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概率是新课程标准下数学教材中涉及一个重要的知识点，它密切联系生活与现实世界，使数学情景新颖别致丰富多彩．近年来常与几何、函数、方程等知识点相结合，考查也由考概念、计算向考实际应用、阅读理解、判断说理转变．本文列举几例解析，供学习借鉴．
视点一：与几何图形相结合
例1 （吉林）如图1，口袋中有5张完全相同的卡片，分别写有1 cm、2 cm、3 cm、4 cm 和5 cm，口袋外有2张卡片，分别写有4 cm 和5 cm．现随机从袋中取出一张卡片，与口袋外两张卡片放在一起，以卡片上的数量分别作为三条线段的长度，回答下列问题：
（1）求这三条线段能构成三角形的概率；
（2）求这三条线段能构成直角三角形的概率；
（3）求这三条线段能构成等腰三角形的概率．
解析：随机从袋中取出一张卡片，与口袋外两张卡片放在一起，以卡片上的数量分别作为三条线段的长度共有5种等可能的情形（1、4、5）、（2、4、5）（3、4、5）（4、4、5）（5、4、5）．
（1）根据三角形两边之和大于第三边，才能构成三角形，可以判断情形（1、4、5）不能构成三角形，故P（这三条线段能构成三角形的概率）=45．
（2）根据勾股定理的逆定理因为32+42=52，所以情形（3、4、5）能构成直角三角形，故P（这三条线段能构成直角三角形的概率）=15．
（3）显然，P（这三条线段能构成等腰三角形的概率）=25．
视点二：与函数相结合
例2 （镇江市）有A，B两个黑布袋，A布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和2．B布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字-1，-2，和-3．小明从A布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为 x，再从B布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为y，这样就确定点Q的一个坐标为（x，y）．
（1）用列表或画树状图的方法写出点Q的所有可能坐标；
（2）求点Q落在直线 y=x-3上的概率．
解析：（1）用列表或画树状图的方法求点Q的坐标有（1，-1），（1，-2），（1，-3），（2，-1），（2，-2），（2，-3）.
（2）“点Q落在直线 y=x-3上”记为事件A，所以P（A）=26=13，即点Q落在直线y=x-3上的概率为13．
视点三：与方程（组）相结合
例3 （大连）在围棋盒中有 x 颗黑色棋子和 y 颗白色棋子，从盒中随机地取出一个棋子，如果它是黑色棋子的概率是38．
（1）试写出 y 与 x 的函数关系式．
（2）若往盒中再放进10颗黑色棋子，则取得黑色棋子的概率变为12，求 x 和 y 的值．
解析：（1）根据题意，得xx+y=38，
8x=3x+3y，3y=5x，y=53x；
（2）根据题意，得y=53xx+10x+y+10=12，
解得，x=15，y=25．
视点四：与其它学科的整合
例4 （苏州）如图2，电路图上有四个开关A、B、C、D
和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光．
（1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于；
（2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率．
解析：这是与物理电路相结合的综合题，必须熟悉电路的基本原理．
（1）14；
（2）正确画出树状图（或列表）任意闭合其中两个开关的情况共有12种，其中能使小灯泡发光的情况有6种，小灯泡发光的概率是12．
视点五：建立模型与解决问题的阅读理解
例5 （青岛市）实际问题：某学校共有18个教学班，每班的学生数都是40人．为了解学生课余时间上网情况，学校打算做一次抽样调查，如果要确保全校抽取出来的学生中至少有10人在同一班级，那么全校最少需抽取多少名学生？
建立模型：为解决上面的“实际问题”，我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型：
在不透明的口袋中装有红、黄、白三种颜色的小球各20个（除颜色外完全相同），现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
为了找到解决问题的办法，我们可把上述问题简单化：
（1）我们首先考虑最简单的情况：即要确保从口袋中摸出的小球至少有2个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
假若从袋中随机摸出3个小球，它们的颜色可能会出现多种情况，其中最不利的情况就是它们的颜色各不相同，那么只需再从袋中摸出1个小球就可确保至少有2个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3=4（如图4①）；
（2）若要确保从口袋中摸出的小球至少有3个是同色的呢？
我们只需在（1）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有3个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3×2=7（如图4②）
（3）若要确保从口袋中摸出的小球至少有4个是同色的呢？
我们只需在（2）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有4个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3×3=10（如图4③）：
……
（10）若要确保从口袋中摸出的小球至少有10个是同色的呢？
我们只需在（9）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有10个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3×（10-1）=28（如图4⑩）
模型拓展一：在不透明的口袋中装有红、黄、白、蓝、绿五种颜色的小球各20分（除颜色外完全相同），现从袋中随机摸球：
（1）若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是；
（2）若要确保摸出的小球至少有10个同色，则最少需摸出小球的个数是；
（3）若要确保摸出的小球至少有 n 个同色（n＜20），则最少需摸出小球的个数是．
模型拓展二：在不透明口袋中装有 m 种颜色的小球各20个（除颜色外完全相同），现从袋中随机摸球：
（1）若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是．
（2）若要确保摸出的小球至少有 n 个同色（n＜20），则最少需摸出小球的个数是．
问题解决：（1）请把本题中的“实际问题“转化为一个从口袋中摸球的数学模型；
（2）根据（1）中建立的数学模型，求出全校最少需抽取多少名学生．
解析：模型拓展一：（1）1+5=6；（2）1+5×9=46；（3）1+5（n-1）.
模型拓展二：（1）1＋m；（2）1+m（n-1）.
问题解决：（1）在不透明口袋中放入18种颜色的小球（小球除颜色外完全相同）各40个，现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
（2）1+18×（10-1）=163.
视点六：与实验相结合的说理问题
例6 （贵阳）小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了60次实验，实验的结果如下：
朝上的点数123456
出现的次数79682010
（1）计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率．
（2）小颖说：“根据实验，一次实验中出现5点朝上的概率最大”；小红说：“如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次．”小颖和小红的说法正确吗？为什么？
解析：（1）“3点朝上”出现的频率是660=110，“5点朝上”出现的频率是2060=13；
（2）小颖的说法是错误的．这是因为，“5点朝上”的频率最大并不能说明“5点朝上”这一事件发生的频率最大．只有当实验的次数足够大时，该事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近．小红的判断是错误的，因为事件发生具有随机性，故“6点朝上”的次数不一定是100次．
（初三）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
视点一：与几何图形相结合
例1 （吉林）如图1，口袋中有5张完全相同的卡片，分别写有1 cm、2 cm、3 cm、4 cm 和5 cm，口袋外有2张卡片，分别写有4 cm 和5 cm．现随机从袋中取出一张卡片，与口袋外两张卡片放在一起，以卡片上的数量分别作为三条线段的长度，回答下列问题：
（1）求这三条线段能构成三角形的概率；
（2）求这三条线段能构成直角三角形的概率；
（3）求这三条线段能构成等腰三角形的概率．
解析：随机从袋中取出一张卡片，与口袋外两张卡片放在一起，以卡片上的数量分别作为三条线段的长度共有5种等可能的情形（1、4、5）、（2、4、5）（3、4、5）（4、4、5）（5、4、5）．
（1）根据三角形两边之和大于第三边，才能构成三角形，可以判断情形（1、4、5）不能构成三角形，故P（这三条线段能构成三角形的概率）=45．
（2）根据勾股定理的逆定理因为32+42=52，所以情形（3、4、5）能构成直角三角形，故P（这三条线段能构成直角三角形的概率）=15．
（3）显然，P（这三条线段能构成等腰三角形的概率）=25．
视点二：与函数相结合
例2 （镇江市）有A，B两个黑布袋，A布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和2．B布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字-1，-2，和-3．小明从A布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为 x，再从B布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为y，这样就确定点Q的一个坐标为（x，y）．
（1）用列表或画树状图的方法写出点Q的所有可能坐标；
（2）求点Q落在直线 y=x-3上的概率．
解析：（1）用列表或画树状图的方法求点Q的坐标有（1，-1），（1，-2），（1，-3），（2，-1），（2，-2），（2，-3）.
（2）“点Q落在直线 y=x-3上”记为事件A，所以P（A）=26=13，即点Q落在直线y=x-3上的概率为13．
视点三：与方程（组）相结合
例3 （大连）在围棋盒中有 x 颗黑色棋子和 y 颗白色棋子，从盒中随机地取出一个棋子，如果它是黑色棋子的概率是38．
（1）试写出 y 与 x 的函数关系式．
（2）若往盒中再放进10颗黑色棋子，则取得黑色棋子的概率变为12，求 x 和 y 的值．
解析：（1）根据题意，得xx+y=38，
8x=3x+3y，3y=5x，y=53x；
（2）根据题意，得y=53xx+10x+y+10=12，
解得，x=15，y=25．
视点四：与其它学科的整合
例4 （苏州）如图2，电路图上有四个开关A、B、C、D
和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光．
（1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于；
（2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率．
解析：这是与物理电路相结合的综合题，必须熟悉电路的基本原理．
（1）14；
（2）正确画出树状图（或列表）任意闭合其中两个开关的情况共有12种，其中能使小灯泡发光的情况有6种，小灯泡发光的概率是12．
视点五：建立模型与解决问题的阅读理解
例5 （青岛市）实际问题：某学校共有18个教学班，每班的学生数都是40人．为了解学生课余时间上网情况，学校打算做一次抽样调查，如果要确保全校抽取出来的学生中至少有10人在同一班级，那么全校最少需抽取多少名学生？
建立模型：为解决上面的“实际问题”，我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型：
在不透明的口袋中装有红、黄、白三种颜色的小球各20个（除颜色外完全相同），现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
为了找到解决问题的办法，我们可把上述问题简单化：
（1）我们首先考虑最简单的情况：即要确保从口袋中摸出的小球至少有2个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
假若从袋中随机摸出3个小球，它们的颜色可能会出现多种情况，其中最不利的情况就是它们的颜色各不相同，那么只需再从袋中摸出1个小球就可确保至少有2个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3=4（如图4①）；
（2）若要确保从口袋中摸出的小球至少有3个是同色的呢？
我们只需在（1）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有3个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3×2=7（如图4②）
（3）若要确保从口袋中摸出的小球至少有4个是同色的呢？
我们只需在（2）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有4个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3×3=10（如图4③）：
……
（10）若要确保从口袋中摸出的小球至少有10个是同色的呢？
我们只需在（9）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有10个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3×（10-1）=28（如图4⑩）
模型拓展一：在不透明的口袋中装有红、黄、白、蓝、绿五种颜色的小球各20分（除颜色外完全相同），现从袋中随机摸球：
（1）若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是；
（2）若要确保摸出的小球至少有10个同色，则最少需摸出小球的个数是；
（3）若要确保摸出的小球至少有 n 个同色（n＜20），则最少需摸出小球的个数是．
模型拓展二：在不透明口袋中装有 m 种颜色的小球各20个（除颜色外完全相同），现从袋中随机摸球：
（1）若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是．
（2）若要确保摸出的小球至少有 n 个同色（n＜20），则最少需摸出小球的个数是．
问题解决：（1）请把本题中的“实际问题“转化为一个从口袋中摸球的数学模型；
（2）根据（1）中建立的数学模型，求出全校最少需抽取多少名学生．
解析：模型拓展一：（1）1+5=6；（2）1+5×9=46；（3）1+5（n-1）.
模型拓展二：（1）1＋m；（2）1+m（n-1）.
问题解决：（1）在不透明口袋中放入18种颜色的小球（小球除颜色外完全相同）各40个，现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
（2）1+18×（10-1）=163.
视点六：与实验相结合的说理问题
例6 （贵阳）小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了60次实验，实验的结果如下：
朝上的点数123456
出现的次数79682010
（1）计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率．
（2）小颖说：“根据实验，一次实验中出现5点朝上的概率最大”；小红说：“如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次．”小颖和小红的说法正确吗？为什么？
解析：（1）“3点朝上”出现的频率是660=110，“5点朝上”出现的频率是2060=13；
（2）小颖的说法是错误的．这是因为，“5点朝上”的频率最大并不能说明“5点朝上”这一事件发生的频率最大．只有当实验的次数足够大时，该事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近．小红的判断是错误的，因为事件发生具有随机性，故“6点朝上”的次数不一定是100次．
（初三）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文