【摘要】 文章通过讨论斐波那契数列的数学模型，用递推的手法探求它的通项a_n以及前n项的和s_n。联想到是否所有的循环数列（有限阶）都可以求出其通项a_n与前n项和s_n的公式？笔者从循环数列的概念入手，用一系列递推、归纳、分析、综合的手法获得一般循环数列求通项a_n以及前n项和s_n模式，冀与好之者共磋商。
　　【关键词】 斐波那契；循环数列；递推公式；特征方程；通解；通项；前n项和
　　
　　正如大家所熟知的斐波那契问题：假定每对大兔每月能繁殖一对小兔，而每对小兔过一个月后就能完全长成大兔，问一年里一对大兔能繁殖出多少对大兔来？
　　显然，大兔对数的数列是一个循环数列：
　　a1=1,a₂=1a_n=an-1+an-2(n>2)
　　并且容易算（数）出一年里繁殖大兔的对数，这是众所周知的。
　　所谓“斐波那契数列”的通项公式
　　a1=1,a₂=1a_n=an-1+an-2(n>2)
　　是由递推的形式给出的，虽简单明了，能体现该数列的变化规律，但也有不足之处。由于这里所求的“n”不大，我们容易求到它的结果，但“n”较大时，我们就不可能很快地计算出数列某一项a_n的值。于是我们联想到：是否可把这种循环数列由递推形式给出的通项表示成项数n的函数式，即使
　　a_n=f(n)
　　这样对于求它的通项就容易多了。
　　【命题】k阶循环数列{a_n}的前n项和数列{S_n}是一个(k+1)阶循环数列。
　　这里也仅以二阶循环数列为例作推证。
　　由a_n=λ1an-1+λ₂an-2(λ₂≠0)
　　得s_n-sn-1=λ1(sn-1-sn-2)+λ₂(sn-2-sn-3)
　　于是知s_n=(1+λ1)sn-1+(λ₂-λ1)sn-2-λ₂sn-3
　　因为λ1、λ₂是常数，且λ₂≠0，所以由上式说明和数列{s_n}是一个三阶循环数列。
　　我们可以将二阶循环数列的求通项的理论“推广”到这里来。
　　{s_n}的特征方程是
　　x3=(1+λ1)x²+(λ₂-λ1)x-λ₂
　　(x-1)(x²-λ1x-λ₂)=0
　　注意到方程x²-λ1x-λ₂=0就是原来数列{a_n}的特征方程。所以{s_n}的特征方程的解就是下面三个解
　　x1,x₂,x₃=1(x1+x₂=λ1,x1•x₂=-λ₂)，于是
　　(1)若x1≠x₂≠1，则s_n的通解是
　　s_n=t1x1n+t₂x₂n+t₃•1n （t1,t₂,t₃为任意常数）
　　（2）若x1≠x₂，但其中有一个等于1(不妨设x₂=1)，则通解为
　　s_n=t1xn1+(nt₂+t₃)•xn₂ （t1,t₂,t₃为任意常数）
　　（3）若x1=x₂≠1，则通解为
　　s_n=(t1+nt₂)xn1+t₃ （t1,t₂,t₃为任意常数）
　　(4) 若x1=x₂=1，则通解为
　　s_n=n²t1+nt₂+t₃ （t1,t₂,t₃为任意常数）
　　（其实在此情况下，{a_n}是一个等差数列，因为x1=x₂=1，所以特征方程为
　　x²1-2x+1=0,
　　于是知a_n=2an-1-aa-2
　　有a_n-an-1=an-1-an-2
　　故知{a_n}是等差数列。
　　（当然，在这种情况下，我们可以直接用等差数列的有关结论来进行计算，不必要用现在这一套理论，不过我们知道了它们之间的内在联系，这也是有益的）。
　　（5）若x1,x₂为共轭复数，则通解为
　　s_n=t1x1n+t1•xn1+t₃ （t1为复数）
　　至于求特解，可用s1,s₂,s₃来待定，这里不必赘述了。
　　参考文献
　　1 华罗庚《循环数列》（见80年代《数学通讯》）
　　2 沈林兴《数列20题》（见《数学通报》1976.6期）
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文