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摘 要：数据分析模块教学中主要遇到两处难点：一是准确选择描述集中趋势或离散趋势的统计量;二是随机观念的培养和概率意义的理解。“统计与概率”模块的教学资源开发不够，缺乏成熟好用的教学资源，涉及统计量意义的理解时概念体系坍塌。传统教学设计中侧重强调概念，大多知识通过直白叙述而缺乏基本活动经验。文章主要谈谈作者在数据分析教学过程中的几点思考。
关键词：数据分析观念;概念名词解释;随机观念;概率意义
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：2095-624X（2020）11-0002-02
一、问题提出
作为一线教师，在“统计与概率”模块教学中，若要发展学生的数据分析素养，还存在以下制约因素。第一，“统计与概率”模块的教学资源开发不够，缺乏成熟好用的教学资源，涉及统计量意义的理解时概念体系坍塌。第二，传统教学设计中侧重强调概念，大多知识通过直白叙述而缺乏基本活动经验。例如，2018年1月厦门九年级数学质检卷第21题学生意识到要用样本估计总体，但是估计的方法有误。对“平均数”“中位数”“众数”“方差”等统计量的意义和“频率估计概率”的意义掌握不深刻，做题时不知选择哪个统计量。在做2018年5月厦门九年级数学质检第21题时，学生知道要计算加权平均数，但是理不清哪一行是“数据”，哪一行是该数据的“权重”，容易将“数据”与“权重”混淆。
二、教学思考
本研究者节选“加权平均数”“列举法求概率”“用频率估计概率”等重点内容，着重分析了学生在学习“统计与概率”时的学习行为和学习成效。笔者通过教学实践发现，学生对“权”“结果”“频率”等概念的理解混淆导致了后续学习障碍和综合运用掣肘。笔者紧扣“权”“结果”“频率”等核心概念的教学设计，辅以数学游戏（数学试验），提高学生对这些核心概念的体验，提出如下建议。
1.注意数学名词解释，示范辨析变式概括
学习数学也是需要“咬文嚼字”的，对数学名词的准确理解是学习知识的必要前提。“统计与概率”模块中“加权平均数”“中位数”“众数”“方差”“结果”“频率”等名词的解释是发展学生数据分析素养的关键。结合课本例题所给的背景，或对比辨析，或游戏体验，以达成对概念的理解，将生活的体验能用概率统计的语言和书写方式输出。
例如，在“加权平均数”的教学设计中，我们可以比较细致地列举“权”的形式，“权”可以是题目直接赋予的整数、百分数、数据出现的次数，更是直接明了地指出在“数据”和“权”样式容易混淆时，跟题目要求（或给定）的“平均数”的单位一致的是“数据”，不一致的就是其相应的“权”。这样学生只需要根据问题特征判断这是一道求加权平均数的题，而这个问题，根据“平均”这个关键词就可以肯定。这也是物理学科常用的单位法。
例如，在“随机事件与概率”的教学设计中，学生对随机事件的“结果”的准确理解十分重要。什么是概率的“结果”：有限个、等可能。反过来讲，如果不满足上面两个条件则不可作为随机事件的“结果”。例如，一个袋中装有三个黄球两个白球，除颜色外无差别。从袋中取出一个球，如果学生列举所有可能的结果：黄，白。那么学生思维里是根据颜色不同来划分的，但很显然，黄色和白色不是等可能的被取到的，所以不能直接作为结果并列列举。实际上五个球每个球都有可能被摸到，它们被摸到的可能性是相等的。列举所有可能的结果应该是黄1，黄2，黄3，白1，白2。
例如，在“用频率估计概率”的教学设计中，“频率”是什么？是小数还是分数/百分数？这些问题并不是所有学生都能理解。试验一和试验二在讲解时应停顿，让学生理解频率如何计算，作为结果它可以是小数或分数。但是为了跟概率进行比较，需要将其化为小数才能看清趋势。
2.重视随机观念的培养，加强概率意义的理解
深挖教材，注重知识的前后联系。例如对“结果”的两个限制①有限个，②等可能，紧扣这两个条件，发现很多我们生活中的“结果”是一种感性认知，不同于数学意义上的“结果”是一种理性分析。
例如，抛掷一枚质地均匀的硬币，朝上一面的所有结果：“正面向上”或“反面向上”。对于一步完成的简单随机事件，我们可以直接铺陈列举所有结果，通过小试验就能验证，思想试验与真实试验同步。
抛掷两枚质地均匀的硬币，直接想象结果（正正、一正一反、反反）难以保证“等可能”，这点可以通过试验验证不是等可能出现的。于是，我们先进行思想试验解决该问题，分为“两步”，先扔一枚硬币再扔一枚硬币，与同时扔两枚硬币的结果是一致的。通过列表格，第一步所有等可能的“结果”并列列举在横行，第二步所有等可能的“结果”并列列举在竖行。同理画树状图，第一步所有等可能的“结果”并列列举在第一层，第二步所有等可能的“结果”并列列举在第二层。直至多步问题的教学设计，我们都是一以贯之地强化了“结果”的“等可能性”。这种一以贯之的教学设计有助于学生抓住核心知识，融会贯通，有利于教师进行整体教学。
3.鼓励学生参与试验，紧密联系生活实际
在第25章“概率初步”的教学设计案例中，都可以将平时教学时容易忽略的试验“用”起来。借助扑克牌、硬币、计算机模拟软件等师生常见的道具，遵循“精简实用”原则，进行试验模拟，让学生充分参与活动，增加基本活动经验，形成深刻体验。
例如，在对“用频率估计概率”进行教学设计时，可以问题为线索组织学习活动。
主线1：（少量试验时）频率与概率差别很大，看不出关联;
主线2：（大量重复试验时）频率趋于稳定;
主线3：（大量重复试验时）频率的稳定值就是理论概率，数学家已经通过严密的逻辑推理证明了这一点。
只有躬身入局，才能体验深刻。作为初学者，学生经常看到那些看似无解的局面，但是往往忘了，如果把自己放进去，置身其中，也许对局面就会有所了解。每一个初学者都曾经站在数学学科面前，抄着手只顾表态，这不仅无济于事，甚至这种姿态本身就影响学生更好地观察和感知数学知识。应该让学生都成为躬身入局者，成为一个用真实體感和数学融为一体的人。 4.核心思想两种“估计”，发展数据分析素养
用样本估计总体，用频率估计概率是“统计与概率”模块的两大核心思想。
用样本估计总体。具体说是用样本的特征值——平均数，中位数，众数，方差，频率，概率（大量重复试验），分布等，来估计总体相应的特征值——平均数，中位数，众数，方差，频率，概率（大量重复试验），分布。样本容量越大，估计就越精确。
用频率估计概率。在抛掷硬币50次，次数累加500次时，得到的“频率”有可能很接近“理论概率”，但这是因为试验的结果也具有偶然性。很可能这500次的频率趋于稳定，换一个班级做另外的500次试验，频率不一定趋于稳定，所以我们的500次试验结果也具有偶然性。因此，数学历史上要由不同的数学在不同的时候做成千上万次试验，而最终需要再通过严密理论进行证明：在大量重复试验下，随机事件发生的频率稳定于理论概率（事实上数学家已经证明）。反之，我们可以抽取样本进行大量重复试验，先得到随机事件的概率，再反过来进行相关计算。
三、反思与展望
尽管试验体验式学习具备诸多价值，通过数学游戏来学习数学激发了学生的学习动机，让学习的过程变得不再枯燥无味。但是，把游戏融入教育视域中，有一个不可回避的事实是：游戏激发的到底是游戏动机还是学习动机，激发的动机是否可以迁移到其他学习活动中？如果学生只喜欢做游戏而没有领悟数学游戏（试验）的意义和内涵，那么这么上课是不可取的。我们必须警醒地意识到，试验与教学的融合必须是教育式的，而不是简单地把教学的内容披上试验的外壳，背后要输入的是试验的思想。
我们还可以更深入地做一些基础研究。运用现代教育技术手段（模拟实验、微视频等），选择典型的、具有时代气息的现实问题作为例子进行教学设计，帮助学生学习数据处理的方法，理解统计的概念和原理。通过梳理数据分析素养的内涵以及初中统计与概率相关内容的课程要求和相关内容的数学发展史，提高研究者自身的学科素养。同时，研究成果可供一线教师直接使用，共享资源，减少教学损耗，帮助学生深刻理解一些基本统计量和概率模型的算理，开发有价值的案例，促进教学长效发展。
[参考文献]
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版） [S].北京：人民教育出版社，2018.
[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版） [S].北京：北京师范大学出版社，2012.
[3]余文森.核心素养导向的课堂教学[M].上海：上海教育出版社，2017.
[4]李文林.数学史概论[M].北京：高等教育出版社，2011.
[5]徐传胜.从博弈问题到方法论学科——概率论发展史研究[M].北京：科学出版社，2010.
[6]陈永明名师工作室.数学习题教学研究（修訂版）[M].上海：上海教育出版社，2010.
课题项目：厦门市思明区教育科学“十三五”规划2018年立项微型课题“发展初中生数据分析素养的教学实践研究”研究成果（Z2018W0104）。
作者简介：夏 瑞（1985—），女，一级教师，硕士，研究方向：基础教育、初中数学教学。
关键词：数据分析观念;概念名词解释;随机观念;概率意义
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：2095-624X（2020）11-0002-02
一、问题提出
作为一线教师，在“统计与概率”模块教学中，若要发展学生的数据分析素养，还存在以下制约因素。第一，“统计与概率”模块的教学资源开发不够，缺乏成熟好用的教学资源，涉及统计量意义的理解时概念体系坍塌。第二，传统教学设计中侧重强调概念，大多知识通过直白叙述而缺乏基本活动经验。例如，2018年1月厦门九年级数学质检卷第21题学生意识到要用样本估计总体，但是估计的方法有误。对“平均数”“中位数”“众数”“方差”等统计量的意义和“频率估计概率”的意义掌握不深刻，做题时不知选择哪个统计量。在做2018年5月厦门九年级数学质检第21题时，学生知道要计算加权平均数，但是理不清哪一行是“数据”，哪一行是该数据的“权重”，容易将“数据”与“权重”混淆。
二、教学思考
本研究者节选“加权平均数”“列举法求概率”“用频率估计概率”等重点内容，着重分析了学生在学习“统计与概率”时的学习行为和学习成效。笔者通过教学实践发现，学生对“权”“结果”“频率”等概念的理解混淆导致了后续学习障碍和综合运用掣肘。笔者紧扣“权”“结果”“频率”等核心概念的教学设计，辅以数学游戏（数学试验），提高学生对这些核心概念的体验，提出如下建议。
1.注意数学名词解释，示范辨析变式概括
学习数学也是需要“咬文嚼字”的，对数学名词的准确理解是学习知识的必要前提。“统计与概率”模块中“加权平均数”“中位数”“众数”“方差”“结果”“频率”等名词的解释是发展学生数据分析素养的关键。结合课本例题所给的背景，或对比辨析，或游戏体验，以达成对概念的理解，将生活的体验能用概率统计的语言和书写方式输出。
例如，在“加权平均数”的教学设计中，我们可以比较细致地列举“权”的形式，“权”可以是题目直接赋予的整数、百分数、数据出现的次数，更是直接明了地指出在“数据”和“权”样式容易混淆时，跟题目要求（或给定）的“平均数”的单位一致的是“数据”，不一致的就是其相应的“权”。这样学生只需要根据问题特征判断这是一道求加权平均数的题，而这个问题，根据“平均”这个关键词就可以肯定。这也是物理学科常用的单位法。
例如，在“随机事件与概率”的教学设计中，学生对随机事件的“结果”的准确理解十分重要。什么是概率的“结果”：有限个、等可能。反过来讲，如果不满足上面两个条件则不可作为随机事件的“结果”。例如，一个袋中装有三个黄球两个白球，除颜色外无差别。从袋中取出一个球，如果学生列举所有可能的结果：黄，白。那么学生思维里是根据颜色不同来划分的，但很显然，黄色和白色不是等可能的被取到的，所以不能直接作为结果并列列举。实际上五个球每个球都有可能被摸到，它们被摸到的可能性是相等的。列举所有可能的结果应该是黄1，黄2，黄3，白1，白2。
例如，在“用频率估计概率”的教学设计中，“频率”是什么？是小数还是分数/百分数？这些问题并不是所有学生都能理解。试验一和试验二在讲解时应停顿，让学生理解频率如何计算，作为结果它可以是小数或分数。但是为了跟概率进行比较，需要将其化为小数才能看清趋势。
2.重视随机观念的培养，加强概率意义的理解
深挖教材，注重知识的前后联系。例如对“结果”的两个限制①有限个，②等可能，紧扣这两个条件，发现很多我们生活中的“结果”是一种感性认知，不同于数学意义上的“结果”是一种理性分析。
例如，抛掷一枚质地均匀的硬币，朝上一面的所有结果：“正面向上”或“反面向上”。对于一步完成的简单随机事件，我们可以直接铺陈列举所有结果，通过小试验就能验证，思想试验与真实试验同步。
抛掷两枚质地均匀的硬币，直接想象结果（正正、一正一反、反反）难以保证“等可能”，这点可以通过试验验证不是等可能出现的。于是，我们先进行思想试验解决该问题，分为“两步”，先扔一枚硬币再扔一枚硬币，与同时扔两枚硬币的结果是一致的。通过列表格，第一步所有等可能的“结果”并列列举在横行，第二步所有等可能的“结果”并列列举在竖行。同理画树状图，第一步所有等可能的“结果”并列列举在第一层，第二步所有等可能的“结果”并列列举在第二层。直至多步问题的教学设计，我们都是一以贯之地强化了“结果”的“等可能性”。这种一以贯之的教学设计有助于学生抓住核心知识，融会贯通，有利于教师进行整体教学。
3.鼓励学生参与试验，紧密联系生活实际
在第25章“概率初步”的教学设计案例中，都可以将平时教学时容易忽略的试验“用”起来。借助扑克牌、硬币、计算机模拟软件等师生常见的道具，遵循“精简实用”原则，进行试验模拟，让学生充分参与活动，增加基本活动经验，形成深刻体验。
例如，在对“用频率估计概率”进行教学设计时，可以问题为线索组织学习活动。
主线1：（少量试验时）频率与概率差别很大，看不出关联;
主线2：（大量重复试验时）频率趋于稳定;
主线3：（大量重复试验时）频率的稳定值就是理论概率，数学家已经通过严密的逻辑推理证明了这一点。
只有躬身入局，才能体验深刻。作为初学者，学生经常看到那些看似无解的局面，但是往往忘了，如果把自己放进去，置身其中，也许对局面就会有所了解。每一个初学者都曾经站在数学学科面前，抄着手只顾表态，这不仅无济于事，甚至这种姿态本身就影响学生更好地观察和感知数学知识。应该让学生都成为躬身入局者，成为一个用真实體感和数学融为一体的人。 4.核心思想两种“估计”，发展数据分析素养
用样本估计总体，用频率估计概率是“统计与概率”模块的两大核心思想。
用样本估计总体。具体说是用样本的特征值——平均数，中位数，众数，方差，频率，概率（大量重复试验），分布等，来估计总体相应的特征值——平均数，中位数，众数，方差，频率，概率（大量重复试验），分布。样本容量越大，估计就越精确。
用频率估计概率。在抛掷硬币50次，次数累加500次时，得到的“频率”有可能很接近“理论概率”，但这是因为试验的结果也具有偶然性。很可能这500次的频率趋于稳定，换一个班级做另外的500次试验，频率不一定趋于稳定，所以我们的500次试验结果也具有偶然性。因此，数学历史上要由不同的数学在不同的时候做成千上万次试验，而最终需要再通过严密理论进行证明：在大量重复试验下，随机事件发生的频率稳定于理论概率（事实上数学家已经证明）。反之，我们可以抽取样本进行大量重复试验，先得到随机事件的概率，再反过来进行相关计算。
三、反思与展望
尽管试验体验式学习具备诸多价值，通过数学游戏来学习数学激发了学生的学习动机，让学习的过程变得不再枯燥无味。但是，把游戏融入教育视域中，有一个不可回避的事实是：游戏激发的到底是游戏动机还是学习动机，激发的动机是否可以迁移到其他学习活动中？如果学生只喜欢做游戏而没有领悟数学游戏（试验）的意义和内涵，那么这么上课是不可取的。我们必须警醒地意识到，试验与教学的融合必须是教育式的，而不是简单地把教学的内容披上试验的外壳，背后要输入的是试验的思想。
我们还可以更深入地做一些基础研究。运用现代教育技术手段（模拟实验、微视频等），选择典型的、具有时代气息的现实问题作为例子进行教学设计，帮助学生学习数据处理的方法，理解统计的概念和原理。通过梳理数据分析素养的内涵以及初中统计与概率相关内容的课程要求和相关内容的数学发展史，提高研究者自身的学科素养。同时，研究成果可供一线教师直接使用，共享资源，减少教学损耗，帮助学生深刻理解一些基本统计量和概率模型的算理，开发有价值的案例，促进教学长效发展。
[参考文献]
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版） [S].北京：人民教育出版社，2018.
[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版） [S].北京：北京师范大学出版社，2012.
[3]余文森.核心素养导向的课堂教学[M].上海：上海教育出版社，2017.
[4]李文林.数学史概论[M].北京：高等教育出版社，2011.
[5]徐传胜.从博弈问题到方法论学科——概率论发展史研究[M].北京：科学出版社，2010.
[6]陈永明名师工作室.数学习题教学研究（修訂版）[M].上海：上海教育出版社，2010.
课题项目：厦门市思明区教育科学“十三五”规划2018年立项微型课题“发展初中生数据分析素养的教学实践研究”研究成果（Z2018W0104）。
作者简介：夏 瑞（1985—），女，一级教师，硕士，研究方向：基础教育、初中数学教学。