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摘 要：本文介绍了数据压缩在图像传输中的重要性，讨论了数字图像压缩的原理及方法，分别采用离散余弦变换、小波变换、小波包变换3种方法， 对简单的TIRE（512×512）图片进行处理，来研究它们用于数字图像压缩的性能，并做了详细的比较，分析了导致它们性能差异的原因。
关键词：图像压缩；离散余弦变换；小波变换；小波包变换；MATLAB
1 引言
小波分析诞生于20世纪80年代，被认为是调和分析即现代Fourier 分析发展的一个崭新阶段。小波分析是时间和频率的局域变换，它具有多分辨率分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，能更加有效地提取信号和分析局部信号。目前，它在模式识别、图像处理、语音处理等方面都有着广泛的研究，而图像处理就是小波分析应用最广泛和最成熟的领域。由于小波技术可以将信号或图像分层，按小波基展开，可以根据图像信号的性质和事先给定的处理要求确定要展开到哪一级为止，还可以把细节变量和近似变量分开，所以小波分析可以用于图像压缩，去噪等方面。
2 图像压缩的几种方法
图像之所以能够压缩，是因为存在大量的冗余信息。图像压缩方法在注重高压缩比的同时还要关心压缩后的图像要有适当的信噪比，在压缩传输后还要恢复原信号，并且在压缩、传输、恢复的过程中，还要求图像的失真度，以便于图像的分类、识别。本文主要研究了三种利用小波变换的图像压缩方法，针对这三种变换的原理进行讨论，并利用数值实验比较三种变换的压缩效果，分析其优劣。
2.1 DCT变换方法
傅立叶变换把时（空）域的信号变换到频域中，信号的能量按频谱从低到高的顺序重新排列。因为自然图像的主要能量主要集中在低频部分，而在高频部分有很多小系数。DCT变换以离散傅立叶变换为基础，只不过变换基函数为余弦函数，因此变换后的值仍然在实数域内。图像被分成8×8的子块，分别对每个子块做DCT变换，得到频域系数，再利用人眼对不同频率的敏感度程度不同，做加权量化来增大压缩比。
离散余弦变换的实现有两种方法：（1）基于FFT的快速算法，工具箱中的dct2函数实现了这种算法。（2）基于DCT变换矩阵的算法，工具箱提供了dctmtx函数来计算变换矩阵。
用DCT压縮的过程为：（1）首先将输入图像分解为8×8，16×16的块，然后对每个子块进行二维DCT变换。（2）将变换后得到的量化的DCT系数进行编码和传送，形成压缩后的图像格式。
2.2 小波变换方法
小波变换用于图像压缩的基本思想就是把图像进行多分辨率分解，分解成不同空间、不同频率的子图像，然后再对子图像进行系数编码。系数编码是小波变换用于压缩的核心，压缩的实质是对系数的量化压缩。
小波变换进行图像压缩的基本原理是：一幅图像经过二维小波变换后，可得到一系列不同分辨率的图像，不同分辨率的子图像对应的频率是不同的。低频部分包含了图像最主要的部分，若去掉图像的高频部分而只保留图像的低频部分，就可达到图像压缩的目的。本文方案为：将图像利用小波变换进行多级分解后，保留低频系数不变，然后选择一个全局域值，应用于各级高频系数；或同一级高频系数用同一个域值，而不同级选用不同的域值。将绝对值小于域值的小波系数全置为0，保存其余的小波系数以达到数据压缩的效果。图像重构可以通过对剩余的非零系数进行逆小波变换实现。
2.3 小波包变换压缩
小波包分析能够为信号提供一种更加精细的分析方法，它将频带进行多层次划分，对多分辨分析没有细分的高频部分进一步分解，并能够根据被分析信号的特征，自适应地选择相应频带，使之与信号频谱相匹配，从而提高了时-频分辨率。
在小波包框架中，其压缩的算法思想与在小波框架中的基本一样，唯一不同的是小波包分析提供了一种更为复杂，同时也更为灵活的分析手段，因为小波包分析对上一层的低频部分和高频部分同时进行细分，具有更为精确的局部分析能力。
对图像进行小波包进行压缩的基本步骤如下：（1）图像的小波包分解。选择一个小波并确定一个小波分解的层次N，然后对信号s进行N层小波包分解。（2）确定最优小波包基。（3）小波包分解系数的阈值量化。对于每一个小波包分解系数，选择一个适当的阈值并对系数进行阈值量化。（4）小波包重构。根据N层的小波包分解系数和经过量化处理系数，进行小波包重构。
3 实验结果
本文分别采用了DCT变换，小波变换，小波包变换三种方法对同一图像（tire）进行压缩，并利用MATLAB中的小波工具箱的相关调用函数等进行编程，得到结果如下：
4 结论
我们发现，用肉眼观察并没有发现这三种方法压缩效果有什么明显的不同，但是经过分析我们可知：变换域编码方法与变换前相比，其能量更加集中。DCT使实际信号的能量主要集中在低频段，现在的JPEG方法就是采用离散余弦变换，我们知道它有一个严重的缺陷，在数码率很低时要产生令人眼无法忍受的方块效应。小波变换方法代替DCT并合理的利用其变换系数的分布特点，可克服JPEG方法产生的方块效应，获得较好的压缩效果。而小波分析中的小波图像压缩和小波包图像压缩，由本文实验可知小波包图像压缩后的图像能量集中性比小波压缩要稍微好些。
参考文献
[1]孙延奎.小波分析及其应用[M].北京：机械出版社，2005.
[2]张旭东，卢国栋，冯健.图像编码基础和小波压缩技术[M].北京：清华大学出版社，2004.
[3]彭玉华.小波变换与工程应用[M].北京：科学出版社，1999.
[4]廖剑利等.基于小波的图像压缩处理分析[D].湖南大学.北京：中国期刊网，2004.3.
[5]宋建社.小波分析及其应用例选[M].北京：现代出版社，1998.
关键词：图像压缩；离散余弦变换；小波变换；小波包变换；MATLAB
1 引言
小波分析诞生于20世纪80年代，被认为是调和分析即现代Fourier 分析发展的一个崭新阶段。小波分析是时间和频率的局域变换，它具有多分辨率分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，能更加有效地提取信号和分析局部信号。目前，它在模式识别、图像处理、语音处理等方面都有着广泛的研究，而图像处理就是小波分析应用最广泛和最成熟的领域。由于小波技术可以将信号或图像分层，按小波基展开，可以根据图像信号的性质和事先给定的处理要求确定要展开到哪一级为止，还可以把细节变量和近似变量分开，所以小波分析可以用于图像压缩，去噪等方面。
2 图像压缩的几种方法
图像之所以能够压缩，是因为存在大量的冗余信息。图像压缩方法在注重高压缩比的同时还要关心压缩后的图像要有适当的信噪比，在压缩传输后还要恢复原信号，并且在压缩、传输、恢复的过程中，还要求图像的失真度，以便于图像的分类、识别。本文主要研究了三种利用小波变换的图像压缩方法，针对这三种变换的原理进行讨论，并利用数值实验比较三种变换的压缩效果，分析其优劣。
2.1 DCT变换方法
傅立叶变换把时（空）域的信号变换到频域中，信号的能量按频谱从低到高的顺序重新排列。因为自然图像的主要能量主要集中在低频部分，而在高频部分有很多小系数。DCT变换以离散傅立叶变换为基础，只不过变换基函数为余弦函数，因此变换后的值仍然在实数域内。图像被分成8×8的子块，分别对每个子块做DCT变换，得到频域系数，再利用人眼对不同频率的敏感度程度不同，做加权量化来增大压缩比。
离散余弦变换的实现有两种方法：（1）基于FFT的快速算法，工具箱中的dct2函数实现了这种算法。（2）基于DCT变换矩阵的算法，工具箱提供了dctmtx函数来计算变换矩阵。
用DCT压縮的过程为：（1）首先将输入图像分解为8×8，16×16的块，然后对每个子块进行二维DCT变换。（2）将变换后得到的量化的DCT系数进行编码和传送，形成压缩后的图像格式。
2.2 小波变换方法
小波变换用于图像压缩的基本思想就是把图像进行多分辨率分解，分解成不同空间、不同频率的子图像，然后再对子图像进行系数编码。系数编码是小波变换用于压缩的核心，压缩的实质是对系数的量化压缩。
小波变换进行图像压缩的基本原理是：一幅图像经过二维小波变换后，可得到一系列不同分辨率的图像，不同分辨率的子图像对应的频率是不同的。低频部分包含了图像最主要的部分，若去掉图像的高频部分而只保留图像的低频部分，就可达到图像压缩的目的。本文方案为：将图像利用小波变换进行多级分解后，保留低频系数不变，然后选择一个全局域值，应用于各级高频系数；或同一级高频系数用同一个域值，而不同级选用不同的域值。将绝对值小于域值的小波系数全置为0，保存其余的小波系数以达到数据压缩的效果。图像重构可以通过对剩余的非零系数进行逆小波变换实现。
2.3 小波包变换压缩
小波包分析能够为信号提供一种更加精细的分析方法，它将频带进行多层次划分，对多分辨分析没有细分的高频部分进一步分解，并能够根据被分析信号的特征，自适应地选择相应频带，使之与信号频谱相匹配，从而提高了时-频分辨率。
在小波包框架中，其压缩的算法思想与在小波框架中的基本一样，唯一不同的是小波包分析提供了一种更为复杂，同时也更为灵活的分析手段，因为小波包分析对上一层的低频部分和高频部分同时进行细分，具有更为精确的局部分析能力。
对图像进行小波包进行压缩的基本步骤如下：（1）图像的小波包分解。选择一个小波并确定一个小波分解的层次N，然后对信号s进行N层小波包分解。（2）确定最优小波包基。（3）小波包分解系数的阈值量化。对于每一个小波包分解系数，选择一个适当的阈值并对系数进行阈值量化。（4）小波包重构。根据N层的小波包分解系数和经过量化处理系数，进行小波包重构。
3 实验结果
本文分别采用了DCT变换，小波变换，小波包变换三种方法对同一图像（tire）进行压缩，并利用MATLAB中的小波工具箱的相关调用函数等进行编程，得到结果如下：
4 结论
我们发现，用肉眼观察并没有发现这三种方法压缩效果有什么明显的不同，但是经过分析我们可知：变换域编码方法与变换前相比，其能量更加集中。DCT使实际信号的能量主要集中在低频段，现在的JPEG方法就是采用离散余弦变换，我们知道它有一个严重的缺陷，在数码率很低时要产生令人眼无法忍受的方块效应。小波变换方法代替DCT并合理的利用其变换系数的分布特点，可克服JPEG方法产生的方块效应，获得较好的压缩效果。而小波分析中的小波图像压缩和小波包图像压缩，由本文实验可知小波包图像压缩后的图像能量集中性比小波压缩要稍微好些。
参考文献
[1]孙延奎.小波分析及其应用[M].北京：机械出版社，2005.
[2]张旭东，卢国栋，冯健.图像编码基础和小波压缩技术[M].北京：清华大学出版社，2004.
[3]彭玉华.小波变换与工程应用[M].北京：科学出版社，1999.
[4]廖剑利等.基于小波的图像压缩处理分析[D].湖南大学.北京：中国期刊网，2004.3.
[5]宋建社.小波分析及其应用例选[M].北京：现代出版社，1998.