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【摘要】在小学数学教学中，一些教师的教学方式方法传统且单一，致使学生无法掌握和理解数学知识，严重影响了学生的正常学习。因此，教师要重视学生对数学知识和内容感知、领悟的程度，结合学生的认知特点和能力，实施合宜的教学举措，让学生在思考、操作、交流等活动中对数学对象能够“入木三分”，以提高学生对数学问题的认识和对数学知识的理解。
【关键词】数学学习；知识；思维；感知
作为数学教学的对象，数学知识和内容一般需要有充分体验和多元感知的过程，这样学生才能获得直接、准确的认知，进而实现真正的数学理解。但是实际教学中，有不少通过“感知”才能获得“理解”的教学内容，其教学目标通常都比较模糊，教学方式一般也比较单一。例如数感的形成、空间观念的建立、数学思想方法的渗透、常见量的认识和把握等。类似内容的教学，老师们经常表现出无所适从，学生在课堂中也就常常“走马观花”，以致诸如“新授内容习题化”“教与不教一个样”等现象屡见不鲜，严重影响学生对数学内容的认知和理解。而且对数学对象感知的程度通常决定着学习者认知的程度，而认知的程度又往往决定了数学理解的深度，其中，学生对这些数学对象的感知程度又是隐性的、不易觉察的。因此，数学教学需要重视学生对数学知识和内容的感知、领悟的程度，结合学生的认知特点和能力，实施合宜的教学举措，让学生在思考、操作、交流等活动中对数学对象能够“入木三分”，以提高学生对数学问题的认识和数学知识的理解。下面以苏教版数学四下《一亿有多大》为例，试析让学生感知数学知识和内容的应有目标与可能方法。
一、知识方面着力达“意”
“意”，即意思、意义、会意等。达“意”是指学生对数学内容意义的大致了解、对数学概念意义的粗略把握和对数学知识内涵的整体感知等，是数学教学最基本的目标和要求。达“意”是对数学知识和内容的表征、性质等的一种宽泛认知。
对“一亿有多大”的探讨，教材以“综合实践活动”课型设计了四个教学活动，第一个活动是“说一说”，让学生说说对“1亿”的认识，创设了让学生结合已有认识说说“1亿有多大”的交流活动，是学生进一步把握“1亿”的基础。根据知识的编排体系和学生的学习实际，学生可能依据“数级”的前后承接关系回顾“10个一千万是1亿”或“1万个一万是1亿”，也可能依据习题中呈现的相关问题而获得如“1亿枚1元银币重 600吨”等经验认识，甚至结合中国人口数、中国陆地面积等生活常识来介绍对“1亿”的认识。可以说，如果绝大多数学生能从学科知识和生活实际两个角度来阐释自己对“1亿”的认识，那就说明学生对“亿”已经有了一定的认识，已经感受到“1亿”确实是一个很大的数，认识到以“1亿”为计量单位的物品是非常重、非常多的。从知识的层面说，已经达成教学目标了，学生已经具有了“1亿”的知识基础，已经具备了进一步感知“1亿”大小的前提。
二、思维层面力求知“联”
对数学知识的认识光有浅显知晓肯定是远远不够的，还需要思考其与相似、相关概念之间的联系与区别，在比较、联系中加深对数学知识的感知和认识。“知联”就是要求数学教学凸显知识之间的联系，让学生在关联、迁移中获得多元的认知。
对“1亿有多大”的教学，教材除了设计了“说一说”的活动，还借助“计算器计算”编排了“数一数”“量一量”和“称一称”三个操作活动，借助“数100本练习本的时间”“量10枚1元硬币的厚度”和“称100粒大米的质量”三个有操作有推理的体验活动，让学生得出“数1亿本练习本的时间”“1亿枚1元硬币的厚度”和“1亿粒大米的质量”，活动不可谓不多样，学生的感受不可谓不多元。但是审视用心良苦的活动设计，学生除感受到1亿“很长、很高、很重”之外，以“抽象的概念理解其他抽象概念”的不足也是显然的，因为对单位质量、时间概念来说，学生的感受通常是不清晰，把握通常是不准确的，用不清晰、不准确的感受和认识理解其他不具关联性的概念，这样的操作往往也具有不确定性，所以说，这样推算出的数据肯定不科学，操作效果肯定不容乐观！对此，可以将三个实践活动与学生生活实际密切、充分联系起来，有助于学生对“亿”的认知和把握。例如在“数一数”的环节，教师先抛出“一个人按正常的速度1年能数完1亿本练习本吗？”让学生先进行判断和猜测，然后在拿100本新练习本进行三轮试验，求出平均值大约45秒数100本，然后借助计算器进行推算和计算，得出如果像机器人那样每天数24小时大约需要1.4年能数完1亿本练习本，如果按人工每天只工作8小时大约需要4.3年能数完1亿本练习本……接着反过来再追问和计算“假如一个人一生大约工作35年，那么大约可以数8～25亿本练习本”。再例如根据10枚1元的硬币大约厚2厘米，那么1亿枚1元硬币就厚20000000厘米，即200000米或200千米。再让学生算一算，如果将这些硬币竖着立于250米长的跑道正好可以立多少圈，如果竖着排列大约是扬州到南京汽车路程的几倍等。这样，以问题为驱动，将抽象的数据与学生熟知的事物结合起来，能够让学生感受到“1亿”与生活实际的关系，为在多元信息的作用下实现对“1亿”的进一步理解提供可能。
三、感知维度臻于构“形”
“构形”既是必要的教学方式也是实现“入木三分”的应有目标，意思是在整体感知数学对象的前提下，让学生能够获得对其内涵有较为全面的了解和深刻的认知。换言之，不管是对“数”的大小的感知还是对“图形”特征的把握，数学教学都需要让学生有个类似“形”的形象记忆。
“亿”是一个抽象的计数单位，要让学生对“亿”有比较形象的理解，估计没有数学思维的成人通常都难以企及，所以需要以形象的依托作为感知的辅助支撑，进而促进学生对数学的理解。在上述让学生知道“1亿枚1元硬币的高度大约是扬州到南京汽车路程的2倍”后，不妨补充单位面积1平方米，出示1个1平方米的正方形后，让学生比划一下1平方米的大小（教室1块地砖的大小），再想一想1亿平方米有多大，然后引导学生得出边长10000米的正方形的面积就是1亿平方米，接着出示学校的平面图并告诉学生学校的面积大约是40000平方米，让学生算出大约2500个学校占地面积是1亿平方米，最后将大大的学校平面图缩得很小，再呈现2500个学校平面图即1亿平方米，让学生说一说“看着图你有什么想法？”。如此操作，在交流、比较中，给学生留下的不仅仅是“很大、很多”的一些宽泛的、模糊的印象，还有在强烈视觉冲击下头脑中留下的“形”的记忆。不难看出，关于路程的关系是在一维图形层面的感知，而借助单位面积1平方米推算和想象是二维图形层面的比况，待学生以后学了体积单位后还可能实现三维形体层面的感悟。概言之，以“形”的方式让学生感知数学内容，以多维的、多元的教学手段让学生构建数学对象的印象，既丰富了学生的认知，又帮助学生对教学内容进行把握和理解。
总之，达“意”、知“聯”和构“形”，三者既是并列关系的实现教学目标的方式，又是具有递进意味的“入木三分”的教学维度和要求。类似“一亿有多大”的教学内容不在少数，教学的着力点可能会不尽相同，但都值得我们咀嚼和探索。如对千克和克的认识、体积和体积单位等。教学中，不论是对“数”的感知还是对数学思想的领悟，不论是对“形”的把握还是对规律性质的理解，都需要创设丰富的实践活动，都需要给学生创造感受数学、领悟数学的机会。唯有如此，学生的数学学习才是立体的、可感的，才能 “入木三分”！
【关键词】数学学习；知识；思维；感知
作为数学教学的对象，数学知识和内容一般需要有充分体验和多元感知的过程，这样学生才能获得直接、准确的认知，进而实现真正的数学理解。但是实际教学中，有不少通过“感知”才能获得“理解”的教学内容，其教学目标通常都比较模糊，教学方式一般也比较单一。例如数感的形成、空间观念的建立、数学思想方法的渗透、常见量的认识和把握等。类似内容的教学，老师们经常表现出无所适从，学生在课堂中也就常常“走马观花”，以致诸如“新授内容习题化”“教与不教一个样”等现象屡见不鲜，严重影响学生对数学内容的认知和理解。而且对数学对象感知的程度通常决定着学习者认知的程度，而认知的程度又往往决定了数学理解的深度，其中，学生对这些数学对象的感知程度又是隐性的、不易觉察的。因此，数学教学需要重视学生对数学知识和内容的感知、领悟的程度，结合学生的认知特点和能力，实施合宜的教学举措，让学生在思考、操作、交流等活动中对数学对象能够“入木三分”，以提高学生对数学问题的认识和数学知识的理解。下面以苏教版数学四下《一亿有多大》为例，试析让学生感知数学知识和内容的应有目标与可能方法。
一、知识方面着力达“意”
“意”，即意思、意义、会意等。达“意”是指学生对数学内容意义的大致了解、对数学概念意义的粗略把握和对数学知识内涵的整体感知等，是数学教学最基本的目标和要求。达“意”是对数学知识和内容的表征、性质等的一种宽泛认知。
对“一亿有多大”的探讨，教材以“综合实践活动”课型设计了四个教学活动，第一个活动是“说一说”，让学生说说对“1亿”的认识，创设了让学生结合已有认识说说“1亿有多大”的交流活动，是学生进一步把握“1亿”的基础。根据知识的编排体系和学生的学习实际，学生可能依据“数级”的前后承接关系回顾“10个一千万是1亿”或“1万个一万是1亿”，也可能依据习题中呈现的相关问题而获得如“1亿枚1元银币重 600吨”等经验认识，甚至结合中国人口数、中国陆地面积等生活常识来介绍对“1亿”的认识。可以说，如果绝大多数学生能从学科知识和生活实际两个角度来阐释自己对“1亿”的认识，那就说明学生对“亿”已经有了一定的认识，已经感受到“1亿”确实是一个很大的数，认识到以“1亿”为计量单位的物品是非常重、非常多的。从知识的层面说，已经达成教学目标了，学生已经具有了“1亿”的知识基础，已经具备了进一步感知“1亿”大小的前提。
二、思维层面力求知“联”
对数学知识的认识光有浅显知晓肯定是远远不够的，还需要思考其与相似、相关概念之间的联系与区别，在比较、联系中加深对数学知识的感知和认识。“知联”就是要求数学教学凸显知识之间的联系，让学生在关联、迁移中获得多元的认知。
对“1亿有多大”的教学，教材除了设计了“说一说”的活动，还借助“计算器计算”编排了“数一数”“量一量”和“称一称”三个操作活动，借助“数100本练习本的时间”“量10枚1元硬币的厚度”和“称100粒大米的质量”三个有操作有推理的体验活动，让学生得出“数1亿本练习本的时间”“1亿枚1元硬币的厚度”和“1亿粒大米的质量”，活动不可谓不多样，学生的感受不可谓不多元。但是审视用心良苦的活动设计，学生除感受到1亿“很长、很高、很重”之外，以“抽象的概念理解其他抽象概念”的不足也是显然的，因为对单位质量、时间概念来说，学生的感受通常是不清晰，把握通常是不准确的，用不清晰、不准确的感受和认识理解其他不具关联性的概念，这样的操作往往也具有不确定性，所以说，这样推算出的数据肯定不科学，操作效果肯定不容乐观！对此，可以将三个实践活动与学生生活实际密切、充分联系起来，有助于学生对“亿”的认知和把握。例如在“数一数”的环节，教师先抛出“一个人按正常的速度1年能数完1亿本练习本吗？”让学生先进行判断和猜测，然后在拿100本新练习本进行三轮试验，求出平均值大约45秒数100本，然后借助计算器进行推算和计算，得出如果像机器人那样每天数24小时大约需要1.4年能数完1亿本练习本，如果按人工每天只工作8小时大约需要4.3年能数完1亿本练习本……接着反过来再追问和计算“假如一个人一生大约工作35年，那么大约可以数8～25亿本练习本”。再例如根据10枚1元的硬币大约厚2厘米，那么1亿枚1元硬币就厚20000000厘米，即200000米或200千米。再让学生算一算，如果将这些硬币竖着立于250米长的跑道正好可以立多少圈，如果竖着排列大约是扬州到南京汽车路程的几倍等。这样，以问题为驱动，将抽象的数据与学生熟知的事物结合起来，能够让学生感受到“1亿”与生活实际的关系，为在多元信息的作用下实现对“1亿”的进一步理解提供可能。
三、感知维度臻于构“形”
“构形”既是必要的教学方式也是实现“入木三分”的应有目标，意思是在整体感知数学对象的前提下，让学生能够获得对其内涵有较为全面的了解和深刻的认知。换言之，不管是对“数”的大小的感知还是对“图形”特征的把握，数学教学都需要让学生有个类似“形”的形象记忆。
“亿”是一个抽象的计数单位，要让学生对“亿”有比较形象的理解，估计没有数学思维的成人通常都难以企及，所以需要以形象的依托作为感知的辅助支撑，进而促进学生对数学的理解。在上述让学生知道“1亿枚1元硬币的高度大约是扬州到南京汽车路程的2倍”后，不妨补充单位面积1平方米，出示1个1平方米的正方形后，让学生比划一下1平方米的大小（教室1块地砖的大小），再想一想1亿平方米有多大，然后引导学生得出边长10000米的正方形的面积就是1亿平方米，接着出示学校的平面图并告诉学生学校的面积大约是40000平方米，让学生算出大约2500个学校占地面积是1亿平方米，最后将大大的学校平面图缩得很小，再呈现2500个学校平面图即1亿平方米，让学生说一说“看着图你有什么想法？”。如此操作，在交流、比较中，给学生留下的不仅仅是“很大、很多”的一些宽泛的、模糊的印象，还有在强烈视觉冲击下头脑中留下的“形”的记忆。不难看出，关于路程的关系是在一维图形层面的感知，而借助单位面积1平方米推算和想象是二维图形层面的比况，待学生以后学了体积单位后还可能实现三维形体层面的感悟。概言之，以“形”的方式让学生感知数学内容，以多维的、多元的教学手段让学生构建数学对象的印象，既丰富了学生的认知，又帮助学生对教学内容进行把握和理解。
总之，达“意”、知“聯”和构“形”，三者既是并列关系的实现教学目标的方式，又是具有递进意味的“入木三分”的教学维度和要求。类似“一亿有多大”的教学内容不在少数，教学的着力点可能会不尽相同，但都值得我们咀嚼和探索。如对千克和克的认识、体积和体积单位等。教学中，不论是对“数”的感知还是对数学思想的领悟，不论是对“形”的把握还是对规律性质的理解，都需要创设丰富的实践活动，都需要给学生创造感受数学、领悟数学的机会。唯有如此，学生的数学学习才是立体的、可感的，才能 “入木三分”！