摘 要：所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤. 本文探讨放缩法在解题中的运用策略.
　　关键词：放缩法；不等式；运用策略
　　所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照要证题目的目标进行合情合理的放大和缩小的过程，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是用其他方法证明问题时的一个重要步骤.下面举例谈谈放缩法在解题中的运用策略.
　　[?] 通过“初项”、“末项”放缩
　　例1 设n为大于1的自然数，求证： … >. （2011年江苏模拟题）
　　证明：（放缩法） … > … =.
　　点评：对于分母为连续整数的不等式问题需要用到“初项”、“末项”进行放缩.
　　[?] 通过裂项、拆项放缩
　　例2 证明： … <1（n∈N ，n≥2）.
　　证明： … < … =1- - - … -=1-<1
　　点评：对于分母为整数乘积形式的不等式问题需要通过裂项进行放缩.
　　例3 已知数列{an}的通项公式an=，其前n项和为Sn，求证：Sn>·-，n∈N . （2013年江苏模拟题改编）
　　证明：因为an=，所以an=>=，所以Sn=a1 a2 … an>[（-1） （-） … （-）]=-，
　　所以本题得证.
　　点评：对于部分含根号形式的不等式问题需要通过拆项进行放缩.
　　[?] 利用函数单调性进行放缩
　　例4 已知a，b，c是△ABC的三边，求证： >.
　　证明： > =. 因为f（x）=在（0， ∞）上是增函数，且a b>c，所以f（a b）>f（c），即>，所以 >.
　　点评：根据此类试题特征，构造特殊的函数，利用其单调性进行放缩求解.
　　[?] 利用添项或减项进行放缩
　　例5 设a，b为不相等的两正数，且a3-b3=a2-b2，求证：1　　解：由题设得a2 ab b2=a b，于是（a b）2>a2 ab b2. 又a b>0，所以a b>1.
　　又ab<（a b）2，而（a b）2=a b ab　　所以a b<，故1　　点评：对于此类试题通过对分式中的分子或分母、不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的.
　　[?] 利用基本不等式进行放缩
　　例6 已知函数f（x）=x2 lnx，设g（x）=f ′（x）.
　　证明：[g（x）]n-g（xn）≥2n-2（n∈N ）. （2013年江苏模拟题改编）
　　证明：g（x）=f ′（x）=
　　x2 lnx
　　′=x ，要证[g（x）]n-g（xn）≥2n-2（n∈N ）成立，即要证
　　x
　　-
　　xn
　　≥2n-2.
　　当n=1时，不等式成立.
　　当n≥2时，上式左边=Cxn-1 Cxn-2 … Cx=Cxn-2 Cxn-4 … C=
　　C
　　xn-2
　　 C
　　xn-4
　　 … C
　　 xn-2
　　≥·2（C C … C）=2n-2.
　　点评：对
　　C
　　xn-2
　　 C
　　xn-4
　　 … C
　　 xn-2
　　利用基本不等式进行放缩是解决本题的关键.
　　[?] 利用题目已知条件进行放缩
　　例7 已知数列{an}满足a1=2，an 1=a-（n 1），证明：an>n（n≥3）. （2013年江苏模拟题改编）
　　证明：当n=1时，a1=2>1，a2=a-2=22-2=2.
　　当n=2时，a3=a-3=23-3=5>3，
　　所以，当n=3时，a3>3成立.
　　假设n=k时，ak>k成立，
　　那么，n=k 1时，
　　ak 1=a-（k 1）>kk 1-（k 1）>k2 1-（k 1）=k2k-（k 1）≥9k-k-1=8k-1.
　　因为8k-1-（k 1）=7k-2>0，所以8k-1>k 1，所以ak 1>k 1，所以n=k 1时也成立，所以an>n（n≥3）.
　　点评：本题进行了两次放缩，先利用数学归纳法的假设将式子ak 1=a-（k 1）缩小为kk 1-（k 1），第二次利用题目中的条件n≥3进一步将kk 1-（k 1）缩小为9k-k-1，从而证明了本题.