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摘要:股票收益率波动对于风险管理和资产定价有重要意义，大多数金融时间序列具有尖峰厚尾特性和波动集聚性。对于普遍使用的ARMA模型，由于其自身的线性性质而明显不适用描述此类金融时间序列。本文应用由Engle提出的ARCH模型和由Bolleslev加以改进产生的GARCH模型对中国市场指数收益率的波动进行了研究。
关键词： GARCH模型；极大似然法；混成检验
Abstract: the stock yield fluctuation has important significance for the risk management and asset pricing, most financial time series with rush thick tail and wave agglomeration features. For ARMA model is widely used, because of its linear properties and obviously does not apply to describe this kind of financial time series. This paper applied the ARCH model proposed by Engle and produced by Bolleslev improved GARCH model to the Chinese market index yield fluctuation is studied.
Key words: GARCH model; The maximum likelihood method; Composite testing
中图分类号：D912.29文献标识码：A文章编号：2095-2104(2013)
前言
传统金融计量模型（如ARMA）假定金融资产价格服从正态分布且价格波动不随时间变化而变化。虽然这一假定使实际问题大大简化而便于分析，但却未能解释金融时间序列的两个重要特征——尖峰厚尾(Leptokurtosis)和波动集聚性(Volatility Clustering)。为解决这一问题，Engle提出的一种条件導方差模型——ARCH(Autoregressive Conditional Heteroscedasticity)模型，Engle注意到AR模型中的无条件期望为0，但其条件期望可以不为0，而是依赖于时间及滞后项(Lag)，并将AR模型应用到条件方差中，从而获得能捕抓金融时间序列特征的ARCH模型[1]。但是ARCH(q)模型常常需要很大的阶数q，这不仅增加了计算量，还带来了解释变量出现多重共线性问题。为避免出现这种局面，Bolleslev通过在方差的解释项中巧妙地引入无穷期滞后阶误差项，得到GARCH(Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity)模型[2]。事实表明，GARCH模型在经济金融领域的应用中取得了良好的效果。
中国股票市场已经运行了20年，中国股票市场指数收益作为一种金融时间序列同样具有一般金融时间序列的尖峰厚尾及异方差的特征，为了深入分析指数收益的性质，本文将给出GARCH模型，并以此模型为中国股票市场的指数进行实证分析。
广义自回归条件异方差(GARCH)模型介绍
GARCH模型
GARCH模型的设定
定义2.1 若为一个时间序列过程，且满足
(1)
其中，。则称上述模型为GARCH(p,q)模型，而称为一个GARCH(p,q)过程。
特别地，当时，即GARCH(1,1)过程，GARCH(1,1)过程是最简单的一种GARCH过程，尽管形式简单，但它在金融实证分析中有着广泛的应用。
GARCH过程的ARMA表示
类似于将ARCH过程表示为AR过程，GARCH过程可以将表示为ARMA过程的形式。若服从GARCH(p,q)过程：
令，则可以证明，即为鞅差序列，从而是一白噪声。这样，由
其中，。因此，为ARMA(max(p,q),q)过程。当时，特征方程的根都在单位圆外，因而平稳，此时的自相关函数(ACF)呈指数衰减[4]。
由上述分析可得GARCH(p,q)过程平稳的条件：
定理2.1 若服从GARCH(p,q)过程，且，则平稳当且仅当。
(G)ARCH模型的性质及其对金融时间序列的经济解释
(G)ARCH模型凭借着良好的性质及经济意义受到广泛的欢迎并大量的应用到金融实证分析中。
定理2.2 设服从(G)ARCH过程，是该(G)ARCH过程的新息过程，则有的峰度不小于的峰度，即。
证明：因为
(2)
对(2)式两端取期望，有詹森不等式得：
于是，
(3)
定理2.3说明(G)ARCH系统可以产生比新息过程更厚的尾部概率，从而可以解释金融时间序列中的尖峰厚尾的特征。
事实上，我们还可以得到GARCH模型能够刻画金融时间序列中波动集聚性特征的结论。
由ARCH模型可得：
于是有
一般地，
（4）
由(4)式可知，时刻较大的可引起随后一段时间较大的波动，因而ARCH过程可以解释金融时间序列中的波动集聚性的特征。
同样地，在GARCH(1,1)过程中
(5)
由于，则，使用向后推移算子表示(5)中的方差方程为，从而有
因此，
(6)
它依赖于的无穷多个过去值，这与ARCH(1,1)存在明显的不同，因为对ARCH(1)过程仅依赖于，这表明了GARCH过程比ARCH过程的波动集聚更具持续性。又由(6)式， 是依赖于的无穷多个过去值，而且由(1)式知，GARCH过程仅依赖有限个参数。因此GARCH模型的应用更为广泛，金融界也特别偏爱GARCH模型。
模型的参数估计
对于(G)ARCH模型的参数，通常使用极大似然法(Maximum Likelihood)进行估计。在实际的估计中，通常用到如下两个似然函数。
设，则的似然函数为：
(7)
由于的解释性往往很难得到，所以通常从(7)式所定义的似然函数中省去，特别是当样本容量充分大时，称为似然函数
(8)
实证分析
股票收益率波动研究的意义
股票收益率的聚集波动是证券市场的重要特点之一，波动率作为证券市场风险最简洁和最有效的度量指标之一，与股票市场的风险优质直接的联系，是证券的组合理论、资本资产定价模型和Black-Schole期权定价模型的重要变量。因此，研究我国股票市场波动率的特点对于发展和完善股票市场有着重要的意义。
数据的初步分析
首先对股票市场指数收益率进行描述性统计分析。考虑到1996年12月16日对中国股票市场实行10%的涨跌幅限制，引起了股市交易行为与结构的改变，所以本文选取的数据是1996/12/16-2011/06/24上证综合指数的日收盘指数，样本容量为3507，记为时刻的日收盘指数，定义时刻的对数收益率为：
(9)
对上证综合指数日收益率计算描述性统计量如下：
表 1 综合指数日收益率的描述性统计
峰度远大于3，表明上证综合指数日收益率的边缘分布比正态分布更为尖峰，进行A-D正态性检验的值小于0.005，故上证综合指数日收益率的边缘分布不是正态的。
图 1 上证综合指数日收益率正态性检验
从图 2的收盘指数时间序列图可以看到是不平稳的，但是其对数收益率序列是大致平稳的。
图 2 收益率时间序列与其对数收益率时间序列
从图 3中的相关图表明，收益率序列几乎没有显著的自相关性，滞后3步的ACF稍稍超过了临界值，用混成检验表明为白噪声，但在所图 4给的平方序列相关图表明，平方序列中存在这种自相关性和偏相关性。
(a) 的自相关函数序列(b) 的偏自相关函数序列
图 3收益率序列的自相关函数与偏自相关函数
(a) 的自相关函数序列 (b) 的偏自相关函数序列
图 4 收益率平方序列的自相关函数与偏自相关函数
给出了收益率相对于自由度为6到3的分布的QQ散点图，这些散点图对识别矩条件提供了有用的信息。如果假定收益率的边缘分布时分布，则由自由度最有可能为3，但此时四阶矩不存在，不适合以此来建立合适的时间序列模型。
图 5 上证综合指数收益率与分布的Q-Q图
图 4表明序列中明显存在自相关性，因此对均值方程中的残差平方序列要进行条件一方差性的检验，可以利用混成检验的方法进行。
混成检验是Box和Pierce提出的，即验证的Ljung-Box统计量，其中为样本的自相关函数，常用的值有好几个，模拟研究建议取会有较好的功效。在样本为满足一定矩条件的序列的假定下，渐进于自由度为的随机变量。
给出了在5%的显著性水平下，取1,6,12,18时的Ljung-Box统计量及F统计量的值，结果均显著地拒绝原假设，表明了条件异方差性是存在的。
表 2Ljung-Box统计量
模型的建立与求解
为了对建立条件异方差模型，考虑建立新息为正态分布的GARCH(1,1)模型，利用在第二章提出的条件极大似然法及MATLAB 2010a得到如下结果(括号的数字代表相应估计值的值)：
上述模型中，除了常数项参数外，其余参数在的显著性水平下都是显著的，为了使模型在实际中更具有解释意义，金融资产在较长一段时间里通常有非零的收益率，为此本文保留常数项参数。
图 6显示了模型的新息，给定上述模型时的条件标准差与收益率的变化基本一致的，即当收益率波动较大时，相应的条件标准差的值也较大。而标准化残差平方的ACF(图 7)则进一步从数量上说明残差序列中不存在显著的条件异方差性。
图 6 GARCH(1,1)-N(0,1)的新息、条件标准差与收益率的时序比较图
图 7 GARCH(1,1)-N(0,1)模型的标准化残差平方的ACF
结论
本文在波动率模型的基础上，给出了基于GARCH模型的理论框架，并对上证综合指数收益时间序列进行实证分析。由前述的实证分析，我们得出一些基本结论：
第一，通过引入GARCH模型可以较好表现出金融时间序列的尖峰厚尾与波动集聚性两个特征；
第二，在对GARCH模型的残差进行检验时发现，标准化残差经验分布的尾部比正态分布的尾部更重（见图8），作正态性检验的值小于0.005，这违背了残差应為正态白噪声的假设。主要原因是假定新息服从正态分布，这一假定使得正态新息的GARCH模型不能很好的捕抓序列的厚尾，不能很好的刻画金融时间序列的尾部特征[5]。在今后的学习研究中注重应用基于分布新息的GARCH模型和基于正态方差混合分布的GARCH模型。
图 8 GARCH(1,1)-N(0,1)模型的标准化残差的正态概率图
参 考 文 献
Engle, R.F. Autoregressive conditional heteroskedasticity with estimates of the variances of U.K. inflation [J]. Econometrica, 1982(31):987-1007.
Bollerslev, T. Generalized Autoregressive Conditional Hetsroscedasticity [J]. Journal of Econometrics, 1986(31):307-320
冯峰. 中国股票市场指数收益的时间序列分析[D]. 华东师范大学,2007.
Ruey S. Tsay. Analysis of Financial Time Series [M]. NJ: John Wiley & Sons, Inc., 2002
Eric Jondeau, Ser-Huang Poon and Michael Rockinger. Financial Modeling Under Non-Gaussian Distributions [M]. NJ: Springer. 2000
作者简介：郭艳，（1982-），女，汉族，重庆人，西南财经大学经济学院西方经济学专业2008级在职研究生，现就职于交通银行重庆分行
关键词： GARCH模型；极大似然法；混成检验
Abstract: the stock yield fluctuation has important significance for the risk management and asset pricing, most financial time series with rush thick tail and wave agglomeration features. For ARMA model is widely used, because of its linear properties and obviously does not apply to describe this kind of financial time series. This paper applied the ARCH model proposed by Engle and produced by Bolleslev improved GARCH model to the Chinese market index yield fluctuation is studied.
Key words: GARCH model; The maximum likelihood method; Composite testing
中图分类号：D912.29文献标识码：A文章编号：2095-2104(2013)
前言
传统金融计量模型（如ARMA）假定金融资产价格服从正态分布且价格波动不随时间变化而变化。虽然这一假定使实际问题大大简化而便于分析，但却未能解释金融时间序列的两个重要特征——尖峰厚尾(Leptokurtosis)和波动集聚性(Volatility Clustering)。为解决这一问题，Engle提出的一种条件導方差模型——ARCH(Autoregressive Conditional Heteroscedasticity)模型，Engle注意到AR模型中的无条件期望为0，但其条件期望可以不为0，而是依赖于时间及滞后项(Lag)，并将AR模型应用到条件方差中，从而获得能捕抓金融时间序列特征的ARCH模型[1]。但是ARCH(q)模型常常需要很大的阶数q，这不仅增加了计算量，还带来了解释变量出现多重共线性问题。为避免出现这种局面，Bolleslev通过在方差的解释项中巧妙地引入无穷期滞后阶误差项，得到GARCH(Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity)模型[2]。事实表明，GARCH模型在经济金融领域的应用中取得了良好的效果。
中国股票市场已经运行了20年，中国股票市场指数收益作为一种金融时间序列同样具有一般金融时间序列的尖峰厚尾及异方差的特征，为了深入分析指数收益的性质，本文将给出GARCH模型，并以此模型为中国股票市场的指数进行实证分析。
广义自回归条件异方差(GARCH)模型介绍
GARCH模型
GARCH模型的设定
定义2.1 若为一个时间序列过程，且满足
(1)
其中，。则称上述模型为GARCH(p,q)模型，而称为一个GARCH(p,q)过程。
特别地，当时，即GARCH(1,1)过程，GARCH(1,1)过程是最简单的一种GARCH过程，尽管形式简单，但它在金融实证分析中有着广泛的应用。
GARCH过程的ARMA表示
类似于将ARCH过程表示为AR过程，GARCH过程可以将表示为ARMA过程的形式。若服从GARCH(p,q)过程：
令，则可以证明，即为鞅差序列，从而是一白噪声。这样，由
其中，。因此，为ARMA(max(p,q),q)过程。当时，特征方程的根都在单位圆外，因而平稳，此时的自相关函数(ACF)呈指数衰减[4]。
由上述分析可得GARCH(p,q)过程平稳的条件：
定理2.1 若服从GARCH(p,q)过程，且，则平稳当且仅当。
(G)ARCH模型的性质及其对金融时间序列的经济解释
(G)ARCH模型凭借着良好的性质及经济意义受到广泛的欢迎并大量的应用到金融实证分析中。
定理2.2 设服从(G)ARCH过程，是该(G)ARCH过程的新息过程，则有的峰度不小于的峰度，即。
证明：因为
(2)
对(2)式两端取期望，有詹森不等式得：
于是，
(3)
定理2.3说明(G)ARCH系统可以产生比新息过程更厚的尾部概率，从而可以解释金融时间序列中的尖峰厚尾的特征。
事实上，我们还可以得到GARCH模型能够刻画金融时间序列中波动集聚性特征的结论。
由ARCH模型可得：
于是有
一般地，
（4）
由(4)式可知，时刻较大的可引起随后一段时间较大的波动，因而ARCH过程可以解释金融时间序列中的波动集聚性的特征。
同样地，在GARCH(1,1)过程中
(5)
由于，则，使用向后推移算子表示(5)中的方差方程为，从而有
因此，
(6)
它依赖于的无穷多个过去值，这与ARCH(1,1)存在明显的不同，因为对ARCH(1)过程仅依赖于，这表明了GARCH过程比ARCH过程的波动集聚更具持续性。又由(6)式， 是依赖于的无穷多个过去值，而且由(1)式知，GARCH过程仅依赖有限个参数。因此GARCH模型的应用更为广泛，金融界也特别偏爱GARCH模型。
模型的参数估计
对于(G)ARCH模型的参数，通常使用极大似然法(Maximum Likelihood)进行估计。在实际的估计中，通常用到如下两个似然函数。
设，则的似然函数为：
(7)
由于的解释性往往很难得到，所以通常从(7)式所定义的似然函数中省去，特别是当样本容量充分大时，称为似然函数
(8)
实证分析
股票收益率波动研究的意义
股票收益率的聚集波动是证券市场的重要特点之一，波动率作为证券市场风险最简洁和最有效的度量指标之一，与股票市场的风险优质直接的联系，是证券的组合理论、资本资产定价模型和Black-Schole期权定价模型的重要变量。因此，研究我国股票市场波动率的特点对于发展和完善股票市场有着重要的意义。
数据的初步分析
首先对股票市场指数收益率进行描述性统计分析。考虑到1996年12月16日对中国股票市场实行10%的涨跌幅限制，引起了股市交易行为与结构的改变，所以本文选取的数据是1996/12/16-2011/06/24上证综合指数的日收盘指数，样本容量为3507，记为时刻的日收盘指数，定义时刻的对数收益率为：
(9)
对上证综合指数日收益率计算描述性统计量如下：
表 1 综合指数日收益率的描述性统计
峰度远大于3，表明上证综合指数日收益率的边缘分布比正态分布更为尖峰，进行A-D正态性检验的值小于0.005，故上证综合指数日收益率的边缘分布不是正态的。
图 1 上证综合指数日收益率正态性检验
从图 2的收盘指数时间序列图可以看到是不平稳的，但是其对数收益率序列是大致平稳的。
图 2 收益率时间序列与其对数收益率时间序列
从图 3中的相关图表明，收益率序列几乎没有显著的自相关性，滞后3步的ACF稍稍超过了临界值，用混成检验表明为白噪声，但在所图 4给的平方序列相关图表明，平方序列中存在这种自相关性和偏相关性。
(a) 的自相关函数序列(b) 的偏自相关函数序列
图 3收益率序列的自相关函数与偏自相关函数
(a) 的自相关函数序列 (b) 的偏自相关函数序列
图 4 收益率平方序列的自相关函数与偏自相关函数
给出了收益率相对于自由度为6到3的分布的QQ散点图，这些散点图对识别矩条件提供了有用的信息。如果假定收益率的边缘分布时分布，则由自由度最有可能为3，但此时四阶矩不存在，不适合以此来建立合适的时间序列模型。
图 5 上证综合指数收益率与分布的Q-Q图
图 4表明序列中明显存在自相关性，因此对均值方程中的残差平方序列要进行条件一方差性的检验，可以利用混成检验的方法进行。
混成检验是Box和Pierce提出的，即验证的Ljung-Box统计量，其中为样本的自相关函数，常用的值有好几个，模拟研究建议取会有较好的功效。在样本为满足一定矩条件的序列的假定下，渐进于自由度为的随机变量。
给出了在5%的显著性水平下，取1,6,12,18时的Ljung-Box统计量及F统计量的值，结果均显著地拒绝原假设，表明了条件异方差性是存在的。
表 2Ljung-Box统计量
模型的建立与求解
为了对建立条件异方差模型，考虑建立新息为正态分布的GARCH(1,1)模型，利用在第二章提出的条件极大似然法及MATLAB 2010a得到如下结果(括号的数字代表相应估计值的值)：
上述模型中，除了常数项参数外，其余参数在的显著性水平下都是显著的，为了使模型在实际中更具有解释意义，金融资产在较长一段时间里通常有非零的收益率，为此本文保留常数项参数。
图 6显示了模型的新息，给定上述模型时的条件标准差与收益率的变化基本一致的，即当收益率波动较大时，相应的条件标准差的值也较大。而标准化残差平方的ACF(图 7)则进一步从数量上说明残差序列中不存在显著的条件异方差性。
图 6 GARCH(1,1)-N(0,1)的新息、条件标准差与收益率的时序比较图
图 7 GARCH(1,1)-N(0,1)模型的标准化残差平方的ACF
结论
本文在波动率模型的基础上，给出了基于GARCH模型的理论框架，并对上证综合指数收益时间序列进行实证分析。由前述的实证分析，我们得出一些基本结论：
第一，通过引入GARCH模型可以较好表现出金融时间序列的尖峰厚尾与波动集聚性两个特征；
第二，在对GARCH模型的残差进行检验时发现，标准化残差经验分布的尾部比正态分布的尾部更重（见图8），作正态性检验的值小于0.005，这违背了残差应為正态白噪声的假设。主要原因是假定新息服从正态分布，这一假定使得正态新息的GARCH模型不能很好的捕抓序列的厚尾，不能很好的刻画金融时间序列的尾部特征[5]。在今后的学习研究中注重应用基于分布新息的GARCH模型和基于正态方差混合分布的GARCH模型。
图 8 GARCH(1,1)-N(0,1)模型的标准化残差的正态概率图
参 考 文 献
Engle, R.F. Autoregressive conditional heteroskedasticity with estimates of the variances of U.K. inflation [J]. Econometrica, 1982(31):987-1007.
Bollerslev, T. Generalized Autoregressive Conditional Hetsroscedasticity [J]. Journal of Econometrics, 1986(31):307-320
冯峰. 中国股票市场指数收益的时间序列分析[D]. 华东师范大学,2007.
Ruey S. Tsay. Analysis of Financial Time Series [M]. NJ: John Wiley & Sons, Inc., 2002
Eric Jondeau, Ser-Huang Poon and Michael Rockinger. Financial Modeling Under Non-Gaussian Distributions [M]. NJ: Springer. 2000
作者简介：郭艳，（1982-），女，汉族，重庆人，西南财经大学经济学院西方经济学专业2008级在职研究生，现就职于交通银行重庆分行