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【摘要】数学思想方法作为数学的精髓，蕴含在数学内容当中，与数学知识相互渗透、相互联系。对于数学思想方法的研究既要从理论中认识与学习，又要从教学实践中应用与灌输。时代在召唤数学思维能力强者，数学科学的可持续发展已然成为主流。本文主要探究小学数学思想方法及其教学策略，并主要分为以下几个部分：（1）数学思想方法的研究意义;（2）小学数学典型思想方法分析;（3）小学数学思想方法教学实践的原则。
【关键词】小学数学;数学思想方法;教学实践原则;可持续发展学习能力
荷兰数学家，数学教育家弗莱登塔尔（Hans Freudenthal）曾提出，“与其说学数学，倒不如说学会数学化。”数学化是一个过程，只要现实世界在一系列因素的影响下进行着变化、延拓和深化，这个过程就在持续着。这些因素也包括着数学，而且数学反过来被变化着的现实所吸引。纵使数学知识内容瞬息万变，但数学的本质数学思想方法却始终灌输其中。随着新课标改革推行、生本教育理念提出，数学教育对发展学生的数学思维能力日益重视，教学模式逐渐从“授之以鱼”向“授之以渔”模式的转变。
一、数学思想方法的研究意义
1.发展学生数学思维，形成可持续发展的自学能力
数学思维就是用数学的观点去思考问题和解决问题的能力，可持续发展的学习能力则是指学生终身学习和终身发展所需要的主体探究精神与能力。好的数学思想方法学习可提高学生的思维水平，优化思维品质，真正懂得数学的价值，建立科学的数学观念，并形成良好的个性品质及科学世界观和方法论，为自身可持续发展奠定良好的基础。
2.形成良好的数学认识结构，能自主建构知识体系
数学认识结构是指人们根据自己的经验，将数学知识按照自己理解的广度和深度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点组合成一个具有内部规律的整体结构。数学认识结构的形成，是人们通过数学认知活动后，数学知识结构在大脑中的内化。这个内化过程是一个动态的、发展的过程。数学思想方法渗透在各个知识当中，在教学活动中得以体现，又促进学生理解知识的本质与规律，促进学生把握各个知识点之间的联系，有利于知识架构的形成，利于数学知识的系统性把握，进一步优化数学认识结构。
3.营造素质教育的教学氛围，提高教师的自身素质
新课程改革的全面开展与实施，带来了全新的教育理念，对于教师也赋予了新的时代要求，即树立现代教育理念，树立新的教师观，树立新的学生观。教学理念的现代化，不仅是教学内容的现代化，更注重数学思想、方法以及教学手段的现代化。因此，教学中渗透数学思想方法成為了实现现代化的关键。这也迫使教育者不断钻研以提高自身的教学水平。
二、小学数学中的数学思想方法分析
基本数学思想是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。小学数学发展所依赖的思想本质上有三个，它们构成数学的基本思想，分别是抽象思想、推理思想、模型思想。
1.抽象思想
数学的本质属性就是抽象。数学中的抽象指的是把人们日常生活和社会实践中那些与数学相关的东西吸取出来，去掉事物中感性的部分，得到数学研究的对象，比如数、点、线、面等等。这些抽象的结果在经历了从现实到数学、从数学到高层次的数学逐层次抽象后，变得不再是事物的本身，因此，数学研究的是这些东西之间的关联。
对于小学数学，抽象的内容在本质上有三种：（1）数量与数量关系的抽象;（2）图形与图形关系的抽象;（3）随机关系的抽象。其中，数量关系是小学数学中的基础，主要研究事物内在因果性、规律性、关系性，以数及其运算为主。图形关系主要以讨论图形的直觉和直观为主，其关系的核心在于分类，如，三角形、立方体、抽对称图形等。随机关系则是建立在这些抽象基础上的建构性抽象，一般须让学生亲身经历数据的收集、整理和决策，如，质数和合数。
以数量关系中“数的产生与十进制计数”为例，简述抽象思想。抽象源于生活，数的产生就是从具体形象结绳计数、刻道计数，抽象到阿拉伯数字1，2，3…这是从实物抽象出与数学相关的代表性例子——数字，其本质只有大和小。“大小关系”这一本质得到抽象与具体后，又可以对“序的关系”进行抽象。随着数的量变，以“一”为计数单位的计数方式不再被满足，便出现了以“十”为计数单位的计数方式，这是抽象思维的层次性体现。教科书中以10根小棒捆起来的方式呈现，就是把“10”抽象为“一”。以此类推，以“满十进一”的方式得到后继数，产生了数位顺序表，继而形成了无限的正整数序列：1，2，3…，n，…，数的产生就是逐步抽象的思维过程。
纵观整个小学数学知识网络，抽象思想在数学及教学过程中无处不在。渗透抽象思想，需立足于现实，唤起学生的生活体验，层次性地揭示其本质，只有根据其特点，才更有效地传递给学生。
2.推理思想
数学自身的发展依靠的是推理。推理是从一个或几个已有的判断得出另一个新判断的思维形式。小学数学中的推理主要分为两种形式：演绎推理和合情推理。命题范围由大到小的是演绎推理，反之则是合情推理。三段论、假言推理、选言推理、关系推理等是演绎推理中常见的几种形式，而合情推理常见形式有：归纳推理和类比推理等。
推理思想一般体现在四个领域：数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践。例如，学习3的倍数特征，通过列举3的倍数的数字，发现规律，归纳出结论，是由特殊到一般，属于归纳推理;当我们运用3的倍数的特征去判断一个数是不是3的倍数，这是演绎推理的思想。再举一个蕴含类比推理思想方法的例子。
例1：下图是推导梯形面积时教材提供的一种方法。
请用图1中的字母表示图2中的底、高与面积，则图2的底是_____，高是_____，面积是_____。本题考查的就是学生推理思想方法的应用能力，利用长方形的面积公式，推导梯形的面积。 当然，一个完整的探究活动往往不仅仅体现某种单一的推理思想，常常是几种思想的综合体现。因此，教学中不可偏废任何一种推理思维。不仅如此，推理思想还贯穿于教学的始终，从低年段的找规律、计算方法的总结，到高年段面积、体积公式的推导，无不散发着推理思维的魅力。故推理思想的灌输需注意其自身的延续性，在层层递进中反复渗透。
3.模型思想
“模型”是指为了某种特定目的将原型的某一部分信息简化、压缩、提炼而成的原型替代物。数学模型就是指利用数学语言（包括数学符号、等量关系）对客观现象的运动变化规律进行研究而形成用以反映内部元素之间的空间形式与数量关系的数学结构表达式（包括数学公式、逻辑准则、数学概念）。利用数学模型解决问题的方法为数学模型方法，将现实问题进行具体的数学模型的构造过程称为数学建模，数学建模过程如下：
（1）分析问题：充分了解实际问题，把握问题的现有资源和最终目标;
（2）假设化简：根据实际问题的特征和最终目标，对问题进行简化为数学语言;
（3）构建数学模型：在假设简化的基础，通过适当的教学工具、数学知识来刻画问题，构建数学结构;
（4）求解数学模型：对模型进行求解;
（5）模型检验：对于数学模型以及实际问题吻合程度进行一个评估。如果吻合度较低，需要修正假设重新构建数学模型;如果吻合度较高，需要对模型的求解结果进行分析，给予现实指导。
下图为数学建模的示意图：
模型思想方法的学习主要分两种情况：第一种是基本模型的学习，即学习教材中以例题为代表的新知识。这个过程可能是一个探索的过程，也可能是一个接受学习的过程;第二种是利用基本模型解决各种问题，即利用学习的基本知识解决其它丰富多彩的课外问题。
例2：一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，不妨设a>b>c以四个同样的包装盒为例，约定ab面为“大面”，bc面为“中面”，ac面为“小面”，那么包装四个盒子既要携带方便又要保证节约用纸的前提下，按重叠图形的面积大小应该有如下六种包装方式。
分析：通过比较6ab与4ab 4ac两个代数式，化简可知：只需比较b与2c的大小。
建立模型：
（1）当b>2c，选择方案一方式包装用纸最少。
（2）当b=2c，选择方案一或方案二两种方式都可以使用纸最少。
（3）当b<2，选择方案二方式包装用纸最少。
结论：通过上述分析4个盒子的包装用纸节约问题，我们只需比较长方体中b与2c的大小即可得知选择哪种方案进行包装，显然简单很多。
此题运用了数学的模型思想，通过建立b与2c的数学模型，将从而得出最优解。数学源于生活，服务于生活，能够用数学的思想方法将生活问题抽象成数学模型，从而达到简化问题，解决问题，这是我们学习数学的乐趣以及意义所在。
前已述及，数学模型多指给现实问题以数学的描述，由于教学或应试需要，在解题中会出现了一种從数学到数学的解题模型，与通常所说的模型方法有所区别，但是由于这类模型在教学上占有重要的地位，略作介绍如下。
例3：火车站从A地到B地，中间停靠4个站（不包括A、B两站），那么一共要准备多少种往返车票？
分析：看似往返问题，实则为数线段模型。
通过对该模型的学习，可以解决该类型的相关问题。可知本题的线段数为：5 4 3 2 1=15（段），往返即有序数：15×2=30（种）。
可见，数学模型思想融合了抽象思想、推理思想等，是一种综合性很强的思维方式。它的妙处在于一旦模型建立，便能使抽象的问题变得相对可观、具体，具有广泛的应用价值。
三、小学数学思想方法教学实践的原则
1.同步并进原则
新课改将“双基”变为了“四基”：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。“四基”与数学素养：掌握数学基础知识、训练数学基本技能、领悟数学基本思想、积累数学基本活动经验。数学知识与数学思想方法是相互渗透、相互关联的，只有两者并重，数学教学目标才得以实现。因此，教师应该根据教材特点以及大纲安排，充分挖掘基础知识蕴藏的数学思想方法，并通过精心的教学设计，把知识与数学思想巧妙地融合，使数学思维附于知识载体上被学生一并理解与内化。
2.循序渐进原则
人类认识事物的一般规律：从具体到抽象，从特殊到一般、从感性到理性。数学知识随着学生的身心发展规律不断扩充，数学思想方法的认识也随之由浅入深，逐步提高。上文中提及数学思想方法有其自身的层次性，不同年龄阶段的学生对思想方法的理解程度不同。因此。教师注意设置合理的“最近发展区”，既要温故原有的认识内容，也要在加深点上切入和深入，让学生在巩固原有的数学思想方法的同时，也容易接受扩充的数学思想方法，循序渐进，螺旋上升。
3.反复性原则
数学思想方法的获得并非一步到位，需要在教学过程中反复运用，不断强化。根据对学习过程的研究可知，学生在接受新的数学思想方法的过程中需要反复地理解、多次应用、善于总结、逐渐内化，实现从低级到高级的转变。反复性原则还需要充分了解学生认知水平和数学能力的差异，根据不同年级的教学要求，制定合理的教学处理方案，做到因材施教地反复渗透，切忌急于求成。
4.系统性原则
数学思想方法的渗透应贯穿于整个教学的过程当中，系统性原则要从两个方面进行把关：首先要对每个具体的知识中分析其中蕴含的数学思想方法;另一方面对于重要的数学思想方法可以在某些知识进行渗透。这就需要教师全面研究小学各个年级、各个章节教材所蕴含的数学思想方法，并探究各个数学思想方法在不同阶段的教学任务，做一个系统、全面、科学的教学安排。这是一个长期、复杂而细致的工作，需要基层教育者以及教育专家的共同努力。
四、结论
数学思想方法是学生形成可持续发展学习能力的重要因素，它隐藏于数学内容中，需要教育者深究其特点并整合在知识载体中，有技巧地在课堂中渗透，让学生不断感知、意识、内化并在脑海中形成结晶体，指导学生解决数学及数学以外的其它问题，达到学习数学的最终目的。
参考文献：
[1]张胜利，孔凡哲. 数学抽象在数学教学中的应用[J].教育探索，2012（1）：68-69.
[2]教育部基础教育司数学课程标准研制组.数学课程标准全日制义务教育数学课程标准（试验）[S].北京范大学出版社，2002：2-7.
[3]郭立军，刘凤伟.数学化对学生学习数学概念的影响——以“小数”概念学习为例[J].课程·教材·教法，2018，38（1）：91-96.
[4]吴子林.猜之有据，推之有法--推理思想在小学数学教学中的应用[J].学周刊A版，2014（12）：168.
责任编辑
【关键词】小学数学;数学思想方法;教学实践原则;可持续发展学习能力
荷兰数学家，数学教育家弗莱登塔尔（Hans Freudenthal）曾提出，“与其说学数学，倒不如说学会数学化。”数学化是一个过程，只要现实世界在一系列因素的影响下进行着变化、延拓和深化，这个过程就在持续着。这些因素也包括着数学，而且数学反过来被变化着的现实所吸引。纵使数学知识内容瞬息万变，但数学的本质数学思想方法却始终灌输其中。随着新课标改革推行、生本教育理念提出，数学教育对发展学生的数学思维能力日益重视，教学模式逐渐从“授之以鱼”向“授之以渔”模式的转变。
一、数学思想方法的研究意义
1.发展学生数学思维，形成可持续发展的自学能力
数学思维就是用数学的观点去思考问题和解决问题的能力，可持续发展的学习能力则是指学生终身学习和终身发展所需要的主体探究精神与能力。好的数学思想方法学习可提高学生的思维水平，优化思维品质，真正懂得数学的价值，建立科学的数学观念，并形成良好的个性品质及科学世界观和方法论，为自身可持续发展奠定良好的基础。
2.形成良好的数学认识结构，能自主建构知识体系
数学认识结构是指人们根据自己的经验，将数学知识按照自己理解的广度和深度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点组合成一个具有内部规律的整体结构。数学认识结构的形成，是人们通过数学认知活动后，数学知识结构在大脑中的内化。这个内化过程是一个动态的、发展的过程。数学思想方法渗透在各个知识当中，在教学活动中得以体现，又促进学生理解知识的本质与规律，促进学生把握各个知识点之间的联系，有利于知识架构的形成，利于数学知识的系统性把握，进一步优化数学认识结构。
3.营造素质教育的教学氛围，提高教师的自身素质
新课程改革的全面开展与实施，带来了全新的教育理念，对于教师也赋予了新的时代要求，即树立现代教育理念，树立新的教师观，树立新的学生观。教学理念的现代化，不仅是教学内容的现代化，更注重数学思想、方法以及教学手段的现代化。因此，教学中渗透数学思想方法成為了实现现代化的关键。这也迫使教育者不断钻研以提高自身的教学水平。
二、小学数学中的数学思想方法分析
基本数学思想是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。小学数学发展所依赖的思想本质上有三个，它们构成数学的基本思想，分别是抽象思想、推理思想、模型思想。
1.抽象思想
数学的本质属性就是抽象。数学中的抽象指的是把人们日常生活和社会实践中那些与数学相关的东西吸取出来，去掉事物中感性的部分，得到数学研究的对象，比如数、点、线、面等等。这些抽象的结果在经历了从现实到数学、从数学到高层次的数学逐层次抽象后，变得不再是事物的本身，因此，数学研究的是这些东西之间的关联。
对于小学数学，抽象的内容在本质上有三种：（1）数量与数量关系的抽象;（2）图形与图形关系的抽象;（3）随机关系的抽象。其中，数量关系是小学数学中的基础，主要研究事物内在因果性、规律性、关系性，以数及其运算为主。图形关系主要以讨论图形的直觉和直观为主，其关系的核心在于分类，如，三角形、立方体、抽对称图形等。随机关系则是建立在这些抽象基础上的建构性抽象，一般须让学生亲身经历数据的收集、整理和决策，如，质数和合数。
以数量关系中“数的产生与十进制计数”为例，简述抽象思想。抽象源于生活，数的产生就是从具体形象结绳计数、刻道计数，抽象到阿拉伯数字1，2，3…这是从实物抽象出与数学相关的代表性例子——数字，其本质只有大和小。“大小关系”这一本质得到抽象与具体后，又可以对“序的关系”进行抽象。随着数的量变，以“一”为计数单位的计数方式不再被满足，便出现了以“十”为计数单位的计数方式，这是抽象思维的层次性体现。教科书中以10根小棒捆起来的方式呈现，就是把“10”抽象为“一”。以此类推，以“满十进一”的方式得到后继数，产生了数位顺序表，继而形成了无限的正整数序列：1，2，3…，n，…，数的产生就是逐步抽象的思维过程。
纵观整个小学数学知识网络，抽象思想在数学及教学过程中无处不在。渗透抽象思想，需立足于现实，唤起学生的生活体验，层次性地揭示其本质，只有根据其特点，才更有效地传递给学生。
2.推理思想
数学自身的发展依靠的是推理。推理是从一个或几个已有的判断得出另一个新判断的思维形式。小学数学中的推理主要分为两种形式：演绎推理和合情推理。命题范围由大到小的是演绎推理，反之则是合情推理。三段论、假言推理、选言推理、关系推理等是演绎推理中常见的几种形式，而合情推理常见形式有：归纳推理和类比推理等。
推理思想一般体现在四个领域：数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践。例如，学习3的倍数特征，通过列举3的倍数的数字，发现规律，归纳出结论，是由特殊到一般，属于归纳推理;当我们运用3的倍数的特征去判断一个数是不是3的倍数，这是演绎推理的思想。再举一个蕴含类比推理思想方法的例子。
例1：下图是推导梯形面积时教材提供的一种方法。
请用图1中的字母表示图2中的底、高与面积，则图2的底是_____，高是_____，面积是_____。本题考查的就是学生推理思想方法的应用能力，利用长方形的面积公式，推导梯形的面积。 当然，一个完整的探究活动往往不仅仅体现某种单一的推理思想，常常是几种思想的综合体现。因此，教学中不可偏废任何一种推理思维。不仅如此，推理思想还贯穿于教学的始终，从低年段的找规律、计算方法的总结，到高年段面积、体积公式的推导，无不散发着推理思维的魅力。故推理思想的灌输需注意其自身的延续性，在层层递进中反复渗透。
3.模型思想
“模型”是指为了某种特定目的将原型的某一部分信息简化、压缩、提炼而成的原型替代物。数学模型就是指利用数学语言（包括数学符号、等量关系）对客观现象的运动变化规律进行研究而形成用以反映内部元素之间的空间形式与数量关系的数学结构表达式（包括数学公式、逻辑准则、数学概念）。利用数学模型解决问题的方法为数学模型方法，将现实问题进行具体的数学模型的构造过程称为数学建模，数学建模过程如下：
（1）分析问题：充分了解实际问题，把握问题的现有资源和最终目标;
（2）假设化简：根据实际问题的特征和最终目标，对问题进行简化为数学语言;
（3）构建数学模型：在假设简化的基础，通过适当的教学工具、数学知识来刻画问题，构建数学结构;
（4）求解数学模型：对模型进行求解;
（5）模型检验：对于数学模型以及实际问题吻合程度进行一个评估。如果吻合度较低，需要修正假设重新构建数学模型;如果吻合度较高，需要对模型的求解结果进行分析，给予现实指导。
下图为数学建模的示意图：
模型思想方法的学习主要分两种情况：第一种是基本模型的学习，即学习教材中以例题为代表的新知识。这个过程可能是一个探索的过程，也可能是一个接受学习的过程;第二种是利用基本模型解决各种问题，即利用学习的基本知识解决其它丰富多彩的课外问题。
例2：一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，不妨设a>b>c以四个同样的包装盒为例，约定ab面为“大面”，bc面为“中面”，ac面为“小面”，那么包装四个盒子既要携带方便又要保证节约用纸的前提下，按重叠图形的面积大小应该有如下六种包装方式。
分析：通过比较6ab与4ab 4ac两个代数式，化简可知：只需比较b与2c的大小。
建立模型：
（1）当b>2c，选择方案一方式包装用纸最少。
（2）当b=2c，选择方案一或方案二两种方式都可以使用纸最少。
（3）当b<2，选择方案二方式包装用纸最少。
结论：通过上述分析4个盒子的包装用纸节约问题，我们只需比较长方体中b与2c的大小即可得知选择哪种方案进行包装，显然简单很多。
此题运用了数学的模型思想，通过建立b与2c的数学模型，将从而得出最优解。数学源于生活，服务于生活，能够用数学的思想方法将生活问题抽象成数学模型，从而达到简化问题，解决问题，这是我们学习数学的乐趣以及意义所在。
前已述及，数学模型多指给现实问题以数学的描述，由于教学或应试需要，在解题中会出现了一种從数学到数学的解题模型，与通常所说的模型方法有所区别，但是由于这类模型在教学上占有重要的地位，略作介绍如下。
例3：火车站从A地到B地，中间停靠4个站（不包括A、B两站），那么一共要准备多少种往返车票？
分析：看似往返问题，实则为数线段模型。
通过对该模型的学习，可以解决该类型的相关问题。可知本题的线段数为：5 4 3 2 1=15（段），往返即有序数：15×2=30（种）。
可见，数学模型思想融合了抽象思想、推理思想等，是一种综合性很强的思维方式。它的妙处在于一旦模型建立，便能使抽象的问题变得相对可观、具体，具有广泛的应用价值。
三、小学数学思想方法教学实践的原则
1.同步并进原则
新课改将“双基”变为了“四基”：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。“四基”与数学素养：掌握数学基础知识、训练数学基本技能、领悟数学基本思想、积累数学基本活动经验。数学知识与数学思想方法是相互渗透、相互关联的，只有两者并重，数学教学目标才得以实现。因此，教师应该根据教材特点以及大纲安排，充分挖掘基础知识蕴藏的数学思想方法，并通过精心的教学设计，把知识与数学思想巧妙地融合，使数学思维附于知识载体上被学生一并理解与内化。
2.循序渐进原则
人类认识事物的一般规律：从具体到抽象，从特殊到一般、从感性到理性。数学知识随着学生的身心发展规律不断扩充，数学思想方法的认识也随之由浅入深，逐步提高。上文中提及数学思想方法有其自身的层次性，不同年龄阶段的学生对思想方法的理解程度不同。因此。教师注意设置合理的“最近发展区”，既要温故原有的认识内容，也要在加深点上切入和深入，让学生在巩固原有的数学思想方法的同时，也容易接受扩充的数学思想方法，循序渐进，螺旋上升。
3.反复性原则
数学思想方法的获得并非一步到位，需要在教学过程中反复运用，不断强化。根据对学习过程的研究可知，学生在接受新的数学思想方法的过程中需要反复地理解、多次应用、善于总结、逐渐内化，实现从低级到高级的转变。反复性原则还需要充分了解学生认知水平和数学能力的差异，根据不同年级的教学要求，制定合理的教学处理方案，做到因材施教地反复渗透，切忌急于求成。
4.系统性原则
数学思想方法的渗透应贯穿于整个教学的过程当中，系统性原则要从两个方面进行把关：首先要对每个具体的知识中分析其中蕴含的数学思想方法;另一方面对于重要的数学思想方法可以在某些知识进行渗透。这就需要教师全面研究小学各个年级、各个章节教材所蕴含的数学思想方法，并探究各个数学思想方法在不同阶段的教学任务，做一个系统、全面、科学的教学安排。这是一个长期、复杂而细致的工作，需要基层教育者以及教育专家的共同努力。
四、结论
数学思想方法是学生形成可持续发展学习能力的重要因素，它隐藏于数学内容中，需要教育者深究其特点并整合在知识载体中，有技巧地在课堂中渗透，让学生不断感知、意识、内化并在脑海中形成结晶体，指导学生解决数学及数学以外的其它问题，达到学习数学的最终目的。
参考文献：
[1]张胜利，孔凡哲. 数学抽象在数学教学中的应用[J].教育探索，2012（1）：68-69.
[2]教育部基础教育司数学课程标准研制组.数学课程标准全日制义务教育数学课程标准（试验）[S].北京范大学出版社，2002：2-7.
[3]郭立军，刘凤伟.数学化对学生学习数学概念的影响——以“小数”概念学习为例[J].课程·教材·教法，2018，38（1）：91-96.
[4]吴子林.猜之有据，推之有法--推理思想在小学数学教学中的应用[J].学周刊A版，2014（12）：168.
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