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20世纪60年代，美国著名经济学家威廉.夏普（William F.Sharpe）教授等人在哈里·马克威茨（Harry M.Markowitz）投资组合理论的基础上，导出了风险资产定价的量化模型——资本资产定价模型（CAPM）。在这个模型中，夏普教授十分简洁地给出了证券类风险资产（以下以“股票”替代）投资中期望收益与风险之间的关系，并首次引入了贝塔系数（β）的概念，用以表述股票期望收益随股票市场收益变化的敏感度。由于夏普教授在资本资产定价理论上的贡献，从而获得了1990年度诺贝尔经济学奖。资本资产定价模型也逐渐成为风险资产估价的重要方法，并得到更加广泛和深入的研究。其中，对于β的认识也不断得到深化。本文研究的就是β在企业价值评估中的应用问题。
一、β的定义
β作为描述股票收益水平相对股票市场平均收益水平变动的敏感性因子，有其严格的定义。夏普教授根据投资组合理论以及CAPM模型的假设，通过均值方差坐标平面，将投资股票的收益（以收益率表示）与风险（以收益率的方差表示）之间的关系表示成：
E（ri）= rf + Cov(ri,rM)/σM2[E（rM）- rf] （1）
式中，E（ri）和E（rM）分别为股票i和市场组合M的期望收益；Cov(ri, rM)为股票i和市场组合M期望收益的协方差；σM2为市场组合M期望收益的方差。令
βi = Cov(ri, rM)/σM2（2）
则有
E（ri） = rf+βi [E（rM）- rf] （3）
式（3）被称为证券市场线方程，即资本资产定价模型CAPM，它对任意股票或其组合的期望收益与风险之间的关系给出了一种简洁的结论。即：任意股票或其组合的期望收益由两部分构成：其一由投资无风险报酬率rf确定，它是对放弃即期消费而进行投资的一种补偿；其二由投资的风险报酬率βi [E（rM）- rf]确定，它是对投资需承担某种不确定性风险的一种补偿。
而股票市场中的风险是由两部分构成，一部分是只与公司股票自身性质有关的特有风险，也称为非系统性风险；另一部分是公司与整个市场因素有关的市场风险，也称为系统性风险。非系统性风险在构造股票的投资组合时可以被分散，而市场的系统性风险则不能通过投资组合被分散掉。式（2）即为β的数学定义，由股票i的收益率和市场组合M的收益率的协方差与市场组合M收益率的方差的比值表示，用以度量股票所承担的市场（系统）风险大小。因此，β也被称为股票的市场风险指数。
若投资者认为股票已实现的历史收益能较好地代表其未来，则可以应用统计回归技术，对直接观察到的、已实现的历史收益数据，通过单因素线性方程拟合后来表达股票持有期收益，同样也可以得到一个β值的表达式。
现在我们再来研究另一个股票收益模型。在这一模型中，以E（ri）表示股票持有期的期望收益； 以Hi表示假定在股票持有期间不可预测的宏观（或市场）因素对股票收益的影响，以ei表示假定在股票持有期间不可预测的公司特有因素对股票收益的影响。该股票收益ri的方程为：
ri = E（ri）+Hi + ei（4）
考虑到发行不同类型股票的企业对宏观市场因素有不同的敏感度，可将宏观市场因素对股票不可预测的影响记为M，将股票i对宏观因素事件的敏感度记为βi，则股票i所受宏观因素的影响Hi可表示为Hi =βiM，即式（4）变为：
ri = E（ri）+βiM + ei （5）
注意，由于所设定Hi和ei都属于不可预测因素对股票收益的影响，根据统计学理论中不可预测因素期望值的定义，其期望值（平均值）为零。式（5）表明股票i的持有期收益的期望值仅随宏观市场事件的一个因素βiM的变动而变化。因此，该期望值等式也被称为单因素模型（single-factor model）。
倘若我们把股票市场的某种价格指数、如上证综合指数或深证综合指数的收益作为宏观市场因素事件的代表，则可导出股票收益期望值的市场模型（market model），称为单指数模型（single-index model）。
已实现的股票收益可以划分成宏观（股票市场系统的）的与微观（上市公司所特有）的两部分。即有
ri -rf =αi +βi(rM -rf) + ei（6）
式中：
αi 表示当市场超额收益(rM-rf)为零时股票i的收益，即股票i的不规则收益率的平均值。在均值方差坐标平面中，α即是单指数方程（式6）的截距。
βi(rM-rf) 表示股票i收益中随整个市场变动的收益部分，其中βi是股票i对市场变动的敏感度。在均值方差坐标平面中，β即是单指数方程（式6）的斜率。
ei表示上市公司所特有的不可预期收益。
当使用R表示超额收益时，式（6）变为
Ri=αi +βiRM + ei（7）
可以把股票收益的方差拆分成由宏观经济因素的不确定性方差，与上市公司特有因素的不确定性方差两个部分，将市场超额收益rM-rf的方差记为σM2，将ei的方差记为σ2（ei），则由于协方差Cov(RM，ei) = 0。则股票i超额收益rM-rf的方差为
σi2 =β2iσM2 +σ2（ei）（8）
同理，某两种股票超额收益Ri和Ri的协方差，仅与宏观经济因素RM有关，即某两个股票的协方差为
Cov(Ri,Rj) = Cov(βiRM，βjRM) =βiβjσM2 （9）
鉴于RM和ei的协方差等于零，并注意到αi是一个趋于零（但不一定等于零）的常数，其与所有变量的协方差也均等于零。则可导出股票i的超额收益与股票市场价格指数收益的协方差为：
Cov(Ri,RM)=Cov(βiRM+ ei，RM)=βi Cov(Ri,RM)+ Cov(ei ,RM)=βiσM2（10）
即βi=Cov(Ri,RM)/σM2。
二、β的确定
β是CAPM模型中的一个重要参数，是对股票市场系统风险度量的一个关键因子。在评价风险、资产定价以及对股票投资组合进行分析中，β的确定十分重要。
1、β确定所采用的模型
CAPM模型能根据股票价格得出股票的“期望收益”。鉴于实际中可以获取股票已实现的收益， 因此可以通过CAPM模型，根据股票已实现收益进行股票定价和企业价值评估。
由于式（7）是一个标准的单指数线性方程，其收益R可利用一定样本区间的观察值进行简单的统计回归得到，因此我们可使用直接观察到的已实现的历史收益数据，用最小二乘法得到股票的历史β值，即
β0 =（ΣRiRM-1/nΣRiΣRM）/（ΣR2i -1/n[ΣRi]2） （11）
在β值计算中，资本市场发达的国家的咨询机构多使用总收益形式的单指数方程进行回归，即：
r =α +βiRM + e (12）
式（12）可替换为：
r-rf=α+β（rM-rf）+ e （13）
将式（13）展开，可以说明总收益与超额收益对β值确定时的影响。
展开式（13）：
r = rf+α+βrM-βrf+ e = α+ rf（1-β）+βrM + e（14）
比较计算总收益的式（12）和计算超额收益的式（14），可以发现，对于一个具体的股票样本，rf是一个常数，而这两个方程rM和e值是相同的。因此，两个回归方程中无论是采取总收益的形式、还是采取超额收益的形式，对β值都不会产生实质性的影响。而使用总收益形式的模型可以忽略股票收益的红利，这可以大大简化统计方程的数据采集和计算的工作量。但应注意的是，式（12）中的α值只是在按周或月为基准的rf（1-β）值较小时，可近似等于超额收益的式（14）中α+ rf（1-β）值。当β≠1时，式（12）中的回归截距（α）不等于式（14）中的α。
rf虽然也在随时间变化，但rf的方差与市场收益的变动相比是十分微小，也即短期国债利率的实际变动对β的估计值影响极微小。如美国证券市场在通过计算总收益的方程确定β时，短期国债收益率仅占总收益的约0.2 %，所以采用总收益方程与超额收益方程确定β时，此变动完全可以忽略。
在计算历史β值时，市场组合的代替品通常是某股票市场的价格指数。计算时是式(7)的一种新的形式：
Rit= αi+βitRMT+εit （15）
式中：
Rit = 股票i在t期间的收益率；
RMT = 股票市场组合在t期间的收益率；
αi = 股票i的不规则收益率（不受市场影响的收益部分）；
βi = 股票i对市场组合收益率变化的敏感因子（市场风险系数）；
εit = 零均值随机误差项。
式（15）被称为单指数的市场模型，即证券市场线（Security market line）特征方程。使用式（15）可以获得历史β值、α值、相关系数、决定系数、特性系数、残值标准差、β标准差、α标准差、收益率以及收益率标准差等多个统计值。
包含G项股票的投资组合的βp，仅是投资组合中各股票βi值的加权平均，其中的权重就是该单个股票市场价值占投资组合总市场价值的百分比。即
βp = Σwiβi （16）
例如，某投资组合的30%是代码为600009股票，β= 0.57；70%是代码为6000641股票，β=1.11时，其历史β值就等于：
30%(0.57)+70%(1.11) = 0.95
2、β值的稳定性问题
鉴于股票的收益率是随市场变化而变化的，因此在对股票的历史收益数据进行回归拟合时，遇到的最棘手问题是如何保证β值的稳定性。影响β值不稳定的时间误差，除了股票收益持有期的时间即统计回归期的区间长度之外，还包括股票收益数据的时间间隔（如每日、每月还是每季）。如根据某一股票过去5年的每月收益率拟合回归方程，则可以采用关于市场指数和单只股票收益率各60个观察值。如根据过去三年的每周收益率拟合回归方程，则可以采用相应的156个观察值。如根据过去一年的每日收益率数据拟合回归方程，得则可以采用240个交易日的观察值。按照统计学原理，观察值越多、得到的结果越可靠。但确定β值时，还必须充分揭示股票“即期”风险，即不应使得出的方程曲线“平滑”了风险，或遗漏了风险。因此，在根据股票收益进行拟合回归方程时，必须考虑回归期限和数据的取样单元。
关于回归期限的长度，许多咨询分析机构，包括价值在线(Value Line)公司与标准普尔(Standard and Poor抯)公司，在确定β值时一般使用5年的历史数据，而Bloomberg公司使用2年的历史数据确定β值。回归期限越长，使用的数据越多，回归的结果应该说越稳定。但股票本身的风险特征可能会随回归期限的延迟推移而发生较大的改变。笔者认为， 3年的回归期限既可保持β值有一定的稳定性，又能较充分地揭示股票风险的敏感度。
至于回归方程所使用的数据单元，我们可以采用按月、周、日，甚至一天中的某一段时间为单元的收益数据。以日或更小的时间单位获取收益数据可以增加观察值的数量,但由于某些较短时间单位的股票交易量可能为零或交易价格并没有反映市场的主体行为，从而导致β值出现失真的情况。如在使用每天收益率来计算某一小型上市公司的β值时，可能会因其股票在某些天内无任何交易而使得出的β值偏低。又如某一股票在某一天的价格下降不是由市场因素导致的，而是因上市公司的特殊原因所导致的（如分红派息等），这些情况也都可能使使用每天收益率计算某上市公司得出的β值失真。而以周或月作为时间单位进行计算，则能减少这些因素导致的误差。
研究表明，随统计时间期限的延长，各单个股票的β值都表现出相当明显的不稳定性，而某一股票组合（如某行业的股票组合）的β值则相对较为稳定。
β值不稳定性的另一个重要原因是β涵盖了多个宏观经济因素或微观因素所导致的风险，β作为单一的风险量度出现不稳定的可能太大了。如石油价格是系统风险的一个宏观因素。当石油价格水平变化时，对石油价格敏感的股票都会有所反应。因此，如果要使β值对于预测有真正意义的话，就应不断对β计值进行适时的调整更新。
β值与股票所在的市场有很大关系。因此，当计算在上海证交所上市的股票β值时，应选用上证所的价格指数；计算在深圳证交所上市的股票时，则应选用深圳证交所的价格指数。当成份指数不能较好地代表市场状况时，应选用综合指数。
3、对历史β值的调整
由回归分析得到的β值是否应该加以调整，以消除回归中可能产生的误差呢？一些权威股票分析机构公布的β值，大多采用一种β估计值的标准差，将某一股票β值向整体市场β值调整（整体市场的β值一般假设等于1）。 Marshall Blume的研究发现，随着时间的推移，风险资产投资组合的β值趋于向市场平均值，即β趋于1.0。其经济学解释是一家上市公司的风险将逐渐趋于所有上市公司的平均风险。他得出的结论是，股票i的β预测值若经过以下调整后更为合理和准确：
β2i = a+bβ1i （17）
其中β2i和β1i是时间间隔为若干年的两个β值，而通过回归分析可计算出参数a和b。
美国提供β计算值的两家主要公司Merill Lynch和Value line都使用这一方法计算未来的β值。
在这一种调整中，β值的标准差越大，调整的幅度就越大。这种调整对于采用每天收益率数据计算β值时，效果最为明显，收益率数据时间单位的加长，将使调整效果减弱。
最近的一项研究表明，β的可预测程度与投资时间的长度（持有期）成反比，而与投资组合的规模成正比，但其结果都需要进行一定的调整。
4、关于基本β值
β是夏普教授市场模型的斜率，其含义是“一个证券的回报率相对市场指数回报率的敏感性”。在多因素模型里，则有多个β，它们同样反映的是对不同因素的敏感性。在夏普看来，β是一个统计结果，它为CAMP提供了一个很好的参数。
以后有许多研究人员对决定β的因素进行了更深入的研究，研究了β与上市公司基本财务因素之间的关系，这些财务因素有红利支付率、资产增长率等等。
美国纽约大学教授Damodaran则提出β是由上市公司所处的行业、经营杠杆比率和财务杠杆比率三个因素决定的。
如在周期性较强的行业，上市公司的β就较高。当一家上市公司的经营领域涉及多个行业，那么，其β系数应该是其所处不同行业β值的加权平均值，其权重以上市公司在各行业业绩的市场价值进行衡量。
经营杠杆比率通常定义为企业固定成本占总成本的比例。上市公司的经营杠杆比率越高，即固定成本占总成本的比例越高，息税前净收益(EBIT)的波动就越大，β值就越高。
财务杠杆比率较高的上市公司其债务利息支出的增加将导致净收益波动性增大，即在经济繁荣时期收入增长幅度较大，而在经济萧条时期收益下降幅度也较大。则有：βL=βU[1+(1-t)(D/E)](18)
其中：βL=考虑公司债务后的β值
βU=公司无负债时的β值
t=公司税率；
D/E=公司付息债务资本市场价值/权益资本市场价值
公司无负债的β由公司所处的行业和公司的经营杠杆比率决定。美国BARRA咨询公司最新发布的β基本值由58个变量决定。这些变量被分成13组，BARRA公司称这些组为风险指数组（Risk indices）。这些变量中有市场波动性、效果、规模、交易活动、成长性、收益价格比率、账面价值价格比率、收益偏差、财务杠杆、国外收入、劳动力密集程度、收益率和最低资本额等等。有证据表明，根据基本β值推算的未来β值的结果，优于仅根据历史β值对未来β值的估计结果。
人们期望使β的测算结果更准确一些，但正如夏普教授所说，根据不同信息提供者提供的信息、使用不同方法计算的同一股票的β系数并不相同，也是不足为奇的。这并不意味着这些不同的计算结果就是错误的。
三、β系数在非上市公司企业价值评估中的应用
β被广泛地应用于资产定价、股票风险判定、确定投资组合以及股票投资分析等各个方面。对于企业价值评估师而言，最感兴趣的是β值在企业价值评估中的应用。
通常，β值是由对上市公司股票的市场价格进行回归统计得到。因此，若将上市公司的β值用于对非上市企业的价值评估中，需要对上市公司的β值进行相应调整。
1、上市公司未来β值的计算
首先，应注意无论是按照式（11）回归得出的β值还是从数据公司获取的β值，通常都只是一个β的历史值，还应根据此值，按照经验公式
βt=34%K+66%βo (19)
计算未来的预计值。
式中：βt为调整后的β值；K是股票市场组合的平均风险因子，按CAMP的假设，K等于1；βo为所获得的历史β值。其调整的经济学含义是，从长远来看，个体股票的风险是向市场平均风险值回归的。
在选取所采用的历史β值时，还应使其时间段尽可能地与所评估企业所选用的其他参数一致或相近。β本身的回归时间段是不相同的，有100周、150周、60个月等等，分别代表了对不同回归时间段的风险估计，评估师若选用3年期的平均国债收益率作为折现率中的无风险报酬率，则应选用3年期的β值。
2、β的因素性调整
根据上述Damodaran教授提出的理论，行业或业务类型、经营杠杆与财务杠杆三个企业特性因素对β值有着决定性影响。因此在使用可比上市公司的β值计算非上市公司企业的β值时，需进行调整。其调整过程是，先对可比上市公司的β值进行统计，取其平均值；然后将其可能包括经营杠杆，财务杠杆因素的平均β值调整成无杠杆因素的β值，最后根据所评估企业所在行业或业务与经营杠杆财务杠杆的因素，将此无杠杆的β调整为所评估企业β值。
（1）行业类型的调整
典型的例子如IT公司与基础性产业的风险是不同的，需要进行调整。在所评估企业只有单一业务的情况下，应选择相同业务类型的上市公司的β值作为所评估企业β值的计算依据。对于包含多种经营业务的企业，可以选择包含类似多种经营业务上市公司的β值作为计算依据；或是将所评估企业不同类型的经营业务分开，按其不同业务的权重，对可比上市公司的β值数据进行加权处理。
（2）经营杠杆的调整
Damodaran教授的得出以下的研究结果
βb=βu/[1+(固定成本/可变成本)]（20）
在上式中，固定成本/可变成本的比值越大，包含经营杠杆因素的βb就越小。这可以解释为什么以石油为主要原料的化工企业受可变成本原油价格的影响而收益波动大的原因。相反，上游的石油开采业因具备较大的固定成本/可变成本比而经营风险小。但企业的固定成本与可变成本的数据较难取得，导致上式的可操作性不强。一个可替代的方式是以营业利润变动率与销售收入变动率之间的比值作为经营杠杆，这与采用固定成本/可变成本比进行调整近似。
（3）财务杠杆的调整
企业的资本债务结构被认为是影响β的最主要因素之一。因此，必须按照所评估企业的资本债务结构，对所选用的可比上市公司β进行调整，即通过式（19）的类似方法进行调整 βe=βA[1+(1-t)(D/E)](18)
式中：βe：所评估企业含财务杠杆因素的β（权益β值）；
βA：可比上市公司的无财务杠杆因素的β（资产β）；
t：所评估企业适用的所得税税率；
D：所评估企业债务资本的市场价值；
E：所评估企业权益资本的市场价值。
根据式（19）得到的β值是企业总资本中存在债务资本权益（股权）β值。利用式（18），可得出无财务杠杆的因素β值，即βA。最后，将βA和所评估企业的资本债务结构数据代入式（21），即可得到所评估值企业权益βe值。
从式（21）可知，负债率高的企业比负债率低的企业风险大，而对内在价值高于账面价值的企业，权益资本的“增值”较大，这就会降低其权益β值，即风险降低。
在式（21）中，较困难的是杠杆比率D/E的确定。由于财务杠杆比率要求D/E应该是市场价值而非账面价值。而权益资本E往往正是需要根据其β值求取的未知量。
鉴于这一原因，我们认为在无法获取所评估企业负债权益比的情况下，不进行这一调整，也许是较为明智的。这一省略的调整在β值计算中所产生的误差，在进行与企业个性风险有关的调整中可以部分地得到抵消。
参考文献：
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一、β的定义
β作为描述股票收益水平相对股票市场平均收益水平变动的敏感性因子，有其严格的定义。夏普教授根据投资组合理论以及CAPM模型的假设，通过均值方差坐标平面，将投资股票的收益（以收益率表示）与风险（以收益率的方差表示）之间的关系表示成：
E（ri）= rf + Cov(ri,rM)/σM2[E（rM）- rf] （1）
式中，E（ri）和E（rM）分别为股票i和市场组合M的期望收益；Cov(ri, rM)为股票i和市场组合M期望收益的协方差；σM2为市场组合M期望收益的方差。令
βi = Cov(ri, rM)/σM2（2）
则有
E（ri） = rf+βi [E（rM）- rf] （3）
式（3）被称为证券市场线方程，即资本资产定价模型CAPM，它对任意股票或其组合的期望收益与风险之间的关系给出了一种简洁的结论。即：任意股票或其组合的期望收益由两部分构成：其一由投资无风险报酬率rf确定，它是对放弃即期消费而进行投资的一种补偿；其二由投资的风险报酬率βi [E（rM）- rf]确定，它是对投资需承担某种不确定性风险的一种补偿。
而股票市场中的风险是由两部分构成，一部分是只与公司股票自身性质有关的特有风险，也称为非系统性风险；另一部分是公司与整个市场因素有关的市场风险，也称为系统性风险。非系统性风险在构造股票的投资组合时可以被分散，而市场的系统性风险则不能通过投资组合被分散掉。式（2）即为β的数学定义，由股票i的收益率和市场组合M的收益率的协方差与市场组合M收益率的方差的比值表示，用以度量股票所承担的市场（系统）风险大小。因此，β也被称为股票的市场风险指数。
若投资者认为股票已实现的历史收益能较好地代表其未来，则可以应用统计回归技术，对直接观察到的、已实现的历史收益数据，通过单因素线性方程拟合后来表达股票持有期收益，同样也可以得到一个β值的表达式。
现在我们再来研究另一个股票收益模型。在这一模型中，以E（ri）表示股票持有期的期望收益； 以Hi表示假定在股票持有期间不可预测的宏观（或市场）因素对股票收益的影响，以ei表示假定在股票持有期间不可预测的公司特有因素对股票收益的影响。该股票收益ri的方程为：
ri = E（ri）+Hi + ei（4）
考虑到发行不同类型股票的企业对宏观市场因素有不同的敏感度，可将宏观市场因素对股票不可预测的影响记为M，将股票i对宏观因素事件的敏感度记为βi，则股票i所受宏观因素的影响Hi可表示为Hi =βiM，即式（4）变为：
ri = E（ri）+βiM + ei （5）
注意，由于所设定Hi和ei都属于不可预测因素对股票收益的影响，根据统计学理论中不可预测因素期望值的定义，其期望值（平均值）为零。式（5）表明股票i的持有期收益的期望值仅随宏观市场事件的一个因素βiM的变动而变化。因此，该期望值等式也被称为单因素模型（single-factor model）。
倘若我们把股票市场的某种价格指数、如上证综合指数或深证综合指数的收益作为宏观市场因素事件的代表，则可导出股票收益期望值的市场模型（market model），称为单指数模型（single-index model）。
已实现的股票收益可以划分成宏观（股票市场系统的）的与微观（上市公司所特有）的两部分。即有
ri -rf =αi +βi(rM -rf) + ei（6）
式中：
αi 表示当市场超额收益(rM-rf)为零时股票i的收益，即股票i的不规则收益率的平均值。在均值方差坐标平面中，α即是单指数方程（式6）的截距。
βi(rM-rf) 表示股票i收益中随整个市场变动的收益部分，其中βi是股票i对市场变动的敏感度。在均值方差坐标平面中，β即是单指数方程（式6）的斜率。
ei表示上市公司所特有的不可预期收益。
当使用R表示超额收益时，式（6）变为
Ri=αi +βiRM + ei（7）
可以把股票收益的方差拆分成由宏观经济因素的不确定性方差，与上市公司特有因素的不确定性方差两个部分，将市场超额收益rM-rf的方差记为σM2，将ei的方差记为σ2（ei），则由于协方差Cov(RM，ei) = 0。则股票i超额收益rM-rf的方差为
σi2 =β2iσM2 +σ2（ei）（8）
同理，某两种股票超额收益Ri和Ri的协方差，仅与宏观经济因素RM有关，即某两个股票的协方差为
Cov(Ri,Rj) = Cov(βiRM，βjRM) =βiβjσM2 （9）
鉴于RM和ei的协方差等于零，并注意到αi是一个趋于零（但不一定等于零）的常数，其与所有变量的协方差也均等于零。则可导出股票i的超额收益与股票市场价格指数收益的协方差为：
Cov(Ri,RM)=Cov(βiRM+ ei，RM)=βi Cov(Ri,RM)+ Cov(ei ,RM)=βiσM2（10）
即βi=Cov(Ri,RM)/σM2。
二、β的确定
β是CAPM模型中的一个重要参数，是对股票市场系统风险度量的一个关键因子。在评价风险、资产定价以及对股票投资组合进行分析中，β的确定十分重要。
1、β确定所采用的模型
CAPM模型能根据股票价格得出股票的“期望收益”。鉴于实际中可以获取股票已实现的收益， 因此可以通过CAPM模型，根据股票已实现收益进行股票定价和企业价值评估。
由于式（7）是一个标准的单指数线性方程，其收益R可利用一定样本区间的观察值进行简单的统计回归得到，因此我们可使用直接观察到的已实现的历史收益数据，用最小二乘法得到股票的历史β值，即
β0 =（ΣRiRM-1/nΣRiΣRM）/（ΣR2i -1/n[ΣRi]2） （11）
在β值计算中，资本市场发达的国家的咨询机构多使用总收益形式的单指数方程进行回归，即：
r =α +βiRM + e (12）
式（12）可替换为：
r-rf=α+β（rM-rf）+ e （13）
将式（13）展开，可以说明总收益与超额收益对β值确定时的影响。
展开式（13）：
r = rf+α+βrM-βrf+ e = α+ rf（1-β）+βrM + e（14）
比较计算总收益的式（12）和计算超额收益的式（14），可以发现，对于一个具体的股票样本，rf是一个常数，而这两个方程rM和e值是相同的。因此，两个回归方程中无论是采取总收益的形式、还是采取超额收益的形式，对β值都不会产生实质性的影响。而使用总收益形式的模型可以忽略股票收益的红利，这可以大大简化统计方程的数据采集和计算的工作量。但应注意的是，式（12）中的α值只是在按周或月为基准的rf（1-β）值较小时，可近似等于超额收益的式（14）中α+ rf（1-β）值。当β≠1时，式（12）中的回归截距（α）不等于式（14）中的α。
rf虽然也在随时间变化，但rf的方差与市场收益的变动相比是十分微小，也即短期国债利率的实际变动对β的估计值影响极微小。如美国证券市场在通过计算总收益的方程确定β时，短期国债收益率仅占总收益的约0.2 %，所以采用总收益方程与超额收益方程确定β时，此变动完全可以忽略。
在计算历史β值时，市场组合的代替品通常是某股票市场的价格指数。计算时是式(7)的一种新的形式：
Rit= αi+βitRMT+εit （15）
式中：
Rit = 股票i在t期间的收益率；
RMT = 股票市场组合在t期间的收益率；
αi = 股票i的不规则收益率（不受市场影响的收益部分）；
βi = 股票i对市场组合收益率变化的敏感因子（市场风险系数）；
εit = 零均值随机误差项。
式（15）被称为单指数的市场模型，即证券市场线（Security market line）特征方程。使用式（15）可以获得历史β值、α值、相关系数、决定系数、特性系数、残值标准差、β标准差、α标准差、收益率以及收益率标准差等多个统计值。
包含G项股票的投资组合的βp，仅是投资组合中各股票βi值的加权平均，其中的权重就是该单个股票市场价值占投资组合总市场价值的百分比。即
βp = Σwiβi （16）
例如，某投资组合的30%是代码为600009股票，β= 0.57；70%是代码为6000641股票，β=1.11时，其历史β值就等于：
30%(0.57)+70%(1.11) = 0.95
2、β值的稳定性问题
鉴于股票的收益率是随市场变化而变化的，因此在对股票的历史收益数据进行回归拟合时，遇到的最棘手问题是如何保证β值的稳定性。影响β值不稳定的时间误差，除了股票收益持有期的时间即统计回归期的区间长度之外，还包括股票收益数据的时间间隔（如每日、每月还是每季）。如根据某一股票过去5年的每月收益率拟合回归方程，则可以采用关于市场指数和单只股票收益率各60个观察值。如根据过去三年的每周收益率拟合回归方程，则可以采用相应的156个观察值。如根据过去一年的每日收益率数据拟合回归方程，得则可以采用240个交易日的观察值。按照统计学原理，观察值越多、得到的结果越可靠。但确定β值时，还必须充分揭示股票“即期”风险，即不应使得出的方程曲线“平滑”了风险，或遗漏了风险。因此，在根据股票收益进行拟合回归方程时，必须考虑回归期限和数据的取样单元。
关于回归期限的长度，许多咨询分析机构，包括价值在线(Value Line)公司与标准普尔(Standard and Poor抯)公司，在确定β值时一般使用5年的历史数据，而Bloomberg公司使用2年的历史数据确定β值。回归期限越长，使用的数据越多，回归的结果应该说越稳定。但股票本身的风险特征可能会随回归期限的延迟推移而发生较大的改变。笔者认为， 3年的回归期限既可保持β值有一定的稳定性，又能较充分地揭示股票风险的敏感度。
至于回归方程所使用的数据单元，我们可以采用按月、周、日，甚至一天中的某一段时间为单元的收益数据。以日或更小的时间单位获取收益数据可以增加观察值的数量,但由于某些较短时间单位的股票交易量可能为零或交易价格并没有反映市场的主体行为，从而导致β值出现失真的情况。如在使用每天收益率来计算某一小型上市公司的β值时，可能会因其股票在某些天内无任何交易而使得出的β值偏低。又如某一股票在某一天的价格下降不是由市场因素导致的，而是因上市公司的特殊原因所导致的（如分红派息等），这些情况也都可能使使用每天收益率计算某上市公司得出的β值失真。而以周或月作为时间单位进行计算，则能减少这些因素导致的误差。
研究表明，随统计时间期限的延长，各单个股票的β值都表现出相当明显的不稳定性，而某一股票组合（如某行业的股票组合）的β值则相对较为稳定。
β值不稳定性的另一个重要原因是β涵盖了多个宏观经济因素或微观因素所导致的风险，β作为单一的风险量度出现不稳定的可能太大了。如石油价格是系统风险的一个宏观因素。当石油价格水平变化时，对石油价格敏感的股票都会有所反应。因此，如果要使β值对于预测有真正意义的话，就应不断对β计值进行适时的调整更新。
β值与股票所在的市场有很大关系。因此，当计算在上海证交所上市的股票β值时，应选用上证所的价格指数；计算在深圳证交所上市的股票时，则应选用深圳证交所的价格指数。当成份指数不能较好地代表市场状况时，应选用综合指数。
3、对历史β值的调整
由回归分析得到的β值是否应该加以调整，以消除回归中可能产生的误差呢？一些权威股票分析机构公布的β值，大多采用一种β估计值的标准差，将某一股票β值向整体市场β值调整（整体市场的β值一般假设等于1）。 Marshall Blume的研究发现，随着时间的推移，风险资产投资组合的β值趋于向市场平均值，即β趋于1.0。其经济学解释是一家上市公司的风险将逐渐趋于所有上市公司的平均风险。他得出的结论是，股票i的β预测值若经过以下调整后更为合理和准确：
β2i = a+bβ1i （17）
其中β2i和β1i是时间间隔为若干年的两个β值，而通过回归分析可计算出参数a和b。
美国提供β计算值的两家主要公司Merill Lynch和Value line都使用这一方法计算未来的β值。
在这一种调整中，β值的标准差越大，调整的幅度就越大。这种调整对于采用每天收益率数据计算β值时，效果最为明显，收益率数据时间单位的加长，将使调整效果减弱。
最近的一项研究表明，β的可预测程度与投资时间的长度（持有期）成反比，而与投资组合的规模成正比，但其结果都需要进行一定的调整。
4、关于基本β值
β是夏普教授市场模型的斜率，其含义是“一个证券的回报率相对市场指数回报率的敏感性”。在多因素模型里，则有多个β，它们同样反映的是对不同因素的敏感性。在夏普看来，β是一个统计结果，它为CAMP提供了一个很好的参数。
以后有许多研究人员对决定β的因素进行了更深入的研究，研究了β与上市公司基本财务因素之间的关系，这些财务因素有红利支付率、资产增长率等等。
美国纽约大学教授Damodaran则提出β是由上市公司所处的行业、经营杠杆比率和财务杠杆比率三个因素决定的。
如在周期性较强的行业，上市公司的β就较高。当一家上市公司的经营领域涉及多个行业，那么，其β系数应该是其所处不同行业β值的加权平均值，其权重以上市公司在各行业业绩的市场价值进行衡量。
经营杠杆比率通常定义为企业固定成本占总成本的比例。上市公司的经营杠杆比率越高，即固定成本占总成本的比例越高，息税前净收益(EBIT)的波动就越大，β值就越高。
财务杠杆比率较高的上市公司其债务利息支出的增加将导致净收益波动性增大，即在经济繁荣时期收入增长幅度较大，而在经济萧条时期收益下降幅度也较大。则有：βL=βU[1+(1-t)(D/E)](18)
其中：βL=考虑公司债务后的β值
βU=公司无负债时的β值
t=公司税率；
D/E=公司付息债务资本市场价值/权益资本市场价值
公司无负债的β由公司所处的行业和公司的经营杠杆比率决定。美国BARRA咨询公司最新发布的β基本值由58个变量决定。这些变量被分成13组，BARRA公司称这些组为风险指数组（Risk indices）。这些变量中有市场波动性、效果、规模、交易活动、成长性、收益价格比率、账面价值价格比率、收益偏差、财务杠杆、国外收入、劳动力密集程度、收益率和最低资本额等等。有证据表明，根据基本β值推算的未来β值的结果，优于仅根据历史β值对未来β值的估计结果。
人们期望使β的测算结果更准确一些，但正如夏普教授所说，根据不同信息提供者提供的信息、使用不同方法计算的同一股票的β系数并不相同，也是不足为奇的。这并不意味着这些不同的计算结果就是错误的。
三、β系数在非上市公司企业价值评估中的应用
β被广泛地应用于资产定价、股票风险判定、确定投资组合以及股票投资分析等各个方面。对于企业价值评估师而言，最感兴趣的是β值在企业价值评估中的应用。
通常，β值是由对上市公司股票的市场价格进行回归统计得到。因此，若将上市公司的β值用于对非上市企业的价值评估中，需要对上市公司的β值进行相应调整。
1、上市公司未来β值的计算
首先，应注意无论是按照式（11）回归得出的β值还是从数据公司获取的β值，通常都只是一个β的历史值，还应根据此值，按照经验公式
βt=34%K+66%βo (19)
计算未来的预计值。
式中：βt为调整后的β值；K是股票市场组合的平均风险因子，按CAMP的假设，K等于1；βo为所获得的历史β值。其调整的经济学含义是，从长远来看，个体股票的风险是向市场平均风险值回归的。
在选取所采用的历史β值时，还应使其时间段尽可能地与所评估企业所选用的其他参数一致或相近。β本身的回归时间段是不相同的，有100周、150周、60个月等等，分别代表了对不同回归时间段的风险估计，评估师若选用3年期的平均国债收益率作为折现率中的无风险报酬率，则应选用3年期的β值。
2、β的因素性调整
根据上述Damodaran教授提出的理论，行业或业务类型、经营杠杆与财务杠杆三个企业特性因素对β值有着决定性影响。因此在使用可比上市公司的β值计算非上市公司企业的β值时，需进行调整。其调整过程是，先对可比上市公司的β值进行统计，取其平均值；然后将其可能包括经营杠杆，财务杠杆因素的平均β值调整成无杠杆因素的β值，最后根据所评估企业所在行业或业务与经营杠杆财务杠杆的因素，将此无杠杆的β调整为所评估企业β值。
（1）行业类型的调整
典型的例子如IT公司与基础性产业的风险是不同的，需要进行调整。在所评估企业只有单一业务的情况下，应选择相同业务类型的上市公司的β值作为所评估企业β值的计算依据。对于包含多种经营业务的企业，可以选择包含类似多种经营业务上市公司的β值作为计算依据；或是将所评估企业不同类型的经营业务分开，按其不同业务的权重，对可比上市公司的β值数据进行加权处理。
（2）经营杠杆的调整
Damodaran教授的得出以下的研究结果
βb=βu/[1+(固定成本/可变成本)]（20）
在上式中，固定成本/可变成本的比值越大，包含经营杠杆因素的βb就越小。这可以解释为什么以石油为主要原料的化工企业受可变成本原油价格的影响而收益波动大的原因。相反，上游的石油开采业因具备较大的固定成本/可变成本比而经营风险小。但企业的固定成本与可变成本的数据较难取得，导致上式的可操作性不强。一个可替代的方式是以营业利润变动率与销售收入变动率之间的比值作为经营杠杆，这与采用固定成本/可变成本比进行调整近似。
（3）财务杠杆的调整
企业的资本债务结构被认为是影响β的最主要因素之一。因此，必须按照所评估企业的资本债务结构，对所选用的可比上市公司β进行调整，即通过式（19）的类似方法进行调整 βe=βA[1+(1-t)(D/E)](18)
式中：βe：所评估企业含财务杠杆因素的β（权益β值）；
βA：可比上市公司的无财务杠杆因素的β（资产β）；
t：所评估企业适用的所得税税率；
D：所评估企业债务资本的市场价值；
E：所评估企业权益资本的市场价值。
根据式（19）得到的β值是企业总资本中存在债务资本权益（股权）β值。利用式（18），可得出无财务杠杆的因素β值，即βA。最后，将βA和所评估企业的资本债务结构数据代入式（21），即可得到所评估值企业权益βe值。
从式（21）可知，负债率高的企业比负债率低的企业风险大，而对内在价值高于账面价值的企业，权益资本的“增值”较大，这就会降低其权益β值，即风险降低。
在式（21）中，较困难的是杠杆比率D/E的确定。由于财务杠杆比率要求D/E应该是市场价值而非账面价值。而权益资本E往往正是需要根据其β值求取的未知量。
鉴于这一原因，我们认为在无法获取所评估企业负债权益比的情况下，不进行这一调整，也许是较为明智的。这一省略的调整在β值计算中所产生的误差，在进行与企业个性风险有关的调整中可以部分地得到抵消。
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注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。