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摘要：本文以“任意角的三角函数”一课为例，重点着眼于学生的最近发展区，立足课堂，让概念教学符合学生的认知规律；以问题串的形式，激发学生的探求欲望，让数学核心素养落到实处。
关键词：课堂教学；核心素养；问题串；变式教学
中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1992-7711（2021）01-0081
随着高考制度的改革，新课程标准的制定，培养学生的核心素养越来越受到重视。2019年11月，笔者在所属教育集团骨干教师教学交流活动中，以《任意角的三角函数》一课为例，进行了课堂教学展示。本着以发展学生的数学学科素养为主要目的，教学过程中采用问题串的形式，在情境引入、概念生成、实例剖析等多个环节做了一些尝试与反思。
一、教学分析1.教材分析
《任意角的三角函數》是2019人教A版普通高中教科书数学必修第一册第五章“三角函数”第二节的内容，同时本节课题变更为“三角函数的概念”。本节课是在学习了“任意角和弧度制”以及初中“锐角三角函数”之后的一节新授课。为学生后续学习同角三角函数公式、诱导公式以及利用单位圆研究三角函数的图像及性质等起的过渡作用。
2.教学目标
（1）了解任意角的三角函数与现实世界的联系，体会三角函数定义产生的背景。
（2）借助单位圆抽象出任意角三角函数的定义，理解并掌握定义。（3）从任意角三角函数的定义认识其定义域、函数值的符号。（4）能初步运用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题。
3.教学重难点
（1）任意角三角函数的定义以及三种三角函数值在各象限内的符号。
（2）用单位圆上点的坐标刻画三角函数以及三角函数是以实数为自变量的函数。
二、教学过程
1.以史引题，激发兴趣
在教材的“阅读与思考”中简单介绍了三角学的起源，为了让学生更加了解三角学的发展历史，也为了激发学生的学习兴趣，开课伊始向学生简要讲述三角学的起源及发展。
教师：同学们，你们知道吗？三角学的起源可以追溯到古希腊时期，在当时三角学是天文学的一个计算工具。公元5世纪到12世纪，印度数学家为三角学做出了较大的贡献，引进了“正弦”和“余弦”的概念。15世纪后，德国数学家雷格蒙塔努斯将三角学从天文学独立出来，对三角学做出了完整、独立的阐述。到了明朝崇祯年间，德国的传教士邓玉函和明代著名的科学家、政治家徐光启等共同编写了《大测》，这是我国第一部编译的三角学著作。在《大测》中，首次将sinus译为“正半弦”，简称“正弦”，这就是“正弦”一词的由来。
设计意图：《普通高中数学课程标准》强调：数学课堂教学要适当地融入数学文化。它不仅能起到育人的功能，而且还能提高学生的数学核心素养。在本课教学中，教师讲述三角学的起源及发展史，提高学生学习三角学的兴趣。
学生：函数的概念。
教师：既然符合函数的概念，那么定义域和值域又是什么呢？
学生：定义域是角的大小组成的集合，值域是比值组成的集合。
设计意图：通过讨论，师生互动，并结合图形，学生可以深刻地理解并体会到锐角的三角函数值不会随着终边上的点的位置的改变而改变，并且随着角的大小变化，会有相应的唯一的比值与之对应，学生得出结论。在这一过程中，教师从学生已有的认知出发，一步步引导学生思考，突破思维障碍，有效地提高了学生数形结合、直观想象、数学抽象等核心素养。
问题4：由于比值不会随着点P的位置变化而发生改变，那么将点P选在什么位置会使三角函数的形式更加简洁呢？
学生：（异口同声）让r等于1！
教师：非常好！我们把半径为1的圆叫作单位圆。在第一节课中，我们已经将角的范围推广到了任意角，那么对于任意一个角α，它的终边与单位圆的交点P的坐标是唯一确定的吗？
学生：是唯一确定的。
在这样的问题引导过程中，让学生体会从“任意角α”到“角α的终边OP”再到“单位圆上点P的横纵坐标x，y”之间的对应关系，从而使任意角的三角函数的概念自然生成。
教师点评：注意终边的不同情况，进行分类讨论。 设计意图：在这个课堂教学环节中，主要通过三个例题和三个变式题，让学生从任意角的三角函数的简单应用出发，紧扣三角函数的定义，加深对于“终边定义法”和“单位圆定义法”在不同已知条件下的应用理解，并通过对比分析，进一步确认其定义的合理性。在此过程中，不仅提高了学生分析问题和解决问题的能力，强化了数学中的数形结合以及分类讨论的思想，同时进一步提升了学生的数学抽象、直观想象和数学运算的核心素养。
4.顺势而为，发展思维
问题7：根据三角函数的定义能否确定正弦、余弦、正切值在四个象限内的符号？
设计意图：在学生理解并掌握了三角函数定义的基础上，采用问题串的形式，继续引导学生对知识进行探究思考。学生不仅掌握了三角函数在四个象限的符号及特殊角的三角函数值，而且发现了三角函数的“周期性”这一本质属性，从而推导出公式一。
三、课后感悟与反思
1.《课标》指出：基于數学学科核心素养的教学活动应该把握数学的本质，创设合适的教学情境、提出合适的数学问题，引发学生思考与交流，形成和发展数学学科核心素养。
本节课，在创设情境上，首先介绍三角学的发展历史吸引学生，激发学生对三角函数的探索兴趣；然后以初中学过的锐角三角函数的旧知来创设情境，引出教学内容。这样做可以让学生温故知新的同时，感觉到新知的难度降低，让学生感受到数学知识之间的“整体性”；再以一系列具有引导性和探究性的问题作为“支架”，让学生置身于“问题解决”的情境中，激发学生的好奇心和求知欲，促发学习动机，激起数学思考。并于学生思维活跃状态下进行揭示、释疑和小结，在收到良好的教学效果的同时，学生的数学素养也得到了很大提升。
2.数学概念是数学知识的基础，也是数学教学中的重点。在概念教学中，要引导学生对概念的发生、概括过程的理解。
本节课在进行任意角的三角函数的概念教学时，采用一系列启发递进式“问题串”的形式，一步步引导学生对任意角三角函数的探索。这符合学生的认知规律，贴近学生的最近思维发展区，让学生既不感觉陌生又很有欲望去探求新知，驱动学生积极思考并参与课堂。
3.本节课，在对任意角的三角函数概念进行理解应用的过程中，采用了例题及变式的方式进行教学。所谓“变式”教学，是指教师对已知命题在保留好对象的本质因素上对题目的条件、结论或形式做一定的改变，使学生一层一层掌握研究对象的本质属性。变式教学充分调动学生的积极性，学生在变式训练中，思维的灵活性也进一步增强。
四、结束语
总之，数学教学要遵循学生的认知规律，以数学思维逻辑为中心，精心设计数学问题串，引导学生感知概念的发生、概括与理解的过程，促进学生积极思维。让学生在数学知识的获得与数学能力培养过程中，数学核心素养也得到发展。
参考文献：
[1]高中数学新课标案例解读[S].北京：北京师范大学出版社，2020.
[2]邢星.基于模块单元下的教学设计——以《三角函数的概念》为例[J].中学数学，2020（3）.
[3]李国富.发展高中数学抽象素养的教学实践与思考——以任意角的三角函数为例[J].中学数学，2019（6）.
[4]倪帅.情境教学在初中数学课堂中的探索与实践[J].中学教研，2019（9）.
（作者单位：浙江省杭州第四中学320018）
关键词：课堂教学；核心素养；问题串；变式教学
中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1992-7711（2021）01-0081
随着高考制度的改革，新课程标准的制定，培养学生的核心素养越来越受到重视。2019年11月，笔者在所属教育集团骨干教师教学交流活动中，以《任意角的三角函数》一课为例，进行了课堂教学展示。本着以发展学生的数学学科素养为主要目的，教学过程中采用问题串的形式，在情境引入、概念生成、实例剖析等多个环节做了一些尝试与反思。
一、教学分析1.教材分析
《任意角的三角函數》是2019人教A版普通高中教科书数学必修第一册第五章“三角函数”第二节的内容，同时本节课题变更为“三角函数的概念”。本节课是在学习了“任意角和弧度制”以及初中“锐角三角函数”之后的一节新授课。为学生后续学习同角三角函数公式、诱导公式以及利用单位圆研究三角函数的图像及性质等起的过渡作用。
2.教学目标
（1）了解任意角的三角函数与现实世界的联系，体会三角函数定义产生的背景。
（2）借助单位圆抽象出任意角三角函数的定义，理解并掌握定义。（3）从任意角三角函数的定义认识其定义域、函数值的符号。（4）能初步运用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题。
3.教学重难点
（1）任意角三角函数的定义以及三种三角函数值在各象限内的符号。
（2）用单位圆上点的坐标刻画三角函数以及三角函数是以实数为自变量的函数。
二、教学过程
1.以史引题，激发兴趣
在教材的“阅读与思考”中简单介绍了三角学的起源，为了让学生更加了解三角学的发展历史，也为了激发学生的学习兴趣，开课伊始向学生简要讲述三角学的起源及发展。
教师：同学们，你们知道吗？三角学的起源可以追溯到古希腊时期，在当时三角学是天文学的一个计算工具。公元5世纪到12世纪，印度数学家为三角学做出了较大的贡献，引进了“正弦”和“余弦”的概念。15世纪后，德国数学家雷格蒙塔努斯将三角学从天文学独立出来，对三角学做出了完整、独立的阐述。到了明朝崇祯年间，德国的传教士邓玉函和明代著名的科学家、政治家徐光启等共同编写了《大测》，这是我国第一部编译的三角学著作。在《大测》中，首次将sinus译为“正半弦”，简称“正弦”，这就是“正弦”一词的由来。
设计意图：《普通高中数学课程标准》强调：数学课堂教学要适当地融入数学文化。它不仅能起到育人的功能，而且还能提高学生的数学核心素养。在本课教学中，教师讲述三角学的起源及发展史，提高学生学习三角学的兴趣。
学生：函数的概念。
教师：既然符合函数的概念，那么定义域和值域又是什么呢？
学生：定义域是角的大小组成的集合，值域是比值组成的集合。
设计意图：通过讨论，师生互动，并结合图形，学生可以深刻地理解并体会到锐角的三角函数值不会随着终边上的点的位置的改变而改变，并且随着角的大小变化，会有相应的唯一的比值与之对应，学生得出结论。在这一过程中，教师从学生已有的认知出发，一步步引导学生思考，突破思维障碍，有效地提高了学生数形结合、直观想象、数学抽象等核心素养。
问题4：由于比值不会随着点P的位置变化而发生改变，那么将点P选在什么位置会使三角函数的形式更加简洁呢？
学生：（异口同声）让r等于1！
教师：非常好！我们把半径为1的圆叫作单位圆。在第一节课中，我们已经将角的范围推广到了任意角，那么对于任意一个角α，它的终边与单位圆的交点P的坐标是唯一确定的吗？
学生：是唯一确定的。
在这样的问题引导过程中，让学生体会从“任意角α”到“角α的终边OP”再到“单位圆上点P的横纵坐标x，y”之间的对应关系，从而使任意角的三角函数的概念自然生成。
教师点评：注意终边的不同情况，进行分类讨论。 设计意图：在这个课堂教学环节中，主要通过三个例题和三个变式题，让学生从任意角的三角函数的简单应用出发，紧扣三角函数的定义，加深对于“终边定义法”和“单位圆定义法”在不同已知条件下的应用理解，并通过对比分析，进一步确认其定义的合理性。在此过程中，不仅提高了学生分析问题和解决问题的能力，强化了数学中的数形结合以及分类讨论的思想，同时进一步提升了学生的数学抽象、直观想象和数学运算的核心素养。
4.顺势而为，发展思维
问题7：根据三角函数的定义能否确定正弦、余弦、正切值在四个象限内的符号？
设计意图：在学生理解并掌握了三角函数定义的基础上，采用问题串的形式，继续引导学生对知识进行探究思考。学生不仅掌握了三角函数在四个象限的符号及特殊角的三角函数值，而且发现了三角函数的“周期性”这一本质属性，从而推导出公式一。
三、课后感悟与反思
1.《课标》指出：基于數学学科核心素养的教学活动应该把握数学的本质，创设合适的教学情境、提出合适的数学问题，引发学生思考与交流，形成和发展数学学科核心素养。
本节课，在创设情境上，首先介绍三角学的发展历史吸引学生，激发学生对三角函数的探索兴趣；然后以初中学过的锐角三角函数的旧知来创设情境，引出教学内容。这样做可以让学生温故知新的同时，感觉到新知的难度降低，让学生感受到数学知识之间的“整体性”；再以一系列具有引导性和探究性的问题作为“支架”，让学生置身于“问题解决”的情境中，激发学生的好奇心和求知欲，促发学习动机，激起数学思考。并于学生思维活跃状态下进行揭示、释疑和小结，在收到良好的教学效果的同时，学生的数学素养也得到了很大提升。
2.数学概念是数学知识的基础，也是数学教学中的重点。在概念教学中，要引导学生对概念的发生、概括过程的理解。
本节课在进行任意角的三角函数的概念教学时，采用一系列启发递进式“问题串”的形式，一步步引导学生对任意角三角函数的探索。这符合学生的认知规律，贴近学生的最近思维发展区，让学生既不感觉陌生又很有欲望去探求新知，驱动学生积极思考并参与课堂。
3.本节课，在对任意角的三角函数概念进行理解应用的过程中，采用了例题及变式的方式进行教学。所谓“变式”教学，是指教师对已知命题在保留好对象的本质因素上对题目的条件、结论或形式做一定的改变，使学生一层一层掌握研究对象的本质属性。变式教学充分调动学生的积极性，学生在变式训练中，思维的灵活性也进一步增强。
四、结束语
总之，数学教学要遵循学生的认知规律，以数学思维逻辑为中心，精心设计数学问题串，引导学生感知概念的发生、概括与理解的过程，促进学生积极思维。让学生在数学知识的获得与数学能力培养过程中，数学核心素养也得到发展。
参考文献：
[1]高中数学新课标案例解读[S].北京：北京师范大学出版社，2020.
[2]邢星.基于模块单元下的教学设计——以《三角函数的概念》为例[J].中学数学，2020（3）.
[3]李国富.发展高中数学抽象素养的教学实践与思考——以任意角的三角函数为例[J].中学数学，2019（6）.
[4]倪帅.情境教学在初中数学课堂中的探索与实践[J].中学教研，2019（9）.
（作者单位：浙江省杭州第四中学320018）