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概率是新课程标准下数学教材中涉及一个重要的知识点,它密切联系生活与现实世界,使数学情景新颖别致丰富多彩.近年来常与几何、函数、方程等知识点相结合,考查也由考概念、计算向考实际应用、阅读理解、判断说理转变.本文列举几例解析,供学习借鉴.
视点一:与几何图形相结合
例1 (吉林)如图1,口袋中有5张完全相同的卡片,分别写有1 cm、2 cm、3 cm、4 cm 和5 cm,口袋外有2张卡片,分别写有4 cm 和5 cm.现随机从袋中取出一张卡片,与口袋外两张卡片放在一起,以卡片上的数量分别作为三条线段的长度,回答下列问题:
(1)求这三条线段能构成三角形的概率;
(2)求这三条线段能构成直角三角形的概率;
(3)求这三条线段能构成等腰三角形的概率.
解析:随机从袋中取出一张卡片,与口袋外两张卡片放在一起,以卡片上的数量分别作为三条线段的长度共有5种等可能的情形(1、4、5)、(2、4、5)(3、4、5)(4、4、5)(5、4、5).
(1)根据三角形两边之和大于第三边,才能构成三角形,可以判断情形(1、4、5)不能构成三角形,故P(这三条线段能构成三角形的概率)=45.
(2)根据勾股定理的逆定理因为32+42=52,所以情形(3、4、5)能构成直角三角形,故P(这三条线段能构成直角三角形的概率)=15.
(3)显然,P(这三条线段能构成等腰三角形的概率)=25.
视点二:与函数相结合
例2 (镇江市)有A,B两个黑布袋,A布袋中有两个完全相同的小球,分别标有数字1和2.B布袋中有三个完全相同的小球,分别标有数字-1,-2,和-3.小明从A布袋中随机取出一个小球,记录其标有的数字为 x,再从B布袋中随机取出一个小球,记录其标有的数字为y,这样就确定点Q的一个坐标为(x,y).
(1)用列表或画树状图的方法写出点Q的所有可能坐标;
(2)求点Q落在直线 y=x-3上的概率.
解析:(1)用列表或画树状图的方法求点Q的坐标有(1,-1),(1,-2),(1,-3),(2,-1),(2,-2),(2,-3).
(2)“点Q落在直线 y=x-3上”记为事件A,所以P(A)=26=13,即点Q落在直线y=x-3上的概率为13.
视点三:与方程(组)相结合
例3 (大连)在围棋盒中有 x 颗黑色棋子和 y 颗白色棋子,从盒中随机地取出一个棋子,如果它是黑色棋子的概率是38.
(1)试写出 y 与 x 的函数关系式.
(2)若往盒中再放进10颗黑色棋子,则取得黑色棋子的概率变为12,求 x 和 y 的值.
解析:(1)根据题意,得xx+y=38,
8x=3x+3y,3y=5x,y=53x;
(2)根据题意,得y=53xx+10x+y+10=12,
解得,x=15,y=25.
视点四:与其它学科的整合
例4 (苏州)如图2,电路图上有四个开关A、B、C、D
和一个小灯泡,闭合开关D或同时闭合开关A,B,C都可使小灯泡发光.
(1)任意闭合其中一个开关,则小灯泡发光的概率等于;
(2)任意闭合其中两个开关,请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率.
解析:这是与物理电路相结合的综合题,必须熟悉电路的基本原理.
(1)14;
(2)正确画出树状图(或列表)任意闭合其中两个开关的情况共有12种,其中能使小灯泡发光的情况有6种,小灯泡发光的概率是12.
视点五:建立模型与解决问题的阅读理解
例5 (青岛市)实际问题:某学校共有18个教学班,每班的学生数都是40人.为了解学生课余时间上网情况,学校打算做一次抽样调查,如果要确保全校抽取出来的学生中至少有10人在同一班级,那么全校最少需抽取多少名学生?
建立模型:为解决上面的“实际问题”,我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型:
在不透明的口袋中装有红、黄、白三种颜色的小球各20个(除颜色外完全相同),现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的,则最少需摸出多少个小球?
为了找到解决问题的办法,我们可把上述问题简单化:
(1)我们首先考虑最简单的情况:即要确保从口袋中摸出的小球至少有2个是同色的,则最少需摸出多少个小球?
假若从袋中随机摸出3个小球,它们的颜色可能会出现多种情况,其中最不利的情况就是它们的颜色各不相同,那么只需再从袋中摸出1个小球就可确保至少有2个小球同色,即最少需摸出小球的个数是:1+3=4(如图4①);
(2)若要确保从口袋中摸出的小球至少有3个是同色的呢?
我们只需在(1)的基础上,再从袋中摸出3个小球,就可确保至少有3个小球同色,即最少需摸出小球的个数是:1+3×2=7(如图4②)
(3)若要确保从口袋中摸出的小球至少有4个是同色的呢?
我们只需在(2)的基础上,再从袋中摸出3个小球,就可确保至少有4个小球同色,即最少需摸出小球的个数是:1+3×3=10(如图4③):
……
(10)若要确保从口袋中摸出的小球至少有10个是同色的呢?
我们只需在(9)的基础上,再从袋中摸出3个小球,就可确保至少有10个小球同色,即最少需摸出小球的个数是:1+3×(10-1)=28(如图4⑩)
模型拓展一:在不透明的口袋中装有红、黄、白、蓝、绿五种颜色的小球各20分(除颜色外完全相同),现从袋中随机摸球:
(1)若要确保摸出的小球至少有2个同色,则最少需摸出小球的个数是;
(2)若要确保摸出的小球至少有10个同色,则最少需摸出小球的个数是;
(3)若要确保摸出的小球至少有 n 个同色(n<20),则最少需摸出小球的个数是.
模型拓展二:在不透明口袋中装有 m 种颜色的小球各20个(除颜色外完全相同),现从袋中随机摸球:
(1)若要确保摸出的小球至少有2个同色,则最少需摸出小球的个数是.
(2)若要确保摸出的小球至少有 n 个同色(n<20),则最少需摸出小球的个数是.
问题解决:(1)请把本题中的“实际问题“转化为一个从口袋中摸球的数学模型;
(2)根据(1)中建立的数学模型,求出全校最少需抽取多少名学生.
解析:模型拓展一:(1)1+5=6;(2)1+5×9=46;(3)1+5(n-1).
模型拓展二:(1)1+m;(2)1+m(n-1).
问题解决:(1)在不透明口袋中放入18种颜色的小球(小球除颜色外完全相同)各40个,现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的,则最少需摸出多少个小球?
(2)1+18×(10-1)=163.
视点六:与实验相结合的说理问题
例6 (贵阳)小颖和小红两位同学在学习“概率”时,做投掷骰子(质地均匀的正方体)实验,他们共做了60次实验,实验的结果如下:
朝上的点数123456
出现的次数79682010
(1)计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率.
(2)小颖说:“根据实验,一次实验中出现5点朝上的概率最大”;小红说:“如果投掷600次,那么出现6点朝上的次数正好是100次.”小颖和小红的说法正确吗?为什么?
解析:(1)“3点朝上”出现的频率是660=110,“5点朝上”出现的频率是2060=13;
(2)小颖的说法是错误的.这是因为,“5点朝上”的频率最大并不能说明“5点朝上”这一事件发生的频率最大.只有当实验的次数足够大时,该事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近.小红的判断是错误的,因为事件发生具有随机性,故“6点朝上”的次数不一定是100次.
(初三)
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
视点一:与几何图形相结合
例1 (吉林)如图1,口袋中有5张完全相同的卡片,分别写有1 cm、2 cm、3 cm、4 cm 和5 cm,口袋外有2张卡片,分别写有4 cm 和5 cm.现随机从袋中取出一张卡片,与口袋外两张卡片放在一起,以卡片上的数量分别作为三条线段的长度,回答下列问题:
(1)求这三条线段能构成三角形的概率;
(2)求这三条线段能构成直角三角形的概率;
(3)求这三条线段能构成等腰三角形的概率.
解析:随机从袋中取出一张卡片,与口袋外两张卡片放在一起,以卡片上的数量分别作为三条线段的长度共有5种等可能的情形(1、4、5)、(2、4、5)(3、4、5)(4、4、5)(5、4、5).
(1)根据三角形两边之和大于第三边,才能构成三角形,可以判断情形(1、4、5)不能构成三角形,故P(这三条线段能构成三角形的概率)=45.
(2)根据勾股定理的逆定理因为32+42=52,所以情形(3、4、5)能构成直角三角形,故P(这三条线段能构成直角三角形的概率)=15.
(3)显然,P(这三条线段能构成等腰三角形的概率)=25.
视点二:与函数相结合
例2 (镇江市)有A,B两个黑布袋,A布袋中有两个完全相同的小球,分别标有数字1和2.B布袋中有三个完全相同的小球,分别标有数字-1,-2,和-3.小明从A布袋中随机取出一个小球,记录其标有的数字为 x,再从B布袋中随机取出一个小球,记录其标有的数字为y,这样就确定点Q的一个坐标为(x,y).
(1)用列表或画树状图的方法写出点Q的所有可能坐标;
(2)求点Q落在直线 y=x-3上的概率.
解析:(1)用列表或画树状图的方法求点Q的坐标有(1,-1),(1,-2),(1,-3),(2,-1),(2,-2),(2,-3).
(2)“点Q落在直线 y=x-3上”记为事件A,所以P(A)=26=13,即点Q落在直线y=x-3上的概率为13.
视点三:与方程(组)相结合
例3 (大连)在围棋盒中有 x 颗黑色棋子和 y 颗白色棋子,从盒中随机地取出一个棋子,如果它是黑色棋子的概率是38.
(1)试写出 y 与 x 的函数关系式.
(2)若往盒中再放进10颗黑色棋子,则取得黑色棋子的概率变为12,求 x 和 y 的值.
解析:(1)根据题意,得xx+y=38,
8x=3x+3y,3y=5x,y=53x;
(2)根据题意,得y=53xx+10x+y+10=12,
解得,x=15,y=25.
视点四:与其它学科的整合
例4 (苏州)如图2,电路图上有四个开关A、B、C、D
和一个小灯泡,闭合开关D或同时闭合开关A,B,C都可使小灯泡发光.
(1)任意闭合其中一个开关,则小灯泡发光的概率等于;
(2)任意闭合其中两个开关,请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率.
解析:这是与物理电路相结合的综合题,必须熟悉电路的基本原理.
(1)14;
(2)正确画出树状图(或列表)任意闭合其中两个开关的情况共有12种,其中能使小灯泡发光的情况有6种,小灯泡发光的概率是12.
视点五:建立模型与解决问题的阅读理解
例5 (青岛市)实际问题:某学校共有18个教学班,每班的学生数都是40人.为了解学生课余时间上网情况,学校打算做一次抽样调查,如果要确保全校抽取出来的学生中至少有10人在同一班级,那么全校最少需抽取多少名学生?
建立模型:为解决上面的“实际问题”,我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型:
在不透明的口袋中装有红、黄、白三种颜色的小球各20个(除颜色外完全相同),现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的,则最少需摸出多少个小球?
为了找到解决问题的办法,我们可把上述问题简单化:
(1)我们首先考虑最简单的情况:即要确保从口袋中摸出的小球至少有2个是同色的,则最少需摸出多少个小球?
假若从袋中随机摸出3个小球,它们的颜色可能会出现多种情况,其中最不利的情况就是它们的颜色各不相同,那么只需再从袋中摸出1个小球就可确保至少有2个小球同色,即最少需摸出小球的个数是:1+3=4(如图4①);
(2)若要确保从口袋中摸出的小球至少有3个是同色的呢?
我们只需在(1)的基础上,再从袋中摸出3个小球,就可确保至少有3个小球同色,即最少需摸出小球的个数是:1+3×2=7(如图4②)
(3)若要确保从口袋中摸出的小球至少有4个是同色的呢?
我们只需在(2)的基础上,再从袋中摸出3个小球,就可确保至少有4个小球同色,即最少需摸出小球的个数是:1+3×3=10(如图4③):
……
(10)若要确保从口袋中摸出的小球至少有10个是同色的呢?
我们只需在(9)的基础上,再从袋中摸出3个小球,就可确保至少有10个小球同色,即最少需摸出小球的个数是:1+3×(10-1)=28(如图4⑩)
模型拓展一:在不透明的口袋中装有红、黄、白、蓝、绿五种颜色的小球各20分(除颜色外完全相同),现从袋中随机摸球:
(1)若要确保摸出的小球至少有2个同色,则最少需摸出小球的个数是;
(2)若要确保摸出的小球至少有10个同色,则最少需摸出小球的个数是;
(3)若要确保摸出的小球至少有 n 个同色(n<20),则最少需摸出小球的个数是.
模型拓展二:在不透明口袋中装有 m 种颜色的小球各20个(除颜色外完全相同),现从袋中随机摸球:
(1)若要确保摸出的小球至少有2个同色,则最少需摸出小球的个数是.
(2)若要确保摸出的小球至少有 n 个同色(n<20),则最少需摸出小球的个数是.
问题解决:(1)请把本题中的“实际问题“转化为一个从口袋中摸球的数学模型;
(2)根据(1)中建立的数学模型,求出全校最少需抽取多少名学生.
解析:模型拓展一:(1)1+5=6;(2)1+5×9=46;(3)1+5(n-1).
模型拓展二:(1)1+m;(2)1+m(n-1).
问题解决:(1)在不透明口袋中放入18种颜色的小球(小球除颜色外完全相同)各40个,现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的,则最少需摸出多少个小球?
(2)1+18×(10-1)=163.
视点六:与实验相结合的说理问题
例6 (贵阳)小颖和小红两位同学在学习“概率”时,做投掷骰子(质地均匀的正方体)实验,他们共做了60次实验,实验的结果如下:
朝上的点数123456
出现的次数79682010
(1)计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率.
(2)小颖说:“根据实验,一次实验中出现5点朝上的概率最大”;小红说:“如果投掷600次,那么出现6点朝上的次数正好是100次.”小颖和小红的说法正确吗?为什么?
解析:(1)“3点朝上”出现的频率是660=110,“5点朝上”出现的频率是2060=13;
(2)小颖的说法是错误的.这是因为,“5点朝上”的频率最大并不能说明“5点朝上”这一事件发生的频率最大.只有当实验的次数足够大时,该事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近.小红的判断是错误的,因为事件发生具有随机性,故“6点朝上”的次数不一定是100次.
(初三)
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文