论文部分内容阅读
在高考中，对复数的考查往往以小题形式出现.有道是“大题大做，小题小做”.对于解答小题，必须讲究技巧，找准方法，只有这样，才能快速解答.那么，复数问题解题技巧去哪儿了？就让本文与你一起去追踪.
一、化复数问题为实数问题
例1设z2=z1-i1（其中1表示z1的共轭复数），已知z2的实部是-1，则z2的虚部为.
分析：因为复数的实部与虚部均为实数，故可依据复数相等的概念，原问题可转化为实数范围内的方程组问题.
解：设出复数z1，z2，利用复数问题实数化的方法即可解决.设z1=x+yi，z2=-1+bi（x，y，b都是实数），则有z1-i1=（x+yi）-i（x-yi）=（x-y）+（y-x）i，由已知z2=z1-i1，结合复数相等的概念得-1=x-yb=y-x，所以b=1，即z2的虚部为1.故答案：1.
评注：复数是实数的拓展，其实部与虚部均为实数，因此复数问题可转化为实数问题解决.
变式练习1已知复数|z|=12，则|z2-z+14|的最大值是（）.
A. 2B. 1C. 34D. 12
答案：B.
解析：设z=x+yi（x，y∈R）.∵|z|=12，∴x2+y2=14，
∴|z2-z+14|=|（z-12）2|=|z-12|2=（x-12）2+y2=12-x.
∵-12≤x≤12，∴当x=-12时，|z2-z+14|有最大值1.
二、巧用特殊等式
例2计算-23+i1+23i+（21-i）1996.
分析：本题若按复数除法和乘法法则直接计算，则显得十分繁琐，若能结合题目特点，联想结论（1±i）2=±2i，并注意到-23+i=i（1+23i），不难找出简捷解法.
解：原式=i（1+23i）1+23i+[（21-i）2]998=i+（2-2i）998=i+i998=i+i4×249+2=i+i2=-1+i.
评注：代数形式的复数运算，基本思路是应用法则，但如果能通过对表达式的结构特征的分析，灵活运用i的幂的性质和复数运算中的一些特殊等式，如（1±i）2=±2i，1+i1-i=i，（-12+32i）3=1等，将有效地简化运算，提高解题速度.
变式练习2计算（-1+3i）51+3i的结果是.
答案：-16.
解析：原式=25（-12+32i）52（12+32i）
=24（-12+32i）6（12+32i）（-12+32i）
=16×12-（-12-32i）（-12+32i）=-16.
三、巧用复数运算的性质
例3求|2i（-4+3i）（1-i）（3+i）（3-i）（1+2i）|的值为.
分析：这是复数的求模运算，由多个复数经过乘除运算得到，因此可以利用复数模的性质，进行求值运算.
解：原式=|2i|·|-4+3i|·|1-i||3+i|·|3-i|·|1+2i|
=2·|-4+3i|·|1-i||3+i|2·|1+2i|=2×5×222×5=52.
评注：利用复数的性质可以简化计算.经常用到的有：（1）|z1·z2|=|z1|·|z2|；（2）|z1z2|=|z1||z2|；（3）z·=|z|2=||2等.
变式练习3设复数z满足关系式z+||=2+i，那么z等于（）
A. -34+iB. 34-i
C. -34-iD. 34+i
答案：D.
解析：原关系式可化为z=2-||+i，
又|z|=||且为实数，两边取模得|z|=（2-|z|）2+1，
解得|z|=54，则z=2-54+i=34+i.
四、整体代换
例4已知z1，z2为复数，（3+i）z1为实数，z2=z12+i，且|z2|=52，则z2=.
分析：两种思路解此类问题：一是设出z1、z2，然后代入解方程；二是利用整体代换的思想求解.第二种思路更简捷.
解：因为z2=z12+i，所以z1=z2（2+i），
故（3+i）z1=z2（2+i）（3+i）=z2（5+5i）∈R，
∵|z2|=52，∴|z2·（5+5i）|=|z2|·|5+5i|=50，
∴z2（5+5i）=±50，∴z2=±505+5i=±101+i=±（5-5i）.
评注：复数的综合运算中会涉及模、共轭及分类等，求z时要注意是把z看作一个整体还是设为代数形式应用方程思想；当z是实数或纯虚数时注意常见结论的应用.
变式练习4设复数z和它的共轭复数满足4z+2=33+i，则复数z的值是.
答案：32+12i.
解析：设z=a+bi（a，b∈R），将4z+2=33+i化为2z+（2z+2）=33+i.
由2z+2=2（a+bi）+2（a-bi）=4a，整体代入，得2z+4a=33+i，6a+2bi=33+i.
根据复数相等的充要条件，得a=32，b=12.故z=32+12i.
五、利用复数的几何意义
例5已知复数|z|=2，则复数1+3i+z的模的最大值为.
分析：若令ω=1+3i+z，则z=ω-（1+3i），根据|z|=2及复数减法的几何意义，即可得到满足条件的复数ω对应的W的轨迹，依据图形即可解题.
解：由|z|=2，可知复数z对应的点Z在以原点为圆心，以2为半径的圆上.设ω=1+3i+z，则z=ω-（1+3i），∴|ω-（1+3i）|=2，故复数ω在复平面内对应的点W在以（1，3）为圆心，以2为半径的圆上（如图）.由图形可知，当点W落在点A处时，复数ωA的模最大；当点W落在点B处时，复数ωB的模最小.
所以模的最大值为4.
评注：这是复数几何意义应用中比较典型的问题，该问题除利用几何意义求解外，还可以利用复数模的性质：||z1|-|z2||≤|z1-z2|≤|z1|+|z2|进行求解.
变式练习5复数z满足条件|z+2|=|z-4i|，则|z|的最小值为.
答案：455.
解析：由|z+2|=|z-4i|知，复数z对应点的轨迹为线段AB的垂直平分线，其中A（-2，0），B（0，4），|z|即原点到垂直平分线上的点的距离.故|z|min=455.
变式练习6已知复数z1，z2满足|z1|=7+1，|z2|=7-1，且|z1-z2|=4，则|z1+z2|的值为.
答案：4.
解析：设复数z1，z2在复平面上对应的点为Z1，Z2，由于（7+1）2+（7-1）2=42，故|z1|2+|z2|2=|z1-z2|2，故以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形是矩形，|z1+z2|=|z1-z2|=4.
（作者：王佩其，太仓市明德高级中学）
一、化复数问题为实数问题
例1设z2=z1-i1（其中1表示z1的共轭复数），已知z2的实部是-1，则z2的虚部为.
分析：因为复数的实部与虚部均为实数，故可依据复数相等的概念，原问题可转化为实数范围内的方程组问题.
解：设出复数z1，z2，利用复数问题实数化的方法即可解决.设z1=x+yi，z2=-1+bi（x，y，b都是实数），则有z1-i1=（x+yi）-i（x-yi）=（x-y）+（y-x）i，由已知z2=z1-i1，结合复数相等的概念得-1=x-yb=y-x，所以b=1，即z2的虚部为1.故答案：1.
评注：复数是实数的拓展，其实部与虚部均为实数，因此复数问题可转化为实数问题解决.
变式练习1已知复数|z|=12，则|z2-z+14|的最大值是（）.
A. 2B. 1C. 34D. 12
答案：B.
解析：设z=x+yi（x，y∈R）.∵|z|=12，∴x2+y2=14，
∴|z2-z+14|=|（z-12）2|=|z-12|2=（x-12）2+y2=12-x.
∵-12≤x≤12，∴当x=-12时，|z2-z+14|有最大值1.
二、巧用特殊等式
例2计算-23+i1+23i+（21-i）1996.
分析：本题若按复数除法和乘法法则直接计算，则显得十分繁琐，若能结合题目特点，联想结论（1±i）2=±2i，并注意到-23+i=i（1+23i），不难找出简捷解法.
解：原式=i（1+23i）1+23i+[（21-i）2]998=i+（2-2i）998=i+i998=i+i4×249+2=i+i2=-1+i.
评注：代数形式的复数运算，基本思路是应用法则，但如果能通过对表达式的结构特征的分析，灵活运用i的幂的性质和复数运算中的一些特殊等式，如（1±i）2=±2i，1+i1-i=i，（-12+32i）3=1等，将有效地简化运算，提高解题速度.
变式练习2计算（-1+3i）51+3i的结果是.
答案：-16.
解析：原式=25（-12+32i）52（12+32i）
=24（-12+32i）6（12+32i）（-12+32i）
=16×12-（-12-32i）（-12+32i）=-16.
三、巧用复数运算的性质
例3求|2i（-4+3i）（1-i）（3+i）（3-i）（1+2i）|的值为.
分析：这是复数的求模运算，由多个复数经过乘除运算得到，因此可以利用复数模的性质，进行求值运算.
解：原式=|2i|·|-4+3i|·|1-i||3+i|·|3-i|·|1+2i|
=2·|-4+3i|·|1-i||3+i|2·|1+2i|=2×5×222×5=52.
评注：利用复数的性质可以简化计算.经常用到的有：（1）|z1·z2|=|z1|·|z2|；（2）|z1z2|=|z1||z2|；（3）z·=|z|2=||2等.
变式练习3设复数z满足关系式z+||=2+i，那么z等于（）
A. -34+iB. 34-i
C. -34-iD. 34+i
答案：D.
解析：原关系式可化为z=2-||+i，
又|z|=||且为实数，两边取模得|z|=（2-|z|）2+1，
解得|z|=54，则z=2-54+i=34+i.
四、整体代换
例4已知z1，z2为复数，（3+i）z1为实数，z2=z12+i，且|z2|=52，则z2=.
分析：两种思路解此类问题：一是设出z1、z2，然后代入解方程；二是利用整体代换的思想求解.第二种思路更简捷.
解：因为z2=z12+i，所以z1=z2（2+i），
故（3+i）z1=z2（2+i）（3+i）=z2（5+5i）∈R，
∵|z2|=52，∴|z2·（5+5i）|=|z2|·|5+5i|=50，
∴z2（5+5i）=±50，∴z2=±505+5i=±101+i=±（5-5i）.
评注：复数的综合运算中会涉及模、共轭及分类等，求z时要注意是把z看作一个整体还是设为代数形式应用方程思想；当z是实数或纯虚数时注意常见结论的应用.
变式练习4设复数z和它的共轭复数满足4z+2=33+i，则复数z的值是.
答案：32+12i.
解析：设z=a+bi（a，b∈R），将4z+2=33+i化为2z+（2z+2）=33+i.
由2z+2=2（a+bi）+2（a-bi）=4a，整体代入，得2z+4a=33+i，6a+2bi=33+i.
根据复数相等的充要条件，得a=32，b=12.故z=32+12i.
五、利用复数的几何意义
例5已知复数|z|=2，则复数1+3i+z的模的最大值为.
分析：若令ω=1+3i+z，则z=ω-（1+3i），根据|z|=2及复数减法的几何意义，即可得到满足条件的复数ω对应的W的轨迹，依据图形即可解题.
解：由|z|=2，可知复数z对应的点Z在以原点为圆心，以2为半径的圆上.设ω=1+3i+z，则z=ω-（1+3i），∴|ω-（1+3i）|=2，故复数ω在复平面内对应的点W在以（1，3）为圆心，以2为半径的圆上（如图）.由图形可知，当点W落在点A处时，复数ωA的模最大；当点W落在点B处时，复数ωB的模最小.
所以模的最大值为4.
评注：这是复数几何意义应用中比较典型的问题，该问题除利用几何意义求解外，还可以利用复数模的性质：||z1|-|z2||≤|z1-z2|≤|z1|+|z2|进行求解.
变式练习5复数z满足条件|z+2|=|z-4i|，则|z|的最小值为.
答案：455.
解析：由|z+2|=|z-4i|知，复数z对应点的轨迹为线段AB的垂直平分线，其中A（-2，0），B（0，4），|z|即原点到垂直平分线上的点的距离.故|z|min=455.
变式练习6已知复数z1，z2满足|z1|=7+1，|z2|=7-1，且|z1-z2|=4，则|z1+z2|的值为.
答案：4.
解析：设复数z1，z2在复平面上对应的点为Z1，Z2，由于（7+1）2+（7-1）2=42，故|z1|2+|z2|2=|z1-z2|2，故以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形是矩形，|z1+z2|=|z1-z2|=4.
（作者：王佩其，太仓市明德高级中学）