【摘要】 有关圆锥曲线的题目难度大,题型多,往往是拉开考生“档次” 的关键,复习时要针对高考,熟练解题技巧,提高高考的得分率.
　　 【关键词】 圆锥曲线方程 题型 解题技巧
　　
　　 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题､压轴题出现,主要涉及位置关系的判定､弦长问题､最值问题､对称问题､轨迹问题等.突出考查数形结合､分类讨论､函数与方程､等价转化等数学思想方法,要求考生分析问题和解决问题的能力､计算能力较高,起到了拉开考生“档次”,有利于选拔的功能.
　　
　　 一､考点､题型分析
　　
　　 1. 高考对圆锥曲线方程的考查侧重以下几个方面:考查圆锥曲线的概念和性质,多以选择题和填空题的形式出现,注重对定义､标准方程､焦点坐标､焦距､离心率､准线方程､渐近线､焦半径等基础知识的考查,同时也融和对基本技能和基本方法的考查.
　　 2. 解答题的题型有:①求曲线(轨迹)的方程. 对于这一类问题,高考常常不给出图形或不给出坐标系,以考查考生处理圆锥曲线问题的基本思想､方法和能力.②有关直线与圆锥曲线的位置关系问题. 这类问题涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段的中点､弦长等问题时,往往要利用“数形结合”与“设而不求”的方法､对称的方法以及根与系数的关系等.③与圆锥曲线有关的最值问题､参数范围问题. 这类问题综合性较大,解题时需要根据具体问题,灵活运用平面几何､函数､不等式､三角知识,正确地构造圆锥曲线与其他数学知识的联系. 以上三类问题是近几年来高考的热点,也势必成为今后高考的主流之一.
　　 3. 向量所具有的代数和几何的双重身份,使它成为与圆锥曲线的交挥､融合的高考命题新趋势,同时也是近几年新课程高考的热点内容. 这些试题的一个共同特点是利用向量引进条件,把新内容与传统内容联系在一起. 解答此类问题要注意的是,题目信息与不同数学知识的结合,可能会形成多个解题方向,这就要求能选取其中最简捷的路径,得到解题的最优解法.
　　
　　 二､复习､备考导引
　　
　　 1. 锁定目标
　　 ① 掌握椭圆的定义,标准方程和简单几何性质及参数方程.
　　 ② 掌握双曲线､抛物线的定义,理解标准方程及其简单几何性质.
　　 ③ 根据具体条件利用各种不同的工具画椭圆､双曲线､抛物线的图像,了解它们在实际问题中的初步应用.
　　 ④ 结合所学内容,进一步加强对运动､变化和对立统一等观点的认识.
　　 2. 瞄准高考
　　 ①本章知识有三个特点:首先,是中学各主干知识的交会点——与函数､方程､不等式､三角､平面向量联系密切,特别是与向量融合成为近几年高考的必考点之一;其次,是各种数学思想方法的综合点;第三,是初等数学与高等数学的衔接点,因而是历年高考的重点. ② 本章内容在每年的高考试卷中一般有2~3道客观题和一道解答题,难度上易､中､难都有,主要考查的内容是圆锥曲线的概念､性质､直线与圆锥曲线的位置关系等. 试题大致有三类:ⅰ考查圆锥曲线的概念与性质;ⅱ求曲线方程的轨迹;ⅲ关于直线与圆锥曲线位置关系的问题.
　　 3. 方法技巧
　　 掌握两种定义的核心是:第一定义“距离和”为定值是椭圆(2a >|F1F2|);“距离差”的绝对值为定值是双曲线(2a < |F1F2|)“距离比(e)”为常量,具有统一性(0 < e < 1为椭圆,e > 1为双曲线, e = 1是抛物线);明确标准方程的关键:椭圆中焦点与长轴“同位”,双曲线中焦点与实轴“同位”,抛物线中焦点与对称轴“同位”. 求解圆锥曲线问题的常用方法;设而不求､活用平面几何知识､数形结合､向量法､转化法等;求曲线的方程或曲线的轨迹常用定义法､直接法､待定系数法､相关点法､参数法等.
　　
　　 三､ 典型例题评析
　　
　　 1. 直线y = x - 1被抛物线y2 = 4x截得线段的中点坐标是______.
　　 解 由y = x - 1,y2 = 4x消去y,化简得 x2 - 6x + 1 = 0.
　　 设此方程二根为x1,x2,所截线段的中点坐标为(x0,y0),则 x0 =,y0= x0 - 1 = 2.
　　 故应填(3,2) .
　　 评析 本题考查了设而不求思想的灵活运用.
　　 2. 椭圆+ = 1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m,则当m取最大值时,点P的坐标是_____.
　　 解 记椭圆的两焦点为F1,F2,有|PF1| + |PF2| = 2a = 10,则知m = |PF1| • |PF2| ≤2 = 25.
　　 评析 本题考查了椭圆的定义和不等式的性质,把知识和能力有机地结合了起来.
　　
　　注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”