证
为了研究铣削参数对凸曲面铣削过程的铣削力产生的影响规律，同时验证仿真结果的精度，本文进行了变铣削参数下球头铣刀铣削凸曲面的切削实验。实验过程中，取每齿进给量为01mm/z，切削深度为025mm，行距为03mm，三者为固定值，主轴转速分别取4000r/min、5000r/min、6000r/min、7000r/min，铣削力的仿真和实验结果如图8所示。取主轴转速为6000r/min，切削深度为025mm，行距为03mm，三者为固定值，每齿进给量分别取006mm/z、008mm/z、010mm/z、012mm/z，3个不同方向上铣削力的变化规律如图9所示。
通过结合仿真与实验结果，由分析可知，随着主轴转速的提高，X、Y、Z 3个方向铣削力均呈逐渐减小的趋势。X方向铣削力变化比较平稳，仿真与试验误差在15%以内；Y向铣削力下降趋势较大，误差在132%以内；Z向铣削力先增大后减小，误差在135%以内。随着每齿的进给量不断增大，3个方向上的铣削力均呈增大的趋势。X方向铣削力变化较小，仿真与试验误差在15%以内；Y、Z方向铣削力波动较大，最大误差分别为112%、93%。由于仿真结果中网格存在畸变点，且在实际的加工过程中存在振动和装夹误差，仿真结果还是存在着一定的误差，通过上述结论得出最大误差值为15%，证明了仿真模型的有效性。
5结论
采用有限元仿真软件DEFORM3D，本文建立了球头铣刀铣削模具凸曲面的仿真模型，实现了曲线路径的迭代计算。通过分析仿真和实验结果得到了铣削力变化特性以及铣削参数对铣削力的影响规律。研究结果表明，由于切削刃与工件的接触区域由侧刃接触逐渐过渡到刀尖部分与工件接触，铣削力呈现先增大后减小的波峰周期，随着切削的进行，该周期的峰值在3个方向的变化分别为X方向有明显增大趋势、Z向也有增大趋势但较X向小，Y方向比较平稳。从铣削平均力的数值上看，Y方向平均铣削力最大，Z方向次之，X方向最小。随着主轴转速的增加，3个方向的平均铣削力都出现减小的趋势，而随着每齿进给量的增加3个方向的平均铣削力呈增大趋势。通过仿真与实验得到的凸曲面铣削过程中铣削力的变化趋势及铣削力的周期变化规律一致，经计算得出二者平均铣削力数值最大误差为15%。本文研究结果对优化曲面铣削工艺参数提供了理论依据。
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（編辑：关毅）