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[摘 要] 高中数学教师不能在课堂上照本宣科，我们的教师要善于发掘教材中的隐性资源，从而更好地促进学生发展. 本文从数学教材中隐性资源的内涵出发，联系具体案例，探讨了隐性资源在实际教学中的渗透.
[关键词] 高中数学；隐性资源；案例分析
众所周知，只会照本宣科的教师不是一个称职的教师，我们的教师要善于对教材进行深度发掘，发现其中的隐性资源，从而更加有效地促进学生的发展. 高中数学教学中，我们如何做到这一点呢？以下是笔者的思考.
[?] 数学教材中隐性资源的内涵
笔者认为，数学教材的隐性资源是教师在理解和分析教材的基础上，对潜在知识进行拓展研究，并提炼而成的. 隐性资源是相对于显性资源来讲的，从当前的高中教材来讲，显性资源就是教材上有关概念和定理的推导和讲解，以及相应的习题资源；隐性资源则是对知识的形成、发展以及实践起到潜在作用的数学思想和方法，当然还包括数学的美学价值.从知识的形态来讲，显性资源主要是纸面上的内容，或是教材通过引导让学生直接总结出的内容；隐性资源则是以教材内容为基础，需要学生在学习过程中进行体验的过程以及领悟的思想.
在高中数学教学中，一切有利于学生数学知识发展和数学思想培养的潜在因素和条件都应该是数学课程的隐性资源. 教师要将其渗透进数学教学，就必须通读并理解教材，厘清知识间的来龙去脉，把握知识的本质，领会其中的教育功能和人文价值.
[?] 案例分析：球的表面积
下面，笔者以“球的表面积”的教学为例，介绍一下如何发掘其隐性课程资源，并将其运用于教学.
1. 教材分析
从显性角度来看，球的表面积公式出现在人教版高中数学A版必修二1.3.2中的第二部分. 教材首先通过分割求积的方式对球的体积公式进行推导，并通过对该方法的类比，对表面积公式进行探究，即将球体分割成小型锥体进行求和，再结合体积与表面积的关联进行推导，从而获得表面积的公式，这其中渗透着微元与极限的思想. 教材编写者为了帮助学生以最为简便的方式进行理解，同时又充分保留数学教材的逻辑性，为学生呈现出最为简洁的证明和推导，但是却回避介绍数学家艰辛的探索过程.
从隐性角度来讲，本课应该力求完善历史史料，为学生还原科学家的探索研究过程，让学生在领会球的表面积公式推导的同时，也能深刻感悟公式的缘起，从中领会“化整为零、化零为整”的研究方法. 此外，教师还要有意识地引导学生通过观察来探索事物之间的内在关系，并从中积累发现问题、解决问题的能力，由此来提升学生理性思维的素质.
2. 教学目标分析
从课程标准出发，我们可以从三个维度来分析本课的教学目标.
（1）知识与技能维度：让学生了解球表面积公式的推导过程；理解球的表面积公式.
（2）过程与方法维度：通过推导表面积公式的过程，让学生初步领会微元和极限的思想，并对“分割→求和→化简”的流程形成较为清晰的认识，为后阶段导数的学习奠定基础；让学生体验由合情推理到逻辑演绎的过程，从中体会数学分析的严谨性，对学生的逻辑推理能力和空间想象能力进行培养.
（3）情感态度与价值观：让学生通过对数学学史的研究，培养他们发现问题、解决问题的信心；通过对数学家探究真理过程的体验，感悟前人科学探索的心路历程，由此深刻品味数学思维和方法的独特美感.
3. 重难点分析
本课的教学重点是引导学生了解并推导球表面积公式的思想方法；难点是让其领会“分割→求和→化简”分析过程中的数学思想.
4. 教学过程
（1）复习导入，提出问题
教师引导：通过前面阶段的学习，我们已经掌握圆锥、圆柱、圆台的表面积求解方法，我们是否可以通过相同的方法对球的表面积公式进行求解呢？
设计思路：在提出问题的同时，也引导学生寻找知识之间的关联性，启发他们通过知识的相似性来探求问题的解决方案.
（2）实验探究，合情推理
实验设计：将一根长绳绕着半球的大圆表面走一圈，以恰好能将大圆面铺满为宜，将所用的绳子截取下来. 然后将所截取的绳子铺满除掉大圆面的半球表面，如果绳子尚有多余，则继续铺，直到将绳子全部用完.
在教师的引导下，学生相互协作，细心操作，最终有以下实验结果，截取的绳子恰好在半球面上铺好了两层，从而可得除掉大圆面以外的半球体表面的面积正好是大圆面积两倍，由此形成猜想：S球=4πr2.
设计思路：实验不仅是物理、化学等学科的发展基础，它同样对数学学科的发展能起到推动作用，让学生在实验操作中感悟知识的形成过程，这有助于学生养成“做中学”的习惯.
（3）回顾历史，验证猜想
教师引导：在日本数学发展史上，人们将立方体视为“方珠”，球体则是“圆珠”，它们虽然在外形上存在差别，但是本质却是一致的. 因此，日本的矶村吉德从类比推理出发，对圆的表面积进行大胆的推导，过程如下.
日本数学研究者是如何想到上述类比方法的呢？其关键就在于他们关注了立方体体积与表面积的关系，并将立方体和球体都视作“珠”，从而建立相似关系.这样的推算过程是否成立呢？
教师再引导学生从分割法的角度来求解表面积：一个立方体可以其中心为顶点，将其平均分成六个棱锥，若该立方体的棱长为a，棱锥的高则为，其底面积则对应立方体的正方形表面，因此围绕立方体的体积有以下运算：
在此分割思想的引领下，研究者尝试将球体分割為无数个将球心作为顶点、以局部球面视作底面的小型锥体，如果分割所形成的锥体足够小，则锥体的高即近似等于球体半径，进而可以直观地发现球的表面积与其体积之间的关系，有如下推导：
上述微元处理方法简练而直观，后来很多数学家也是采用此种方法求解出其他很多几何体的表面积.
设计思路：分割求和的方法正是教材中所提供的体积求解方法，其中涉及微元与极限的思想. 在对球体表面积的公式进行求解时，教材沿用这种一脉相承的方法，的确存在一种延续性，可谓是“趁热打铁，简便易行”. 从数学思想的教学来讲，这一部分的难点就在于对微元与极限思想的一种渗透，教材止步于简练的证明过程和结果呈现，忽视了对数学家探索过程的介绍，这实际是一种隐藏在背后的课程资源，教师要善于结合数学史，将其发掘出来，并以此为载体，将数学家不断求索的过程转变为学生的思维方法提升过程.
（4）作业设计，提升能力
问题：类比于上述所采用的微元与极限的思路，我们可以尝试将球的表面分割成无数个等腰三角形，对所有等腰三角形的面积进行求和处理，以此来求解圆的表面积. 有人按照这一思路进行以下处理：将球分成上下两块，并进行了如图1所示的分割.
最后求得球体表面积计算公式为S=π2r2<4πr2，请思考这一推导过程存在什么问题？
设计思路：对学生的方法学习也提出举一反三的要求，让学生通过这一处理过程的辨析来提升他们数学思维的灵活性和严谨性.
5. 课堂小结
本课先通过复习来提出问题，再依托于实验来帮助学生形成猜想，并在数学历史的学习中，感悟前人运用类比思想推导球体表面积公式的过程，当学生对微元和极限的思想有所领悟之后，教师再引导学生按照教材的方法来进行更加严谨的分析和推理. 这样的教学设计基于教师对隐性的课程资源进行了充分的发掘，从而改变单刀直入的教学方式，让学生立足实验、结合数学史，经历知识的形成过程，这不仅有助于学生对数学知识形成认识和理解，更重要的价值在于这样的处理有助于学生的方法习得和思想培养，这才是我们数学教学的更高追求.
[关键词] 高中数学；隐性资源；案例分析
众所周知，只会照本宣科的教师不是一个称职的教师，我们的教师要善于对教材进行深度发掘，发现其中的隐性资源，从而更加有效地促进学生的发展. 高中数学教学中，我们如何做到这一点呢？以下是笔者的思考.
[?] 数学教材中隐性资源的内涵
笔者认为，数学教材的隐性资源是教师在理解和分析教材的基础上，对潜在知识进行拓展研究，并提炼而成的. 隐性资源是相对于显性资源来讲的，从当前的高中教材来讲，显性资源就是教材上有关概念和定理的推导和讲解，以及相应的习题资源；隐性资源则是对知识的形成、发展以及实践起到潜在作用的数学思想和方法，当然还包括数学的美学价值.从知识的形态来讲，显性资源主要是纸面上的内容，或是教材通过引导让学生直接总结出的内容；隐性资源则是以教材内容为基础，需要学生在学习过程中进行体验的过程以及领悟的思想.
在高中数学教学中，一切有利于学生数学知识发展和数学思想培养的潜在因素和条件都应该是数学课程的隐性资源. 教师要将其渗透进数学教学，就必须通读并理解教材，厘清知识间的来龙去脉，把握知识的本质，领会其中的教育功能和人文价值.
[?] 案例分析：球的表面积
下面，笔者以“球的表面积”的教学为例，介绍一下如何发掘其隐性课程资源，并将其运用于教学.
1. 教材分析
从显性角度来看，球的表面积公式出现在人教版高中数学A版必修二1.3.2中的第二部分. 教材首先通过分割求积的方式对球的体积公式进行推导，并通过对该方法的类比，对表面积公式进行探究，即将球体分割成小型锥体进行求和，再结合体积与表面积的关联进行推导，从而获得表面积的公式，这其中渗透着微元与极限的思想. 教材编写者为了帮助学生以最为简便的方式进行理解，同时又充分保留数学教材的逻辑性，为学生呈现出最为简洁的证明和推导，但是却回避介绍数学家艰辛的探索过程.
从隐性角度来讲，本课应该力求完善历史史料，为学生还原科学家的探索研究过程，让学生在领会球的表面积公式推导的同时，也能深刻感悟公式的缘起，从中领会“化整为零、化零为整”的研究方法. 此外，教师还要有意识地引导学生通过观察来探索事物之间的内在关系，并从中积累发现问题、解决问题的能力，由此来提升学生理性思维的素质.
2. 教学目标分析
从课程标准出发，我们可以从三个维度来分析本课的教学目标.
（1）知识与技能维度：让学生了解球表面积公式的推导过程；理解球的表面积公式.
（2）过程与方法维度：通过推导表面积公式的过程，让学生初步领会微元和极限的思想，并对“分割→求和→化简”的流程形成较为清晰的认识，为后阶段导数的学习奠定基础；让学生体验由合情推理到逻辑演绎的过程，从中体会数学分析的严谨性，对学生的逻辑推理能力和空间想象能力进行培养.
（3）情感态度与价值观：让学生通过对数学学史的研究，培养他们发现问题、解决问题的信心；通过对数学家探究真理过程的体验，感悟前人科学探索的心路历程，由此深刻品味数学思维和方法的独特美感.
3. 重难点分析
本课的教学重点是引导学生了解并推导球表面积公式的思想方法；难点是让其领会“分割→求和→化简”分析过程中的数学思想.
4. 教学过程
（1）复习导入，提出问题
教师引导：通过前面阶段的学习，我们已经掌握圆锥、圆柱、圆台的表面积求解方法，我们是否可以通过相同的方法对球的表面积公式进行求解呢？
设计思路：在提出问题的同时，也引导学生寻找知识之间的关联性，启发他们通过知识的相似性来探求问题的解决方案.
（2）实验探究，合情推理
实验设计：将一根长绳绕着半球的大圆表面走一圈，以恰好能将大圆面铺满为宜，将所用的绳子截取下来. 然后将所截取的绳子铺满除掉大圆面的半球表面，如果绳子尚有多余，则继续铺，直到将绳子全部用完.
在教师的引导下，学生相互协作，细心操作，最终有以下实验结果，截取的绳子恰好在半球面上铺好了两层，从而可得除掉大圆面以外的半球体表面的面积正好是大圆面积两倍，由此形成猜想：S球=4πr2.
设计思路：实验不仅是物理、化学等学科的发展基础，它同样对数学学科的发展能起到推动作用，让学生在实验操作中感悟知识的形成过程，这有助于学生养成“做中学”的习惯.
（3）回顾历史，验证猜想
教师引导：在日本数学发展史上，人们将立方体视为“方珠”，球体则是“圆珠”，它们虽然在外形上存在差别，但是本质却是一致的. 因此，日本的矶村吉德从类比推理出发，对圆的表面积进行大胆的推导，过程如下.
日本数学研究者是如何想到上述类比方法的呢？其关键就在于他们关注了立方体体积与表面积的关系，并将立方体和球体都视作“珠”，从而建立相似关系.这样的推算过程是否成立呢？
教师再引导学生从分割法的角度来求解表面积：一个立方体可以其中心为顶点，将其平均分成六个棱锥，若该立方体的棱长为a，棱锥的高则为，其底面积则对应立方体的正方形表面，因此围绕立方体的体积有以下运算：
在此分割思想的引领下，研究者尝试将球体分割為无数个将球心作为顶点、以局部球面视作底面的小型锥体，如果分割所形成的锥体足够小，则锥体的高即近似等于球体半径，进而可以直观地发现球的表面积与其体积之间的关系，有如下推导：
上述微元处理方法简练而直观，后来很多数学家也是采用此种方法求解出其他很多几何体的表面积.
设计思路：分割求和的方法正是教材中所提供的体积求解方法，其中涉及微元与极限的思想. 在对球体表面积的公式进行求解时，教材沿用这种一脉相承的方法，的确存在一种延续性，可谓是“趁热打铁，简便易行”. 从数学思想的教学来讲，这一部分的难点就在于对微元与极限思想的一种渗透，教材止步于简练的证明过程和结果呈现，忽视了对数学家探索过程的介绍，这实际是一种隐藏在背后的课程资源，教师要善于结合数学史，将其发掘出来，并以此为载体，将数学家不断求索的过程转变为学生的思维方法提升过程.
（4）作业设计，提升能力
问题：类比于上述所采用的微元与极限的思路，我们可以尝试将球的表面分割成无数个等腰三角形，对所有等腰三角形的面积进行求和处理，以此来求解圆的表面积. 有人按照这一思路进行以下处理：将球分成上下两块，并进行了如图1所示的分割.
最后求得球体表面积计算公式为S=π2r2<4πr2，请思考这一推导过程存在什么问题？
设计思路：对学生的方法学习也提出举一反三的要求，让学生通过这一处理过程的辨析来提升他们数学思维的灵活性和严谨性.
5. 课堂小结
本课先通过复习来提出问题，再依托于实验来帮助学生形成猜想，并在数学历史的学习中，感悟前人运用类比思想推导球体表面积公式的过程，当学生对微元和极限的思想有所领悟之后，教师再引导学生按照教材的方法来进行更加严谨的分析和推理. 这样的教学设计基于教师对隐性的课程资源进行了充分的发掘，从而改变单刀直入的教学方式，让学生立足实验、结合数学史，经历知识的形成过程，这不仅有助于学生对数学知识形成认识和理解，更重要的价值在于这样的处理有助于学生的方法习得和思想培养，这才是我们数学教学的更高追求.