论文部分内容阅读
生产与生活中充满着数学应用，其中就有不少是数列问题，如树枝的分杈规律、兔子的繁殖问题、梯子横档的长度关系、货款购物、生产增长率、浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等等。本文以时下的社会热点问题，略举数例来看数列在生产与生活中的应用。
一、 历史名题问题
【背景材料】 1. 19世纪法国数学家刘卡在一次国际会议中提出这样的一个问题：每天中午，某航运公司有一只轮船（记为L）从巴黎的外港——赛纳河口的勒阿佛尔开往纽约，在每天的同一时间也有该公司的一只轮船从纽约开往勒阿佛尔。轮船在横渡大西洋途中所花的时间正好是七天七夜，并且假设在全部的航程中都是匀速行驶的。轮船在大西洋上按照一定航线航行，在近距离内可以看见彼此。问今天中午从勒阿佛尔开出去的L，到达纽约时，将会遇到多少只同一公司的轮船从对面开来？
2. 我国的《孙子算经》中有这样的问题：“出门望九堤”：今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何？
【命题分析】 对于学生来说，这些普通的问题，因为有历史背景而有名、有趣，能展现数学的文化价值。这些历史名题的教学可以使枯燥乏味解题的过程变得富有趣味和探索意义，近年各地模拟和各版本教材中出现了不少以数列为背景的数学历史名题。
【试题设计】 我国古代诗歌有这样的问题：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？
解析 设从塔顶到下每层分别有an盏灯，则由题意{an}是以a1为首项，2为公比的等比数列，且a1+a2+…+a7=381.由等比数列求和公式得：a1(1-27)1-2=381，解得a1=3，故塔顶有3盏灯.
二、 安居房建设问题
【背景材料】 李克强在河北考察保障房建设时指出，建设保障房有利于遏制房价过快上涨，助推城镇化，释放出巨大的消费和投资潜力，推动相关产业发展。扎实推进保障房建设，作为重大惠民工程，近年来，国家加大了保障房建设力度，2008年以来全国开工建设的保障房，现已竣工的有800万套，今年又开工1000万套，而“十二五”期间，更要建设3600万套保障房。
【命题分析】 民生问题一直是各级政府高度重视的问题之一，关于民生工程的许多热点话题成为各级各类考试和竞赛的重要题材，高考数学也不例外，以民生工程中的问题为背景的试题在各地屡见不鲜，值得关注。
【试题设计】 某城市2003年年底人口为500万，人均住房面积为20m2，如果该城市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为600万m2，求2012年年底该城市人均住房面积约为多少m2？（可能要用到的数据：1.018=1.0829，1.019=1.0937，1.0110=1.1046）
解析 2003年、2004年、……、2012年住房面积总数成等差数列，且a1= 20×500=10000万m2，d=600万m2，所以a10= 10000 + 9×600=15400；
2003年、2004年、……、2012年人口数成等比数列，且b1= 500，q=1.01%，所以b10=500×1.019≈500×1.0937≈546.8，∴2012年年底该城市人均住房面积为：15400546.8≈28.16m2.
答：2012年年底该城市人均住房面积约为28.16 m2.
点拨 本题的关键在于从实际问题中提炼出等差、等比数列，利用等差和等比数列的通项知识即可。
三、 分期付款问题
【背景材料】 据媒体报道，联通合约版iPhone 4S在中国上市日期为2011年12月15日，合约价格16GB版为6000元。无论是购买新合约还是换购，都可以使用信用卡办理12期分期付款，无手续费。
【命题分析】 如今贷款购物和购房已深入我们的生活，各种各样的分期付款让人眼花缭乱，同时各种理财产品也日趋增多，如教育储蓄、零存整取等。以此为背景可以命制和等比、等差有关的
求
数列通项与求和问题。
【试题设计】 小华准备采用分期付款方式购买其最爱的某款手机，已知其合约价格为6000元，使用信用卡在两年内可以分12期付款，从购买时到两个月后开始第一期付款，每期为2个月，银行利息约定为0.8%，每月利息按复利计算.求小明每期付款的金额是多少？
解析 假定小华每期还款x元，第k个月末还款后的本利欠款数为Ak元，则：
A2=6000×(1+0.008)2-x；
A4=A2×(1+0.008)2-x=6000×(1+0.008)4-1.0082x-x；
A6=A4×(1+0.008)2-x=6000×(1+0.008)6-1.0084x-1.0082x-x；
……
A24=6000×(1+0.008)24-(1.00822+1.00820+…+1.0082+1)x.
由题意，两年后还清，所以A24=0,解得：
x=6000×1.008241+1.0082+1.0084+…+1.00822=6000×1.00824
1-1.008241-1.0082=6 000×（1-1.0082）×1.008241.00824-1≈553.7（元）.
答：小明每次付款的金额为553.7元.
点拨 分期付款问题的实质是等比数列求和问题，即每月付款的本利和到最后一次还清时与所贷的款的本利和相等。
四、 广告效益问题
【背景材料】 据报导，2011年11月8日上午8点零8分，中央电视台2012年黄金资源广告招标竞购大会正式开幕。竞标高潮出现在17时40分，手持989号的茅台集团，疯狂揽走第一、第二、第三、第五时段的新闻联播报时组合的广告，分别祭出1.35亿元、1.02亿元、0.85亿元、1.21亿元，半个小时共花出去4.43亿元，成为2012年度央视的新标王。
【命题分析】 广告投入与产出是一个常见的数学模型，一方面巨大的广告投入会换来巨大的经济效益，另一方面，如果广告投入过大，必将影响企业的长远发展与创新，所以制定适合的广告投放标准，需要用数学头脑进行决策。近年来，以此为背景命制的函数或者数列应用题一直处于较热门状态。
【试题设计】 一企业生产的某产品在不做电视广告的前提下，每天销售量为b件.经市场调查后得到如下规律：若对产品在某电视剧中插播广告进行宣传，每天销售量S(件)与插播广告次数n的函数关系可用如图所示的流程图来体现.
（1） 试写出该产品每天的销售量S（件）关于插播广告次数n的函数关系；
（2） 要使该产品每天的销售量比不插播广告时的销售量至少增加90%，则每天需要插播至少多少次？
解析 （1） 设插播广告次数为每天i次时，该产品的销售为Si(i=0,1,…,n)，由题意，Si=b，i=0,Si-1+b2i，1≤i≤n,i∈N*.
于是当i=n时，Sn=b+b2+b22+…+b2n=b2-12n（n∈N*）.
所以该产品每天的销售量S（件）关于插播广告次数n的函数关系是Sn=b2-12n（n∈N*）.
（2） 由题意，有b2-12n≥1.9b，即2n≥10，解得n≥4（n∈N*）.所以要使该产品每天的销售量比不插播广告时的销售量至少增加90%，则每天需要插播至少4次.
点拨 本题的关键是读懂流程图，弄清流程图中的S就是数列中的Sn，利用等比数列求和知识，即可解决。
牛刀小试
1. 《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus)曾记载下面的数学问题，请解决：
把100个面包分给5个人,使每人所得成等差数列,且使最大的三份之和的17是较小的两份之和,问最小一份的量为多少？
2. 从多个地方抽调了一批型号相同的联合收割机，收割一片小麦．若这些收割机同时到达，则24小时可收割完毕，但它们由于距离不同，是每隔一段相同的时间顺序投入工作的，如果第一台收割机总工作时间恰好是最后一台总工作时间的5倍，问以这种收割方式收割机在这片麦地上工作了多长时间？
3. 某林场去年年底森林中木材存量为3 300万立方米，从今年起每年以25%的增长率生长，同时每年冬季要砍伐的木材量为b，为了实现经过20年达到木材存量至少翻两番的目标，每年冬季木材的砍伐量不能超过多少？(取lg 2＝0.3)
4. 由于利比亚战争的影响，据估计，利比亚将产生60～100万难民，联合国难民计划署计划从6月1日起为利难民运送食品，第一天运送1000吨，第二天运送1100吨，以后每天都比前一天多运送100吨，直到每日运送能够达到的最大量，然后再每天递减100吨，连续运送15天，总共运送21300吨，求在第几天达到每日运送食品的最大量.
【参考答案】
1. 用数学语言来表达，即：设a1，a2，a3，a4，a5成递增的等差数列，S5=100且17（a3+a4+a5）=a1+a2，求a1．由此可解得：a1=53.
2. 设这n台收割机的工作时间依次为a1，a2，…，an小时，依题意a1，a2，…，an组成一个等差数列，又每台收割机每小时的工作效率为124n，则有：
a1=5an，
a124n+a224n+…+an24n=1.
①②
由②得n(a1+an)2×24n＝1，即a1＋an＝48.③联立①、③解得a1＝40(小时)．
所以用这种收割方式在这片麦地上工作了40小时．
3. 设a1，a2，…，a20表示今年开始的各年木材存量，且a0＝3 300，则an＝an-1(1＋25%)-b.∴an＝54an-1-b，an-4b＝54(an-1-4b)，即数列{an-4b}是等比数列，公比q＝54.∴a20-4b＝(a0-4b)•
5420.令t＝5420，则lgt＝
20lg54＝20(1-3×0.3)＝2.∴t＝100，于是a20-4b＝100(a0-4b)，∴a20＝100a0-396b，由a20≥4a0，得100a0-396b≥4a0，b≤833a0＝800.
故每年冬季木材的砍伐量不能超过800万立方米．
4. 设在第n天达到运送食品的最大量，则前n天每天运送的食品量是首项为1000，公差为100的等差数列.an=1000+（n-1）•100=100n+900.
其余每天运送的食品量是首项为100n+800，公差为-100的等差数列.依题意，得：
1000n+n(n-1)2×100+(100n+800)(15-n)+(15-n)(14-n)2×(-100)=21300（1≤n≤15）.整理化简得n2-31n+198=0，解得n=9或22（不合题意，舍去）.
答：在第9天达到运送食品的最大量.
（作者：周俭，江苏省吴江市教育局教研室）
一、 历史名题问题
【背景材料】 1. 19世纪法国数学家刘卡在一次国际会议中提出这样的一个问题：每天中午，某航运公司有一只轮船（记为L）从巴黎的外港——赛纳河口的勒阿佛尔开往纽约，在每天的同一时间也有该公司的一只轮船从纽约开往勒阿佛尔。轮船在横渡大西洋途中所花的时间正好是七天七夜，并且假设在全部的航程中都是匀速行驶的。轮船在大西洋上按照一定航线航行，在近距离内可以看见彼此。问今天中午从勒阿佛尔开出去的L，到达纽约时，将会遇到多少只同一公司的轮船从对面开来？
2. 我国的《孙子算经》中有这样的问题：“出门望九堤”：今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何？
【命题分析】 对于学生来说，这些普通的问题，因为有历史背景而有名、有趣，能展现数学的文化价值。这些历史名题的教学可以使枯燥乏味解题的过程变得富有趣味和探索意义，近年各地模拟和各版本教材中出现了不少以数列为背景的数学历史名题。
【试题设计】 我国古代诗歌有这样的问题：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？
解析 设从塔顶到下每层分别有an盏灯，则由题意{an}是以a1为首项，2为公比的等比数列，且a1+a2+…+a7=381.由等比数列求和公式得：a1(1-27)1-2=381，解得a1=3，故塔顶有3盏灯.
二、 安居房建设问题
【背景材料】 李克强在河北考察保障房建设时指出，建设保障房有利于遏制房价过快上涨，助推城镇化，释放出巨大的消费和投资潜力，推动相关产业发展。扎实推进保障房建设，作为重大惠民工程，近年来，国家加大了保障房建设力度，2008年以来全国开工建设的保障房，现已竣工的有800万套，今年又开工1000万套，而“十二五”期间，更要建设3600万套保障房。
【命题分析】 民生问题一直是各级政府高度重视的问题之一，关于民生工程的许多热点话题成为各级各类考试和竞赛的重要题材，高考数学也不例外，以民生工程中的问题为背景的试题在各地屡见不鲜，值得关注。
【试题设计】 某城市2003年年底人口为500万，人均住房面积为20m2，如果该城市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为600万m2，求2012年年底该城市人均住房面积约为多少m2？（可能要用到的数据：1.018=1.0829，1.019=1.0937，1.0110=1.1046）
解析 2003年、2004年、……、2012年住房面积总数成等差数列，且a1= 20×500=10000万m2，d=600万m2，所以a10= 10000 + 9×600=15400；
2003年、2004年、……、2012年人口数成等比数列，且b1= 500，q=1.01%，所以b10=500×1.019≈500×1.0937≈546.8，∴2012年年底该城市人均住房面积为：15400546.8≈28.16m2.
答：2012年年底该城市人均住房面积约为28.16 m2.
点拨 本题的关键在于从实际问题中提炼出等差、等比数列，利用等差和等比数列的通项知识即可。
三、 分期付款问题
【背景材料】 据媒体报道，联通合约版iPhone 4S在中国上市日期为2011年12月15日，合约价格16GB版为6000元。无论是购买新合约还是换购，都可以使用信用卡办理12期分期付款，无手续费。
【命题分析】 如今贷款购物和购房已深入我们的生活，各种各样的分期付款让人眼花缭乱，同时各种理财产品也日趋增多，如教育储蓄、零存整取等。以此为背景可以命制和等比、等差有关的
求
数列通项与求和问题。
【试题设计】 小华准备采用分期付款方式购买其最爱的某款手机，已知其合约价格为6000元，使用信用卡在两年内可以分12期付款，从购买时到两个月后开始第一期付款，每期为2个月，银行利息约定为0.8%，每月利息按复利计算.求小明每期付款的金额是多少？
解析 假定小华每期还款x元，第k个月末还款后的本利欠款数为Ak元，则：
A2=6000×(1+0.008)2-x；
A4=A2×(1+0.008)2-x=6000×(1+0.008)4-1.0082x-x；
A6=A4×(1+0.008)2-x=6000×(1+0.008)6-1.0084x-1.0082x-x；
……
A24=6000×(1+0.008)24-(1.00822+1.00820+…+1.0082+1)x.
由题意，两年后还清，所以A24=0,解得：
x=6000×1.008241+1.0082+1.0084+…+1.00822=6000×1.00824
1-1.008241-1.0082=6 000×（1-1.0082）×1.008241.00824-1≈553.7（元）.
答：小明每次付款的金额为553.7元.
点拨 分期付款问题的实质是等比数列求和问题，即每月付款的本利和到最后一次还清时与所贷的款的本利和相等。
四、 广告效益问题
【背景材料】 据报导，2011年11月8日上午8点零8分，中央电视台2012年黄金资源广告招标竞购大会正式开幕。竞标高潮出现在17时40分，手持989号的茅台集团，疯狂揽走第一、第二、第三、第五时段的新闻联播报时组合的广告，分别祭出1.35亿元、1.02亿元、0.85亿元、1.21亿元，半个小时共花出去4.43亿元，成为2012年度央视的新标王。
【命题分析】 广告投入与产出是一个常见的数学模型，一方面巨大的广告投入会换来巨大的经济效益，另一方面，如果广告投入过大，必将影响企业的长远发展与创新，所以制定适合的广告投放标准，需要用数学头脑进行决策。近年来，以此为背景命制的函数或者数列应用题一直处于较热门状态。
【试题设计】 一企业生产的某产品在不做电视广告的前提下，每天销售量为b件.经市场调查后得到如下规律：若对产品在某电视剧中插播广告进行宣传，每天销售量S(件)与插播广告次数n的函数关系可用如图所示的流程图来体现.
（1） 试写出该产品每天的销售量S（件）关于插播广告次数n的函数关系；
（2） 要使该产品每天的销售量比不插播广告时的销售量至少增加90%，则每天需要插播至少多少次？
解析 （1） 设插播广告次数为每天i次时，该产品的销售为Si(i=0,1,…,n)，由题意，Si=b，i=0,Si-1+b2i，1≤i≤n,i∈N*.
于是当i=n时，Sn=b+b2+b22+…+b2n=b2-12n（n∈N*）.
所以该产品每天的销售量S（件）关于插播广告次数n的函数关系是Sn=b2-12n（n∈N*）.
（2） 由题意，有b2-12n≥1.9b，即2n≥10，解得n≥4（n∈N*）.所以要使该产品每天的销售量比不插播广告时的销售量至少增加90%，则每天需要插播至少4次.
点拨 本题的关键是读懂流程图，弄清流程图中的S就是数列中的Sn，利用等比数列求和知识，即可解决。
牛刀小试
1. 《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus)曾记载下面的数学问题，请解决：
把100个面包分给5个人,使每人所得成等差数列,且使最大的三份之和的17是较小的两份之和,问最小一份的量为多少？
2. 从多个地方抽调了一批型号相同的联合收割机，收割一片小麦．若这些收割机同时到达，则24小时可收割完毕，但它们由于距离不同，是每隔一段相同的时间顺序投入工作的，如果第一台收割机总工作时间恰好是最后一台总工作时间的5倍，问以这种收割方式收割机在这片麦地上工作了多长时间？
3. 某林场去年年底森林中木材存量为3 300万立方米，从今年起每年以25%的增长率生长，同时每年冬季要砍伐的木材量为b，为了实现经过20年达到木材存量至少翻两番的目标，每年冬季木材的砍伐量不能超过多少？(取lg 2＝0.3)
4. 由于利比亚战争的影响，据估计，利比亚将产生60～100万难民，联合国难民计划署计划从6月1日起为利难民运送食品，第一天运送1000吨，第二天运送1100吨，以后每天都比前一天多运送100吨，直到每日运送能够达到的最大量，然后再每天递减100吨，连续运送15天，总共运送21300吨，求在第几天达到每日运送食品的最大量.
【参考答案】
1. 用数学语言来表达，即：设a1，a2，a3，a4，a5成递增的等差数列，S5=100且17（a3+a4+a5）=a1+a2，求a1．由此可解得：a1=53.
2. 设这n台收割机的工作时间依次为a1，a2，…，an小时，依题意a1，a2，…，an组成一个等差数列，又每台收割机每小时的工作效率为124n，则有：
a1=5an，
a124n+a224n+…+an24n=1.
①②
由②得n(a1+an)2×24n＝1，即a1＋an＝48.③联立①、③解得a1＝40(小时)．
所以用这种收割方式在这片麦地上工作了40小时．
3. 设a1，a2，…，a20表示今年开始的各年木材存量，且a0＝3 300，则an＝an-1(1＋25%)-b.∴an＝54an-1-b，an-4b＝54(an-1-4b)，即数列{an-4b}是等比数列，公比q＝54.∴a20-4b＝(a0-4b)•
5420.令t＝5420，则lgt＝
20lg54＝20(1-3×0.3)＝2.∴t＝100，于是a20-4b＝100(a0-4b)，∴a20＝100a0-396b，由a20≥4a0，得100a0-396b≥4a0，b≤833a0＝800.
故每年冬季木材的砍伐量不能超过800万立方米．
4. 设在第n天达到运送食品的最大量，则前n天每天运送的食品量是首项为1000，公差为100的等差数列.an=1000+（n-1）•100=100n+900.
其余每天运送的食品量是首项为100n+800，公差为-100的等差数列.依题意，得：
1000n+n(n-1)2×100+(100n+800)(15-n)+(15-n)(14-n)2×(-100)=21300（1≤n≤15）.整理化简得n2-31n+198=0，解得n=9或22（不合题意，舍去）.
答：在第9天达到运送食品的最大量.
（作者：周俭，江苏省吴江市教育局教研室）