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摘 要：内啮合螺旋锥齿轮章动传动动力学建模对其生产开发意义极为重要，本文建立了内啮合双圆弧螺旋锥齿轮章动传动系统的弯扭耦合的系统非线性动力学模型，在输出内锥齿轮-输入外锥齿轮2子系统、固定内锥齿轮-输入外锥齿轮1子系统、输入斜轴-输入外锥齿轮1、2子系统的基础上建立起系统非线性振动方程。
关键词：螺旋锥齿轮章动传动 非线性振动 齿轮动力学
一、引言
内啮合双圆弧螺旋锥齿轮章动传动具有承载能力高，结构紧凑，螺旋锥齿轮制造工艺简单等优点，应用范围日益广泛。由于章动传动是一种新型的传动结构，早期年对其的相关研究都集中于齿廓的成形研究以及静力学和运动学范畴内的研究，近10年来才有相关动态特性方面的研究报道，但都局限于线性动力学范围内，而章动减速器工作过程中，齿轮副的啮合间隙是客观存在的，从而造成间隙非线性激励对轮齿振动有着显著影响，但是尚未见到有关对章动传动间隙非线性动力学的报道。本文以着眼于内啮合章动传动系统内多对齿轮副间隙、误差激励和时变啮合刚度激励下，建立了立体间隙间隙、变参数和弯扭耦台的内啮合锥齿轮章动传动系统非线性动力学模型，从而为后续的内啮合锥齿轮章动传动系统非线性动态特性分析打下基础。
二、内啮合弧齿锥齿轮传动非线性动力学模型
双圆弧螺旋外锥齿轮，与固定内锥齿轮（标记为）啮合。输入外锥齿轮1（标记为），与固定内锥齿轮啮合。（4）固定内锥齿轮（标记为），与输入外锥齿轮进行啮合。输出内锥齿轮（标记为），与输入外锥齿轮进行啮合。三维剖视图，如图1所示，本文将系统模型建立在动坐标系中。该动坐标系的原点在斜轴质心，并随斜轴理想转动而匀速转动，各构件坐标的轴均沿轴向向外，两个内锥齿轮的坐标原点在自身的质心，轴沿输入轴和内外锥回转轴线连线方向指向外。输入斜轴、固定外锥齿轮和输出外锥齿轮坐标的轴与内锥齿轮的轴方向平行，坐标轴由右手定则确定。啮合线上的相对位移则以齿面受压时为正方向。代表齿轮构件的基圆半径，代表构件的节圆半径。本文采用集中参数法建立齿轮传动系统（齿轮、轴和轴承）的动力学模型，对啮合轮齿用弹簧和阻尼器进行模拟，得到传动系统的振动常微分方程由图1可知双圆弧螺旋锥齿轮章动传动系统主要是由两对内啮合锥齿轮系统组成的，圖2为弹性支撑下的内啮合锥齿轮传动系统的动力学模型，每个锥齿轮在空间有 4 个自由度，整个齿轮传动系统共有 8 个自由度弧齿锥齿轮的广义位移列阵可表示为列向量：
、、分别为主被动齿轮轴平移振动位移；、为扭转振动位移。弧锥齿轮齿面啮合点间因振动和误差而产生的沿啮合点法线方向的相对位移可分解为法面上三个方向的位移、和（下标、、分别代表径向、周向和轴向，下同）。
（1）
所以两锥齿轮齿面啮合点间的相对位移为：
（2）
式中：、分别为主被动锥齿轮节锥角；为法面压力角；β为主、被动锥齿轮中点螺旋角；、为主被动轮啮合点半径；为齿轮副的法向静态传动误差。两个齿轮间的弹性啮合力为：
（3）
齿轮做受力分析后，得到锥齿轮副在啮合时的法向动态啮合力为：则得内啮合弧齿锥齿轮传动系统的振动方程： （4）
式中：，—主被动锥齿轮沿各平移自由度方向的等效集中质量和绕各自回转轴的转动惯量；， —分别为主被动锥齿轮沿、、轴方向的平移阻尼和刚度系数；，——输入、负载力矩； ，——基圆半径。
动力学方程的矩阵化.上述动力学方程可用矩阵的形式表示为：
三、双圆弧螺旋锥齿轮章动传动系统的广义坐标转换
为了建模和计算的方便，在建模时将角位移形式的广义坐标转换成线位移形式的广义坐标。代表双圆弧螺旋锥齿轮等价线位移，则有： （5）
因此系统动力学方程式可描述为： ， （）
四、结语
建立了双圆弧螺旋锥齿轮章动传动系统非线性振动模型，在建立输出内锥齿轮-输入外锥齿轮2子系统、固定内锥齿轮-输入外锥齿轮1子系统、输入斜轴-输入外锥齿轮1、2子系统的基础上组建系统非线性振动模型，为后续的进一步分析研究打下了基础。
参考文献：
[1]李润方，王建军.齿轮系统动力学.北京：科学出版社，1997.5～23.
[2]F.L.Litvin，Alfonso Fuentes，Qi Fan， Robert F. Handschuh. Computerized design， simulation of meshing， and contact and stress analysis of face-milled formate generated helical bevel gears. Mechanism and Machine Theory. 2002（37）： 441～459.
[3]F.L.Litvin， Alfonso Fuentes， Kenichi Hayasaka. Design， manufacture， stress analysis， and experimental tests of low-noise high endurance helical bevel gears. Mechanism and Machine Theory. （2005）.
[4]Viktor S.Marijonas B.Vehicle gearbox dynamics：center distance influence on mesh stiffness and spur gear dynamics [J].Transport，2010，25（3）：278—286.
作者简介：李华（1983—）。研究方向：机械传动，机械系统分析。
关键词：螺旋锥齿轮章动传动 非线性振动 齿轮动力学
一、引言
内啮合双圆弧螺旋锥齿轮章动传动具有承载能力高，结构紧凑，螺旋锥齿轮制造工艺简单等优点，应用范围日益广泛。由于章动传动是一种新型的传动结构，早期年对其的相关研究都集中于齿廓的成形研究以及静力学和运动学范畴内的研究，近10年来才有相关动态特性方面的研究报道，但都局限于线性动力学范围内，而章动减速器工作过程中，齿轮副的啮合间隙是客观存在的，从而造成间隙非线性激励对轮齿振动有着显著影响，但是尚未见到有关对章动传动间隙非线性动力学的报道。本文以着眼于内啮合章动传动系统内多对齿轮副间隙、误差激励和时变啮合刚度激励下，建立了立体间隙间隙、变参数和弯扭耦台的内啮合锥齿轮章动传动系统非线性动力学模型，从而为后续的内啮合锥齿轮章动传动系统非线性动态特性分析打下基础。
二、内啮合弧齿锥齿轮传动非线性动力学模型
双圆弧螺旋外锥齿轮，与固定内锥齿轮（标记为）啮合。输入外锥齿轮1（标记为），与固定内锥齿轮啮合。（4）固定内锥齿轮（标记为），与输入外锥齿轮进行啮合。输出内锥齿轮（标记为），与输入外锥齿轮进行啮合。三维剖视图，如图1所示，本文将系统模型建立在动坐标系中。该动坐标系的原点在斜轴质心，并随斜轴理想转动而匀速转动，各构件坐标的轴均沿轴向向外，两个内锥齿轮的坐标原点在自身的质心，轴沿输入轴和内外锥回转轴线连线方向指向外。输入斜轴、固定外锥齿轮和输出外锥齿轮坐标的轴与内锥齿轮的轴方向平行，坐标轴由右手定则确定。啮合线上的相对位移则以齿面受压时为正方向。代表齿轮构件的基圆半径，代表构件的节圆半径。本文采用集中参数法建立齿轮传动系统（齿轮、轴和轴承）的动力学模型，对啮合轮齿用弹簧和阻尼器进行模拟，得到传动系统的振动常微分方程由图1可知双圆弧螺旋锥齿轮章动传动系统主要是由两对内啮合锥齿轮系统组成的，圖2为弹性支撑下的内啮合锥齿轮传动系统的动力学模型，每个锥齿轮在空间有 4 个自由度，整个齿轮传动系统共有 8 个自由度弧齿锥齿轮的广义位移列阵可表示为列向量：
、、分别为主被动齿轮轴平移振动位移；、为扭转振动位移。弧锥齿轮齿面啮合点间因振动和误差而产生的沿啮合点法线方向的相对位移可分解为法面上三个方向的位移、和（下标、、分别代表径向、周向和轴向，下同）。
（1）
所以两锥齿轮齿面啮合点间的相对位移为：
（2）
式中：、分别为主被动锥齿轮节锥角；为法面压力角；β为主、被动锥齿轮中点螺旋角；、为主被动轮啮合点半径；为齿轮副的法向静态传动误差。两个齿轮间的弹性啮合力为：
（3）
齿轮做受力分析后，得到锥齿轮副在啮合时的法向动态啮合力为：则得内啮合弧齿锥齿轮传动系统的振动方程： （4）
式中：，—主被动锥齿轮沿各平移自由度方向的等效集中质量和绕各自回转轴的转动惯量；， —分别为主被动锥齿轮沿、、轴方向的平移阻尼和刚度系数；，——输入、负载力矩； ，——基圆半径。
动力学方程的矩阵化.上述动力学方程可用矩阵的形式表示为：
三、双圆弧螺旋锥齿轮章动传动系统的广义坐标转换
为了建模和计算的方便，在建模时将角位移形式的广义坐标转换成线位移形式的广义坐标。代表双圆弧螺旋锥齿轮等价线位移，则有： （5）
因此系统动力学方程式可描述为： ， （）
四、结语
建立了双圆弧螺旋锥齿轮章动传动系统非线性振动模型，在建立输出内锥齿轮-输入外锥齿轮2子系统、固定内锥齿轮-输入外锥齿轮1子系统、输入斜轴-输入外锥齿轮1、2子系统的基础上组建系统非线性振动模型，为后续的进一步分析研究打下了基础。
参考文献：
[1]李润方，王建军.齿轮系统动力学.北京：科学出版社，1997.5～23.
[2]F.L.Litvin，Alfonso Fuentes，Qi Fan， Robert F. Handschuh. Computerized design， simulation of meshing， and contact and stress analysis of face-milled formate generated helical bevel gears. Mechanism and Machine Theory. 2002（37）： 441～459.
[3]F.L.Litvin， Alfonso Fuentes， Kenichi Hayasaka. Design， manufacture， stress analysis， and experimental tests of low-noise high endurance helical bevel gears. Mechanism and Machine Theory. （2005）.
[4]Viktor S.Marijonas B.Vehicle gearbox dynamics：center distance influence on mesh stiffness and spur gear dynamics [J].Transport，2010，25（3）：278—286.
作者简介：李华（1983—）。研究方向：机械传动，机械系统分析。