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摘要： 在分析直流电路时，如能充分运用数学工具，将起到帮助和加深对电路工作状态的理解的作用。本文通过图像对直流电路的工作状态、功率、工作效率进行分析，进而得出图像中线段、角度、面积等的物理意义。
关键词： 直流电路 图线 工作状态 物理意义
最简单的直流电路如图1所示，闭合电路欧姆定律的基本形式是
当电源电动势E和它的内电阻r恒定时，图1中的电流I，是负载电阻R的单值函数。由（1）式变形可得
（2）式表示U是I的一次函数。若用图线表示，则（2）式中的E是一次函数的截距，－r是一次函数的斜率，其函数图线如图2所示，这条图线也叫直流电路的状态图线。图2中AB线段上的任意一点表征着直流电路处于一个确定的工作状态。
一、A、B两点及α角的物理意义
当直流电路的工作状态处于A点时，电路中没有电流通过。由（1）式可知，当外电路断路，即R＝∞时，I＝0；由（2）式可知，这时的内部电压降U′=0，U＝E。总之，A点表示直流电路处于一个特殊的状态——断路，这时，R ＝∞、I ＝0、U ′=0、 U ＝E。
B点的纵坐标U为0，横坐标I＝E/r。这时外电路短路，R＝0。总之，B点表示直流电路处于另一个特殊状态——短路，这时R ＝0、I ＝E/r、U ′＝E、U ＝0。图2中图线的斜率是－r，即tan(π-α)=－r，tanα=r。可见α角的正切函数值表示电源的内阻r。
干电池使用了一段时间以后，其电动势E将变小，而内阻r将增大。如图3所示，图1表示新的干电池的状态图线，图2表示旧的干电池的状态图线。不过，在相当长的一段时间内这种变化并不大。
二、一般工作状态
图4中AB线段上的任意一点P，表示直流电路处于一般工作状态。P点的位置是由下列三个因素决定的：A点的位置，即电源电动势E的大小；α角（或短路电流I ＝E/r）的大小；β角的大小。
若P点的坐标用I 、U 表示，直线AB的方程是
由（5）、（6）两式可知P点的位置确实是E、α、β等三个因素决定的。
由图4可知，tanβ=U ／I =R ，即β角的正切值表示直流电源的负载电阻R。此外，在图4中P点与A点的纵向差距表示电源的内部电压降U′。
当β角逐渐减小，P点沿着AB线段向下移动，电路中电流I增大，路端电路U减小，电源内部电压降U′加大。当β＝0时，P点与B点重合，这时tanβ＝0，表示负载电阻R＝0，即直流电压处于短路状态。这时，I =E／r、U ＝0。
当β角逐渐增大，P点沿着AB图线向上移动，电路中电流强度I减小，路端电压U加大。当β＝90°时，P点与A点重合，这时tanβ＝∞，表示负载电阻R=∞，电路处于断路状态。这时，I =0、U ＝E。
三、直流电路的功率
直流电路中的功率可分为输出功率P ＝IU、电源内部消耗的功率P ＝IU′和电源的电功率P ＝IE三部分。根据能量转化和守恒定律，IE＝I ＋IU′。当电路处于确定的工作状态，即图4中的P点确定以后，上述三部分电功率也應该是确定的。
在图5中，由左上到右下的斜线的矩形面积的大小是I U ，即表示电源的输出功率P 。由（5）、（6）两可得
P =IU= （7）
在图5中，由右上到左下的斜线的矩形面积的大小是I U ′，即表示电源内部消耗的功率P 。由（5）、（6）两可得
上述两个矩形面积之和等于I ，即表示电源的电功率P
可见，P 、P 、P 这三个电功率都由E、β、α三个因素决定的，当直流电路的状态点P确定以后，以上三因素及三个电功率也就确定了。
当β＝90°时，电路处于断路状态，这时P ＝0、P ＝0、P ＝0。
当β由90°开始逐渐减小时，P 和P 将随着tanβ值的减小而增大，然而(7)式表明P 不是tanβ的单调函数，由图5中以PO为对角线的矩形面积（表示P ）可知，P 将随着P点由A向B的移动过程，先增后减，即P点在AB间的某一特定位置时P 有极大值。
（10）式中的E和r是恒量，P 是I的二次函数，而且二次项的系数取负值，可见P 有极大值。根据抛物线的顶点公式，其顶点的横坐标I＝E／2r时P 有极大值。
如图6所示，当I＝E／2r时，P点位于AB线段的中点，于是U＝E／2，P ＝IU＝E ／4r。这时tanβ＝tanα，即R＝r时直流电路的输出功率有极大值。由图6中的矩形面积可知，P ＝P ＝E ／4r 、P ＝E ／2r。
当β＝0时，P点与B点重合，表示功率的矩形面积如图7所示。由tanβ=0、R＝0、I ＝E／r、U＝0、U′＝E，可以得出P ＝0、P ＝E ／r、P ＝E ／r。这时的电源功率全都消耗在电源内部，输出功率为零。
四、直流电路的效率
直流电路的效率
当β＝0时，代表P 的矩形面积为0（见图7），P 与P 的面积都等于E ／r。这时的直流电路效率η为零。
当β角增大时，P点沿AB线段向上移动，效率值渐增。
当β＝α时（见图6），输出功率达到最大值，这时η＝50%。
当β＝90°时，U＝E，由（11）式，电路的效率η＝100%。但实际上是没有意义的，因为这时表示功率的矩形都缩成了一条直线，取P ＝P ＝P ＝0。这时R＝∞，处于断路状态，直流电路已不再工作。
只要直流电路有输出功率，就不可避免地有电源内部消耗，与其它能量转换装置一样，其效率不可能达到100%。
对比直线运动中的速度图线和理想气体的P－V图线，我们可以体会到直流电路中的上述“工作状态图线”也十分重要，其中的线段、角度、面积都有相对应的物理意义，利用这些图线进行教学，对于这一章的教材能起到提纲挈领的作用。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
关键词： 直流电路 图线 工作状态 物理意义
最简单的直流电路如图1所示，闭合电路欧姆定律的基本形式是
当电源电动势E和它的内电阻r恒定时，图1中的电流I，是负载电阻R的单值函数。由（1）式变形可得
（2）式表示U是I的一次函数。若用图线表示，则（2）式中的E是一次函数的截距，－r是一次函数的斜率，其函数图线如图2所示，这条图线也叫直流电路的状态图线。图2中AB线段上的任意一点表征着直流电路处于一个确定的工作状态。
一、A、B两点及α角的物理意义
当直流电路的工作状态处于A点时，电路中没有电流通过。由（1）式可知，当外电路断路，即R＝∞时，I＝0；由（2）式可知，这时的内部电压降U′=0，U＝E。总之，A点表示直流电路处于一个特殊的状态——断路，这时，R ＝∞、I ＝0、U ′=0、 U ＝E。
B点的纵坐标U为0，横坐标I＝E/r。这时外电路短路，R＝0。总之，B点表示直流电路处于另一个特殊状态——短路，这时R ＝0、I ＝E/r、U ′＝E、U ＝0。图2中图线的斜率是－r，即tan(π-α)=－r，tanα=r。可见α角的正切函数值表示电源的内阻r。
干电池使用了一段时间以后，其电动势E将变小，而内阻r将增大。如图3所示，图1表示新的干电池的状态图线，图2表示旧的干电池的状态图线。不过，在相当长的一段时间内这种变化并不大。
二、一般工作状态
图4中AB线段上的任意一点P，表示直流电路处于一般工作状态。P点的位置是由下列三个因素决定的：A点的位置，即电源电动势E的大小；α角（或短路电流I ＝E/r）的大小；β角的大小。
若P点的坐标用I 、U 表示，直线AB的方程是
由（5）、（6）两式可知P点的位置确实是E、α、β等三个因素决定的。
由图4可知，tanβ=U ／I =R ，即β角的正切值表示直流电源的负载电阻R。此外，在图4中P点与A点的纵向差距表示电源的内部电压降U′。
当β角逐渐减小，P点沿着AB线段向下移动，电路中电流I增大，路端电路U减小，电源内部电压降U′加大。当β＝0时，P点与B点重合，这时tanβ＝0，表示负载电阻R＝0，即直流电压处于短路状态。这时，I =E／r、U ＝0。
当β角逐渐增大，P点沿着AB图线向上移动，电路中电流强度I减小，路端电压U加大。当β＝90°时，P点与A点重合，这时tanβ＝∞，表示负载电阻R=∞，电路处于断路状态。这时，I =0、U ＝E。
三、直流电路的功率
直流电路中的功率可分为输出功率P ＝IU、电源内部消耗的功率P ＝IU′和电源的电功率P ＝IE三部分。根据能量转化和守恒定律，IE＝I ＋IU′。当电路处于确定的工作状态，即图4中的P点确定以后，上述三部分电功率也應该是确定的。
在图5中，由左上到右下的斜线的矩形面积的大小是I U ，即表示电源的输出功率P 。由（5）、（6）两可得
P =IU= （7）
在图5中，由右上到左下的斜线的矩形面积的大小是I U ′，即表示电源内部消耗的功率P 。由（5）、（6）两可得
上述两个矩形面积之和等于I ，即表示电源的电功率P
可见，P 、P 、P 这三个电功率都由E、β、α三个因素决定的，当直流电路的状态点P确定以后，以上三因素及三个电功率也就确定了。
当β＝90°时，电路处于断路状态，这时P ＝0、P ＝0、P ＝0。
当β由90°开始逐渐减小时，P 和P 将随着tanβ值的减小而增大，然而(7)式表明P 不是tanβ的单调函数，由图5中以PO为对角线的矩形面积（表示P ）可知，P 将随着P点由A向B的移动过程，先增后减，即P点在AB间的某一特定位置时P 有极大值。
（10）式中的E和r是恒量，P 是I的二次函数，而且二次项的系数取负值，可见P 有极大值。根据抛物线的顶点公式，其顶点的横坐标I＝E／2r时P 有极大值。
如图6所示，当I＝E／2r时，P点位于AB线段的中点，于是U＝E／2，P ＝IU＝E ／4r。这时tanβ＝tanα，即R＝r时直流电路的输出功率有极大值。由图6中的矩形面积可知，P ＝P ＝E ／4r 、P ＝E ／2r。
当β＝0时，P点与B点重合，表示功率的矩形面积如图7所示。由tanβ=0、R＝0、I ＝E／r、U＝0、U′＝E，可以得出P ＝0、P ＝E ／r、P ＝E ／r。这时的电源功率全都消耗在电源内部，输出功率为零。
四、直流电路的效率
直流电路的效率
当β＝0时，代表P 的矩形面积为0（见图7），P 与P 的面积都等于E ／r。这时的直流电路效率η为零。
当β角增大时，P点沿AB线段向上移动，效率值渐增。
当β＝α时（见图6），输出功率达到最大值，这时η＝50%。
当β＝90°时，U＝E，由（11）式，电路的效率η＝100%。但实际上是没有意义的，因为这时表示功率的矩形都缩成了一条直线，取P ＝P ＝P ＝0。这时R＝∞，处于断路状态，直流电路已不再工作。
只要直流电路有输出功率，就不可避免地有电源内部消耗，与其它能量转换装置一样，其效率不可能达到100%。
对比直线运动中的速度图线和理想气体的P－V图线，我们可以体会到直流电路中的上述“工作状态图线”也十分重要，其中的线段、角度、面积都有相对应的物理意义，利用这些图线进行教学，对于这一章的教材能起到提纲挈领的作用。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”