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毕业班数学总复习是数学教学的一个重要环节，它是在学生学完小学数学的全部内容后，进行的一次系统、全面的回顾与整理，其重要性不言而喻。教学时，教师除充分运用教材编排的例题，还应根据学情补充设计相应例题，增强总复习的针对性与实效性。毕业班的总复习教学与单元整理复习、学期末总复习相比，时间跨度大、涉及内容多、综合性强，因而例题设计亦有其独特的策略和教学价值。笔者拟结合教学实践，谈一谈毕业班数学总复习课中的例题设计策略和教法设计。
一、整体规划，完善认知结构
数学知识的系统性很强，在一定意义上，数学学习的本质是掌握知识间的联系。因此总复习教学时，教师要根据知识的内容领域、知识间的区别联系、新旧知识的生长点与连接点，运用系统论的思想，以整体规划的眼光通盘考虑例题设计，将相关联的数学知识聚合成一个“知识块”，凸显数学知识结构的整体性。通过对例题的整体教学规划与组织，进一步完善学生的数学认知结构，促进数学知识的前后呼应与多维度理解把握，加强数学技能的触类旁通与多元化应用。
例1：根据不同条件，列式解答。
求知书店周六卖出漫画书24本， 卖出教学参考书多少本？
（1）卖出的漫画书本数是教学参考书的。
（2）卖出教学参考书的本数是漫画书的1.25倍。
（3）卖出的漫画书和教学参考书的比是4：5。
（4）卖出的漫画书比教学参考书少20%。
（5）卖出漫画书本数是漫画书和教学参考书总数的。
小学阶段的整数、小数、分数、百分数、比的应用等实际问题虽然条件的表现有异，但常用的方法与策略在本质上是相通的，可以说是“殊途同归”。本例以题组形式将各类实际问题统领起来，5道题虽然已知条件的表述方式不同，但书店卖出的漫画书和教学参考书的本数间的数量关系相同。通过对已知条件的分析、对比，依据小数、分数、百分数、比之间的关系，将已知条件进行等价转化（如下所示），使学生明确：5道题的已知条件在本质上是一致的，都可以表示为“卖出的漫画书本数是教学参考书的”，均可列算式24÷解答。
条件（1）条件（2）→教学参考书的本数是漫画书的倍。条件（3）→漫画书4份，教学参考书有5份。条件（4）→漫画书是教学参考书的80%。条件（5）→教学参考书是漫画书和教学参考书总数的。
这样做，既可以将各种实际问题进行很好的沟通，形成最佳思路，促进不同知识范畴内解题方法的相互借鉴、吸纳、互补和融合，又能避免按知识类型分门别类重复训练，减轻学生负担。更重要的是可以通过转化，选择合适的方法解决问题，不仅有助于开阔学生的数学学习视野，而且对学生创新思维能力的培养具有良好的促进作用。
二、灵活变易，发展思维能力
数学是思维的体操。在总复习课中，教师却常常有意或无意忽略了思维训练，只顾让学生大量机械重复做题，既挫伤了他们的学习兴趣，又制约或阻碍学生思维的发展。因此，教师设计例题要注意表述形式的多变性、解题方法的多样性、思维方式的多面性，通过对例题的分析与解答，促进数学知识间的沟通，训练、发展学生的数学思维，培养学生灵活、发散、流畅等良好的思维品质。
例2：求下面物体图1-1的体积。（单位：cm）
不规则立体图形的体积计算没有确定的公式，解题的常见方法是将其分割成两个或多个规則立体图形，再求出体积之和或差。日常教学中，教师常编制此类习题让学生练习久而久之，学生极易形成思维定势：认为分割法是解决此类问题的制胜法宝。其实，分割只是解决此类问题的策略之一，合并有时会有意想不到的效果。设计本例的主要出发点，就是给学生提供一个新的思维角度，破除大量同类练习形成的思维深度与广度上的“悬停”现象，使其认识到有时反常规、背道而行也不失为聪明之举。
当学生穷尽分割求体积的方法与思路仍无法获得满意结果，心生疑惑时，教师借助推导三角形面积公式采用的“合二为一”策略，启发思考：“合二为一”策略，对我们解答本题有何借鉴？有了常规思路带来的解题迷局以及方法策略的引领，相信学生会有“山穷水尽”过后的“柳暗花明”之感：不妨也“合二为一”试一试？由此很容易得出图1-2的解法：立体图形的体积是底面直径2 cm，高（3 5） cm的圆柱的体积的一半，即：3.14×（2÷2）2×（3 5）÷2=12.56（cm3）。
三、生动鲜活，强化应用意识
数学真实反映着现实中某方面的关系，数学学习要善于在现实中寻找“原型”，获得生动直观的体验。这样做，既有利于学生掌握形式上的数学概念和数学结论，更有利于掌握数学概念和结论背后蕴含的丰富事实及本质属性。教师设计例题时，应从生活实际和学生背景知识出发，选取具有鲜活生活色彩的内容，结合实例创设现实的问题情境展开教学，贯穿应用主线，使学生在主动探索中感悟数学的力量和实用价值，体验并学会数学建模，强化数学应用意识，发展解决问题能力，提高数学应用水平。
例3：2016年9月15日晚，长征二号F T2运载火箭搭载我国自行研制的“天宫二号”空间实验室顺利升空。某同学绘制了如图2所示的火箭模型截面图。请解决下面问题：
（1）用含有a、b的代数式表示该截面的面积；
（2）当a=2.8 cm，b=2.2 cm时，求这个截面的面积。
例题是教师用作示范的具有代表性的典型数学问题，是沟联概念、定理、公式等抽象数学知识和具体生活实践之间的桥梁，促进学生的数学知识转化为数学能力的重要环节。例题考查学生列代数式（用字母表示数）、平面图形面积计算、代数式化简及求值等多方面知识，具有一定的综合性。设计本例，意在将用字母表示数及求值与“天宫二号”空间实验室升空的新闻事件融合，让学生在充满生活气息的现实情境中用数学、品数学，感受数学魅力。
四、层次分明，践行因材施教 十个手指有长短。同样，班级学生的智力发展水平也不可能处于同一层面。因此，总复习的起点不能“齐步走”，教师要注意因材施教，善于从本班学生的实际情况出发，精心设计有层次、有坡度的例题，对不同基础的学生提出不同的学习要求，使各种程度的学生都能通过例题的学习确有所获，并都能在原有的基础上有所提高。
例4：如图3，已知圆的直径是8 cm，求阴影部分的周长和面积。
小学生数学学习的认识过程大致要经过“凭借旧知同化新知→新知纳入到原有知识结构→在相应情境中运用提升”三个层次。原有认知结构是影响新知识学习质量的重要因素。用统一的标准去要求原有认知结构各异、发展水平有别的学生，就会出现 “吃不饱”或“吃不了”的教学困局。本例教学可分层设定标准，学习能力较弱的学生，以教师“扶”为主，掌握基本解法1；学习能力有提升空间的学生，“扶”与“放”结合，在教师的引导与点拨下掌握解法2；学习能力强的学生，大胆“放”，对其解题方法提出更高要求，要求跨越解法1和2，凭借自主探究习得解法3。
解法1：阴影部分的周长是直径8 cm的大圆周长的一半与直径4cm的小圆两个半周长的和；面积是半径4cm的圆面积的一半减去半径2cm的圆面积的一半的差，再加上半径2cm的圆面积的一半。
解法2：图中的两个小半圆相等，阴影小半圆恰好补充空白小半圆，阴影部分周长是直径4 cm的小圆周长与直径8 cm的大圆周长一半的和；面积是半径4 cm的大圆面积减去它的面积的一半。
解法3：因为大圆直径是小圆直径的2倍，小圆周长和大圆半周长相等，所以阴影部分周长是直径8 cm的圆的周长；将阴影小半圆移到空白小半圆使其重合，阴影部分面积是半径4 cm的圆面积的一半。
五、积聚经验，提升数学素养
教学实践表明，毕业班总复习是学生形成、总结学习经验的绝佳时机。借此时机，可帮助学生总结个人数学学习与活动经验，并通过彼此之间的经验分享，促进学生的发展。教学时，教师要善于设计例题，组织学生通过就题论理、论思路等学习活动，引导他们总结解题策略，积累数学学习与活动经验，促进解题策略和学习经验的迁移，感悟例题包含的数学思想和方法，提升自身数学素养。
例5：学校计划在长80 m、宽60 m的长方形大院中，用31.4米的木栅栏围成一块地作为劳动实习基地。请你设计一个方案，使得基地的面积尽可能大一些。
例题要求学生利用所学的数学知识解决生产、生活中的实际问题，以此体会到数学的价值，强化“用数学”的意识，既考察学生的实践能力，又培养创新思维能力。设计本例意在激活学生有关平面图形面积的学习与活动经验，考察学生综合运用所学平面图形面积计算方法解决问题的能力。
先激活学生已有认知经验，明确“周长相等的平面图形中，圆的面积最大”。获得设计方案1：在长方形大院内，围一块圆形的地，面积是3.14×（31.4÷3.14÷2）2=78.5（m2）；
接着启发思考：围成的地一定要在大院正中间吗？靠墙围可不可以？凭借以往学习经验，确定“靠墙围也可以”。再联系“周长相等的正方形和长方形，正方形面积大”获得设计方案2：靠一面墙围一块正方形地，面积是（31.4÷3）2≈110（m2）；
以方案2为基础，变化方案1（将圆往下平移）发现方案3：靠一面墙围成半圆形地，面积是3.14×（31.4÷3.14）2÷2=157（m2）。
借助已有思維成果，再次引导猜想：两面靠墙可以围吗？因为有了方案3的经验积累，直接考虑圆的情形，发现方案4：靠两面墙，在墙角处围成个圆，面积是3.14×（31.4×2÷3.14）2÷4=314（m2）。
这样的教学，通过“地在院内→地在边上→地在角上”的位置变化和“圆→正方形→半圆→扇形”的形状变化，由简单到复杂，从常规到特殊，由浅入深，先易后难，使得问题解决、经验激活、迁移与积累相生相伴，相互促进，从而有效提升学生的数学素养。
六、查漏补缺，形成准确认知
概念的清晰把握、技能的熟练运用，是提高灵活应用所学知识与能力解决问题的基础。因此，教师应根据课堂教学、批改作业和课后辅导中了解到的情况，对学生还有哪些概念比较模糊、哪些方法不够熟练、哪些疑难尚未解决等做到了然于胸，并以此为基础设计例题，展开教学，予以弥补。通过知识的再认、再现和质疑问难，并辅以必要练习，使模糊的概念清晰起来，使生疏的技能熟练起来。
例6：联系小学阶段的学习，谈一谈你对0的认识。
小学生对数学概念的掌握直接受其自身概括水平发展的制约。小学生思维发展的阶段性特点，决定了其对数学概念的掌握也要经历一个由浅入深、由零散到系统的螺旋上升，直至较为完整的过程。0是小学数学中较为特殊的数，小学生对0的认识贯穿低、中、高三个学段，导致其对0的认识处于碎片化的散乱状态，不利于对数的完整感知和把握。设计本例，意在通过学生的讨论交流，对0进行一次较为系统的梳理，形成清晰、准确认知，从而构建和完善数的认知结构。组织教学时，应坚持学生的充分交流分享和教师的相机点拨引导相结合，使其在观点争鸣与思维碰撞中集聚智慧，在教师的有序引领与分类指导中习得并完善认知。以下是学生的总结：
数的角度：0是最小的自然数；0是最小的偶数；0既不是整数，也不是负数；写数时，0可以用来占位；研究因数与倍数时，都不考虑0……
算的角度：任何数加0都等于原数；任何数减0都等于原数；任何数乘0多等于0；0不能做除数……
用的角度：商不变性质、分数基本性质、比的基本性质、等式的性质中涉及除法时，规定“0除外”的理由；小数的末尾添上0或去掉0，小数大小不变的原因等。
形的角度：在用数对表示位置时，0是行与列的共同起点；用数轴表示数时，0代表起点……
统计的角度：在条形统计图与折线统计图中，0是横轴与纵轴的交点，表示相应数据的起始状态。
[责任编辑：陈国庆]
一、整体规划，完善认知结构
数学知识的系统性很强，在一定意义上，数学学习的本质是掌握知识间的联系。因此总复习教学时，教师要根据知识的内容领域、知识间的区别联系、新旧知识的生长点与连接点，运用系统论的思想，以整体规划的眼光通盘考虑例题设计，将相关联的数学知识聚合成一个“知识块”，凸显数学知识结构的整体性。通过对例题的整体教学规划与组织，进一步完善学生的数学认知结构，促进数学知识的前后呼应与多维度理解把握，加强数学技能的触类旁通与多元化应用。
例1：根据不同条件，列式解答。
求知书店周六卖出漫画书24本， 卖出教学参考书多少本？
（1）卖出的漫画书本数是教学参考书的。
（2）卖出教学参考书的本数是漫画书的1.25倍。
（3）卖出的漫画书和教学参考书的比是4：5。
（4）卖出的漫画书比教学参考书少20%。
（5）卖出漫画书本数是漫画书和教学参考书总数的。
小学阶段的整数、小数、分数、百分数、比的应用等实际问题虽然条件的表现有异，但常用的方法与策略在本质上是相通的，可以说是“殊途同归”。本例以题组形式将各类实际问题统领起来，5道题虽然已知条件的表述方式不同，但书店卖出的漫画书和教学参考书的本数间的数量关系相同。通过对已知条件的分析、对比，依据小数、分数、百分数、比之间的关系，将已知条件进行等价转化（如下所示），使学生明确：5道题的已知条件在本质上是一致的，都可以表示为“卖出的漫画书本数是教学参考书的”，均可列算式24÷解答。
条件（1）条件（2）→教学参考书的本数是漫画书的倍。条件（3）→漫画书4份，教学参考书有5份。条件（4）→漫画书是教学参考书的80%。条件（5）→教学参考书是漫画书和教学参考书总数的。
这样做，既可以将各种实际问题进行很好的沟通，形成最佳思路，促进不同知识范畴内解题方法的相互借鉴、吸纳、互补和融合，又能避免按知识类型分门别类重复训练，减轻学生负担。更重要的是可以通过转化，选择合适的方法解决问题，不仅有助于开阔学生的数学学习视野，而且对学生创新思维能力的培养具有良好的促进作用。
二、灵活变易，发展思维能力
数学是思维的体操。在总复习课中，教师却常常有意或无意忽略了思维训练，只顾让学生大量机械重复做题，既挫伤了他们的学习兴趣，又制约或阻碍学生思维的发展。因此，教师设计例题要注意表述形式的多变性、解题方法的多样性、思维方式的多面性，通过对例题的分析与解答，促进数学知识间的沟通，训练、发展学生的数学思维，培养学生灵活、发散、流畅等良好的思维品质。
例2：求下面物体图1-1的体积。（单位：cm）
不规则立体图形的体积计算没有确定的公式，解题的常见方法是将其分割成两个或多个规則立体图形，再求出体积之和或差。日常教学中，教师常编制此类习题让学生练习久而久之，学生极易形成思维定势：认为分割法是解决此类问题的制胜法宝。其实，分割只是解决此类问题的策略之一，合并有时会有意想不到的效果。设计本例的主要出发点，就是给学生提供一个新的思维角度，破除大量同类练习形成的思维深度与广度上的“悬停”现象，使其认识到有时反常规、背道而行也不失为聪明之举。
当学生穷尽分割求体积的方法与思路仍无法获得满意结果，心生疑惑时，教师借助推导三角形面积公式采用的“合二为一”策略，启发思考：“合二为一”策略，对我们解答本题有何借鉴？有了常规思路带来的解题迷局以及方法策略的引领，相信学生会有“山穷水尽”过后的“柳暗花明”之感：不妨也“合二为一”试一试？由此很容易得出图1-2的解法：立体图形的体积是底面直径2 cm，高（3 5） cm的圆柱的体积的一半，即：3.14×（2÷2）2×（3 5）÷2=12.56（cm3）。
三、生动鲜活，强化应用意识
数学真实反映着现实中某方面的关系，数学学习要善于在现实中寻找“原型”，获得生动直观的体验。这样做，既有利于学生掌握形式上的数学概念和数学结论，更有利于掌握数学概念和结论背后蕴含的丰富事实及本质属性。教师设计例题时，应从生活实际和学生背景知识出发，选取具有鲜活生活色彩的内容，结合实例创设现实的问题情境展开教学，贯穿应用主线，使学生在主动探索中感悟数学的力量和实用价值，体验并学会数学建模，强化数学应用意识，发展解决问题能力，提高数学应用水平。
例3：2016年9月15日晚，长征二号F T2运载火箭搭载我国自行研制的“天宫二号”空间实验室顺利升空。某同学绘制了如图2所示的火箭模型截面图。请解决下面问题：
（1）用含有a、b的代数式表示该截面的面积；
（2）当a=2.8 cm，b=2.2 cm时，求这个截面的面积。
例题是教师用作示范的具有代表性的典型数学问题，是沟联概念、定理、公式等抽象数学知识和具体生活实践之间的桥梁，促进学生的数学知识转化为数学能力的重要环节。例题考查学生列代数式（用字母表示数）、平面图形面积计算、代数式化简及求值等多方面知识，具有一定的综合性。设计本例，意在将用字母表示数及求值与“天宫二号”空间实验室升空的新闻事件融合，让学生在充满生活气息的现实情境中用数学、品数学，感受数学魅力。
四、层次分明，践行因材施教 十个手指有长短。同样，班级学生的智力发展水平也不可能处于同一层面。因此，总复习的起点不能“齐步走”，教师要注意因材施教，善于从本班学生的实际情况出发，精心设计有层次、有坡度的例题，对不同基础的学生提出不同的学习要求，使各种程度的学生都能通过例题的学习确有所获，并都能在原有的基础上有所提高。
例4：如图3，已知圆的直径是8 cm，求阴影部分的周长和面积。
小学生数学学习的认识过程大致要经过“凭借旧知同化新知→新知纳入到原有知识结构→在相应情境中运用提升”三个层次。原有认知结构是影响新知识学习质量的重要因素。用统一的标准去要求原有认知结构各异、发展水平有别的学生，就会出现 “吃不饱”或“吃不了”的教学困局。本例教学可分层设定标准，学习能力较弱的学生，以教师“扶”为主，掌握基本解法1；学习能力有提升空间的学生，“扶”与“放”结合，在教师的引导与点拨下掌握解法2；学习能力强的学生，大胆“放”，对其解题方法提出更高要求，要求跨越解法1和2，凭借自主探究习得解法3。
解法1：阴影部分的周长是直径8 cm的大圆周长的一半与直径4cm的小圆两个半周长的和；面积是半径4cm的圆面积的一半减去半径2cm的圆面积的一半的差，再加上半径2cm的圆面积的一半。
解法2：图中的两个小半圆相等，阴影小半圆恰好补充空白小半圆，阴影部分周长是直径4 cm的小圆周长与直径8 cm的大圆周长一半的和；面积是半径4 cm的大圆面积减去它的面积的一半。
解法3：因为大圆直径是小圆直径的2倍，小圆周长和大圆半周长相等，所以阴影部分周长是直径8 cm的圆的周长；将阴影小半圆移到空白小半圆使其重合，阴影部分面积是半径4 cm的圆面积的一半。
五、积聚经验，提升数学素养
教学实践表明，毕业班总复习是学生形成、总结学习经验的绝佳时机。借此时机，可帮助学生总结个人数学学习与活动经验，并通过彼此之间的经验分享，促进学生的发展。教学时，教师要善于设计例题，组织学生通过就题论理、论思路等学习活动，引导他们总结解题策略，积累数学学习与活动经验，促进解题策略和学习经验的迁移，感悟例题包含的数学思想和方法，提升自身数学素养。
例5：学校计划在长80 m、宽60 m的长方形大院中，用31.4米的木栅栏围成一块地作为劳动实习基地。请你设计一个方案，使得基地的面积尽可能大一些。
例题要求学生利用所学的数学知识解决生产、生活中的实际问题，以此体会到数学的价值，强化“用数学”的意识，既考察学生的实践能力，又培养创新思维能力。设计本例意在激活学生有关平面图形面积的学习与活动经验，考察学生综合运用所学平面图形面积计算方法解决问题的能力。
先激活学生已有认知经验，明确“周长相等的平面图形中，圆的面积最大”。获得设计方案1：在长方形大院内，围一块圆形的地，面积是3.14×（31.4÷3.14÷2）2=78.5（m2）；
接着启发思考：围成的地一定要在大院正中间吗？靠墙围可不可以？凭借以往学习经验，确定“靠墙围也可以”。再联系“周长相等的正方形和长方形，正方形面积大”获得设计方案2：靠一面墙围一块正方形地，面积是（31.4÷3）2≈110（m2）；
以方案2为基础，变化方案1（将圆往下平移）发现方案3：靠一面墙围成半圆形地，面积是3.14×（31.4÷3.14）2÷2=157（m2）。
借助已有思維成果，再次引导猜想：两面靠墙可以围吗？因为有了方案3的经验积累，直接考虑圆的情形，发现方案4：靠两面墙，在墙角处围成个圆，面积是3.14×（31.4×2÷3.14）2÷4=314（m2）。
这样的教学，通过“地在院内→地在边上→地在角上”的位置变化和“圆→正方形→半圆→扇形”的形状变化，由简单到复杂，从常规到特殊，由浅入深，先易后难，使得问题解决、经验激活、迁移与积累相生相伴，相互促进，从而有效提升学生的数学素养。
六、查漏补缺，形成准确认知
概念的清晰把握、技能的熟练运用，是提高灵活应用所学知识与能力解决问题的基础。因此，教师应根据课堂教学、批改作业和课后辅导中了解到的情况，对学生还有哪些概念比较模糊、哪些方法不够熟练、哪些疑难尚未解决等做到了然于胸，并以此为基础设计例题，展开教学，予以弥补。通过知识的再认、再现和质疑问难，并辅以必要练习，使模糊的概念清晰起来，使生疏的技能熟练起来。
例6：联系小学阶段的学习，谈一谈你对0的认识。
小学生对数学概念的掌握直接受其自身概括水平发展的制约。小学生思维发展的阶段性特点，决定了其对数学概念的掌握也要经历一个由浅入深、由零散到系统的螺旋上升，直至较为完整的过程。0是小学数学中较为特殊的数，小学生对0的认识贯穿低、中、高三个学段，导致其对0的认识处于碎片化的散乱状态，不利于对数的完整感知和把握。设计本例，意在通过学生的讨论交流，对0进行一次较为系统的梳理，形成清晰、准确认知，从而构建和完善数的认知结构。组织教学时，应坚持学生的充分交流分享和教师的相机点拨引导相结合，使其在观点争鸣与思维碰撞中集聚智慧，在教师的有序引领与分类指导中习得并完善认知。以下是学生的总结：
数的角度：0是最小的自然数；0是最小的偶数；0既不是整数，也不是负数；写数时，0可以用来占位；研究因数与倍数时，都不考虑0……
算的角度：任何数加0都等于原数；任何数减0都等于原数；任何数乘0多等于0；0不能做除数……
用的角度：商不变性质、分数基本性质、比的基本性质、等式的性质中涉及除法时，规定“0除外”的理由；小数的末尾添上0或去掉0，小数大小不变的原因等。
形的角度：在用数对表示位置时，0是行与列的共同起点；用数轴表示数时，0代表起点……
统计的角度：在条形统计图与折线统计图中，0是横轴与纵轴的交点，表示相应数据的起始状态。
[责任编辑：陈国庆]