论文部分内容阅读
【摘要】 文章通过讨论斐波那契数列的数学模型,用递推的手法探求它的通项an以及前n项的和sn。联想到是否所有的循环数列(有限阶)都可以求出其通项an与前n项和sn的公式?笔者从循环数列的概念入手,用一系列递推、归纳、分析、综合的手法获得一般循环数列求通项an以及前n项和sn模式,冀与好之者共磋商。
【关键词】 斐波那契;循环数列;递推公式;特征方程;通解;通项;前n项和
正如大家所熟知的斐波那契问题:假定每对大兔每月能繁殖一对小兔,而每对小兔过一个月后就能完全长成大兔,问一年里一对大兔能繁殖出多少对大兔来?
显然,大兔对数的数列是一个循环数列:
a1=1,a2=1an=an-1+an-2(n>2)
并且容易算(数)出一年里繁殖大兔的对数,这是众所周知的。
所谓“斐波那契数列”的通项公式
a1=1,a2=1an=an-1+an-2(n>2)
是由递推的形式给出的,虽简单明了,能体现该数列的变化规律,但也有不足之处。由于这里所求的“n”不大,我们容易求到它的结果,但“n”较大时,我们就不可能很快地计算出数列某一项an的值。于是我们联想到:是否可把这种循环数列由递推形式给出的通项表示成项数n的函数式,即使
an=f(n)
这样对于求它的通项就容易多了。
【命题】k阶循环数列{an}的前n项和数列{Sn}是一个(k+1)阶循环数列。
这里也仅以二阶循环数列为例作推证。
由an=λ1an-1+λ2an-2(λ2≠0)
得sn-sn-1=λ1(sn-1-sn-2)+λ2(sn-2-sn-3)
于是知sn=(1+λ1)sn-1+(λ2-λ1)sn-2-λ2sn-3
因为λ1、λ2是常数,且λ2≠0,所以由上式说明和数列{sn}是一个三阶循环数列。
我们可以将二阶循环数列的求通项的理论“推广”到这里来。
{sn}的特征方程是
x3=(1+λ1)x2+(λ2-λ1)x-λ2
(x-1)(x2-λ1x-λ2)=0
注意到方程x2-λ1x-λ2=0就是原来数列{an}的特征方程。所以{sn}的特征方程的解就是下面三个解
x1,x2,x3=1(x1+x2=λ1,x1•x2=-λ2),于是
(1)若x1≠x2≠1,则sn的通解是
sn=t1x1n+t2x2n+t3•1n (t1,t2,t3为任意常数)
(2)若x1≠x2,但其中有一个等于1(不妨设x2=1),则通解为
sn=t1xn1+(nt2+t3)•xn2 (t1,t2,t3为任意常数)
(3)若x1=x2≠1,则通解为
sn=(t1+nt2)xn1+t3 (t1,t2,t3为任意常数)
(4) 若x1=x2=1,则通解为
sn=n2t1+nt2+t3 (t1,t2,t3为任意常数)
(其实在此情况下,{an}是一个等差数列,因为x1=x2=1,所以特征方程为
x21-2x+1=0,
于是知an=2an-1-aa-2
有an-an-1=an-1-an-2
故知{an}是等差数列。
(当然,在这种情况下,我们可以直接用等差数列的有关结论来进行计算,不必要用现在这一套理论,不过我们知道了它们之间的内在联系,这也是有益的)。
(5)若x1,x2为共轭复数,则通解为
sn=t1x1n+t1•xn1+t3 (t1为复数)
至于求特解,可用s1,s2,s3来待定,这里不必赘述了。
参考文献
1 华罗庚《循环数列》(见80年代《数学通讯》)
2 沈林兴《数列20题》(见《数学通报》1976.6期)
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】 斐波那契;循环数列;递推公式;特征方程;通解;通项;前n项和
正如大家所熟知的斐波那契问题:假定每对大兔每月能繁殖一对小兔,而每对小兔过一个月后就能完全长成大兔,问一年里一对大兔能繁殖出多少对大兔来?
显然,大兔对数的数列是一个循环数列:
a1=1,a2=1an=an-1+an-2(n>2)
并且容易算(数)出一年里繁殖大兔的对数,这是众所周知的。
所谓“斐波那契数列”的通项公式
a1=1,a2=1an=an-1+an-2(n>2)
是由递推的形式给出的,虽简单明了,能体现该数列的变化规律,但也有不足之处。由于这里所求的“n”不大,我们容易求到它的结果,但“n”较大时,我们就不可能很快地计算出数列某一项an的值。于是我们联想到:是否可把这种循环数列由递推形式给出的通项表示成项数n的函数式,即使
an=f(n)
这样对于求它的通项就容易多了。
【命题】k阶循环数列{an}的前n项和数列{Sn}是一个(k+1)阶循环数列。
这里也仅以二阶循环数列为例作推证。
由an=λ1an-1+λ2an-2(λ2≠0)
得sn-sn-1=λ1(sn-1-sn-2)+λ2(sn-2-sn-3)
于是知sn=(1+λ1)sn-1+(λ2-λ1)sn-2-λ2sn-3
因为λ1、λ2是常数,且λ2≠0,所以由上式说明和数列{sn}是一个三阶循环数列。
我们可以将二阶循环数列的求通项的理论“推广”到这里来。
{sn}的特征方程是
x3=(1+λ1)x2+(λ2-λ1)x-λ2
(x-1)(x2-λ1x-λ2)=0
注意到方程x2-λ1x-λ2=0就是原来数列{an}的特征方程。所以{sn}的特征方程的解就是下面三个解
x1,x2,x3=1(x1+x2=λ1,x1•x2=-λ2),于是
(1)若x1≠x2≠1,则sn的通解是
sn=t1x1n+t2x2n+t3•1n (t1,t2,t3为任意常数)
(2)若x1≠x2,但其中有一个等于1(不妨设x2=1),则通解为
sn=t1xn1+(nt2+t3)•xn2 (t1,t2,t3为任意常数)
(3)若x1=x2≠1,则通解为
sn=(t1+nt2)xn1+t3 (t1,t2,t3为任意常数)
(4) 若x1=x2=1,则通解为
sn=n2t1+nt2+t3 (t1,t2,t3为任意常数)
(其实在此情况下,{an}是一个等差数列,因为x1=x2=1,所以特征方程为
x21-2x+1=0,
于是知an=2an-1-aa-2
有an-an-1=an-1-an-2
故知{an}是等差数列。
(当然,在这种情况下,我们可以直接用等差数列的有关结论来进行计算,不必要用现在这一套理论,不过我们知道了它们之间的内在联系,这也是有益的)。
(5)若x1,x2为共轭复数,则通解为
sn=t1x1n+t1•xn1+t3 (t1为复数)
至于求特解,可用s1,s2,s3来待定,这里不必赘述了。
参考文献
1 华罗庚《循环数列》(见80年代《数学通讯》)
2 沈林兴《数列20题》(见《数学通报》1976.6期)
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文