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摘要：数学模型在金融领域具有重要的地位。利用数学模型对金融现象进行定量分析，以便寻求金融学的内在规律，进而将这些规律用于指导金融实践，是金融学研究的基本方法之一。本文对数学模型在金融领域中的应用进行了概述，并详细阐述了金融领域中的利息模型、银行按揭模型、债券内在价值评估模型和股票内在价值评估模型。
关键词：数学模型;金融领域;应用
随着现代金融市场的秩序化发展，金融市场的有效运行愈发依赖于数学，于是一门新的交叉学科——“金融数学”应运而生。金融数学将数学知识应用于金融领域，利用数学工具研究金融，通过数学建模、理论分析、数值计算等，寻求金融学内在规律，进而用这些规律指导金融实践。数学在金融领域中的地位越来越重要，例如企业发展、投资决策、风险管理等都离不开数学知识，人们越来越深刻地认识到对数学模型的研究已成为金融学研究中的关键技术。同时，数学模型的研究也在不断推动着金融实践的发展。
一、概述
在金融领域应用数学模型最早可以追溯到上个世纪初的LouisBachelier的理论体系，这个理论体系的建立标志着可以对金融领域有着更深入的研究和分析。在这之后的50年里，知名经济学者Macaulay在1938年提出了金融领域中的利率敏感分析模型。二十世纪六十年代，美国经济学家Markowitz提出了具有代表性的期望方差模型，此模型一经提出便吸引诸多数学家和经济学家对这一领域进行深入的研究，同时，随着这个模型的不断完善，也出现了一些可应用于金融领域的新型数学模型。金融领域应用数学模型的另一个突出成就是经济学家Black和Scholes于1973年提出的股票和证券定价模型。在这之后的很长时间内，经济学界和数学界又提出了一系列的数学模型，这些数学模型都促进金融领域的发展。
二、金融领域中的典型数学模型
1、利息模型
利息是资金的时间价值的一种表现形式，是使用资金应付出的代价。在当今市场经济的条件下，利息模型是最普通的。生活中我们经常说起利率、利息，众所周知，利率是利息占本金的百分比，即
普通情况下，商业银行存在两种利率，即存款利率与贷款利率。存款利率高，对投资者（存款者）有利，但存款利率高也导致银行负债成本高，这样，银行为了获利必须以更高的贷款利率贷出。但对于企业（贷款者）来讲，贷款利息太高可能导致贷不起钱，进而导致银行获利机会减少。可以说，倘若银行利率过高，对经济的发展并无益处。从经济学的角度讲，利率是宏观控制信贷的一个重要手段，有时即使利率仅增减一个百分点，都会对市场运行产生较大的影响。
利率的调控是国家对宏观经济进行调节的一个重要手段，国家给出的调控一般是给出基准利率，而商业银行根据自己的发展有时需要按照国家的要求，在基准利率的基础上进行浮动。
利息分单利和复利两种。
（1）单利：所谓单利，是指只按照本金计算利息，而利息本身不再产生利息。若设本金为P，年利率为r，则n年后的利息为P·r·n，本金和利息的和F为：P+P·r·n=P（1+r·n）。这就是单利模型：Fn=P+P·r·n=P（1+r·n）。
（2）复利：所谓复利，是指本金所产生的利息，而利息本身也会带来利息，所谓“利滚利”就是这样。现在各商业银行为了吸引更多的闲散社会资金，设立很多的理财项目，它们就运用了得利形式。有的是以一年为一个周期，有的是以半年为一个周期，还有的以一个季度为一个周期。现在以一个为一个周期说明，现设本金为P，年利率为r，则n年后的本金和利息的和F为：P（1+r）n。这就是复利模型：Fn=P（1+r）n。
2、银行按揭模型
随着经济活动的深入，在房地产项目中，银行按揭经常遇见，以下将针对银行按揭来看看。
银行按揭问题转化为数学问题就是：欲贷款P元，年利率为r，要求分n期等额偿还，那么每期应偿还多少？
显然，考虑到资金的时间价值，这里不能简单地作平均处理，应该考虑偿还数额的“折现”，也就是说，将来每期偿还数额“相当于”现在的价值。通常以一个月为一期，每月偿还一次，而年利率为r，所以月利率为i=r/12。设每期偿还A元，则n期还款额折现为现在价值的总和应等于贷款总额P。由复利公式可知：
当然，银行为了按揭用户查询的方便，一般可以根据贷款的数额P和分期偿还的期数n把每期应偿还的数额制成表格，供用户查询。
3、债券内在价值评估模型
针对大型国有企业，为了能很快募集到大量的资金，解决企业生产活动的困难，一般来讲，都采用发行债券的方式。而对购买债券方而言，其实也是有一定风险的，为了投资风险控制，利用数学模型来进行内在价值的评估也是现在商业银行采取的模式。发行债券是为了筹资，例如发行债券募集到的资金可以用于基础设施项目建设、开发建造新的生产线等，但发行债券方需要承担一定的利息。对于购买债券方而言，是为了获得稳定的利息收益，通常这个利息收益会比银行存款利息要高。而债券的内在价值就体现在各年的利息现值与本金的现值的总和。
关于债券内在价值的评估，可根据支付利息方式的不同，分为下面两种情况。
（1）每年计算并支付利息，到期归还本金。
设PV为债券内在价值，C为年利息收入，D为债券面值，n为债券的期限年数，rt为第t（1≤t≤n）年的贴现率，则
（2）到期一次归还本金和利息。
這类债券的内在价值为
例1 一公司将要发行一种面值为1000元的20年期债券，票面利率为11%/年，同类债券的贴现率统一为8%/年，则这类债券的内在价值为
通常地，债券在发行前，债券面值、期限和利率都已确定，于是，债券的内在价值就完全由贴现率决定。贴现率增大，债券的内在价值就会下跌;反之，债券的内在价值就会上升。 4、股票内在价值评估模型
随着市场经济的发展，我国的证券正在经历加速发展的态势，与债券类似，越来越多的人开始持有股票，希望能从中获利。股票的价值可分为内在价值（理论价格）和市场价值。在理性市场中，市场价格的波动总是依赖内在价值的波动。股票的内在价值可以看作是未来各期预期收益的现值的总和。
设W为股票内在价值，Dt为第t（1≤t≤n）期每股预期股息收入，n为期数，r为贴现率，则
股票内在价值的评估，根据股息变换情况的不同，可分为以下三种情况。
（1）零增长模型。
假定未来各期预期股息保持不变，即假设D1=D2=...Dn=D，则
显然，当投资者长期持有股票时，即n→∞时，有 。特别地，当贴现率 为银行利率时，上面的公式可理解为：
这表明，股票内在价值近似地与股息成正比关系，与银行利率成反比关系，通常的降息会促使股票上扬。
（2）固定增长模型。
假定股息增长率为g，且g是一个常数。那么，若设第一年的股息为D，则第二年的股息为D（1+g），第三年的股息为D（1+g）2，以此类推，第n年的股息为D（1+g）n-1。于是，股票的内在价值即为：
这说明，前景明朗、增长潜力较大的公司的股票价格与市场相较而言略高。
现实中，在证券市场中，股息长期不变或者总是以固定增长率增长都是不可能的。公司的发展往往是是具有阶段性的，在起步阶段往往发展较快，经过一段时间调整后，就会进入逐步稳定的发展阶段。针对这种情况，有学者提出三阶段模型、H模型、P/E模型等，在此不再赘述。
三、结束语
观察金融发展的漫长历史，金融理论和实践的发展是依赖数学的，对数学模型的研究现也已成为金融领域研究的关键因素。目前，随着市场经济的不斷推进和金融领域的发展，数学模型在金融领域中的作用也愈发明显。同时，数学模型也在不断鼓励着金融实践的进步。
参考文献：
[1]陈学彬.金融学[M].北京：高等教育出版社，2013.
[2]吴晓求.证券投资学[M].北京：中国人民大学出版社，2010.
[3]郭宇权.金融衍生品数学模型[M].北京：世界图书出版公司，2010.
[4]吴春雪.探索数学模型在金融中的具体应用[J].经济研究导刊，2018，37（27）：111-112.
关键词：数学模型;金融领域;应用
随着现代金融市场的秩序化发展，金融市场的有效运行愈发依赖于数学，于是一门新的交叉学科——“金融数学”应运而生。金融数学将数学知识应用于金融领域，利用数学工具研究金融，通过数学建模、理论分析、数值计算等，寻求金融学内在规律，进而用这些规律指导金融实践。数学在金融领域中的地位越来越重要，例如企业发展、投资决策、风险管理等都离不开数学知识，人们越来越深刻地认识到对数学模型的研究已成为金融学研究中的关键技术。同时，数学模型的研究也在不断推动着金融实践的发展。
一、概述
在金融领域应用数学模型最早可以追溯到上个世纪初的LouisBachelier的理论体系，这个理论体系的建立标志着可以对金融领域有着更深入的研究和分析。在这之后的50年里，知名经济学者Macaulay在1938年提出了金融领域中的利率敏感分析模型。二十世纪六十年代，美国经济学家Markowitz提出了具有代表性的期望方差模型，此模型一经提出便吸引诸多数学家和经济学家对这一领域进行深入的研究，同时，随着这个模型的不断完善，也出现了一些可应用于金融领域的新型数学模型。金融领域应用数学模型的另一个突出成就是经济学家Black和Scholes于1973年提出的股票和证券定价模型。在这之后的很长时间内，经济学界和数学界又提出了一系列的数学模型，这些数学模型都促进金融领域的发展。
二、金融领域中的典型数学模型
1、利息模型
利息是资金的时间价值的一种表现形式，是使用资金应付出的代价。在当今市场经济的条件下，利息模型是最普通的。生活中我们经常说起利率、利息，众所周知，利率是利息占本金的百分比，即
普通情况下，商业银行存在两种利率，即存款利率与贷款利率。存款利率高，对投资者（存款者）有利，但存款利率高也导致银行负债成本高，这样，银行为了获利必须以更高的贷款利率贷出。但对于企业（贷款者）来讲，贷款利息太高可能导致贷不起钱，进而导致银行获利机会减少。可以说，倘若银行利率过高，对经济的发展并无益处。从经济学的角度讲，利率是宏观控制信贷的一个重要手段，有时即使利率仅增减一个百分点，都会对市场运行产生较大的影响。
利率的调控是国家对宏观经济进行调节的一个重要手段，国家给出的调控一般是给出基准利率，而商业银行根据自己的发展有时需要按照国家的要求，在基准利率的基础上进行浮动。
利息分单利和复利两种。
（1）单利：所谓单利，是指只按照本金计算利息，而利息本身不再产生利息。若设本金为P，年利率为r，则n年后的利息为P·r·n，本金和利息的和F为：P+P·r·n=P（1+r·n）。这就是单利模型：Fn=P+P·r·n=P（1+r·n）。
（2）复利：所谓复利，是指本金所产生的利息，而利息本身也会带来利息，所谓“利滚利”就是这样。现在各商业银行为了吸引更多的闲散社会资金，设立很多的理财项目，它们就运用了得利形式。有的是以一年为一个周期，有的是以半年为一个周期，还有的以一个季度为一个周期。现在以一个为一个周期说明，现设本金为P，年利率为r，则n年后的本金和利息的和F为：P（1+r）n。这就是复利模型：Fn=P（1+r）n。
2、银行按揭模型
随着经济活动的深入，在房地产项目中，银行按揭经常遇见，以下将针对银行按揭来看看。
银行按揭问题转化为数学问题就是：欲贷款P元，年利率为r，要求分n期等额偿还，那么每期应偿还多少？
显然，考虑到资金的时间价值，这里不能简单地作平均处理，应该考虑偿还数额的“折现”，也就是说，将来每期偿还数额“相当于”现在的价值。通常以一个月为一期，每月偿还一次，而年利率为r，所以月利率为i=r/12。设每期偿还A元，则n期还款额折现为现在价值的总和应等于贷款总额P。由复利公式可知：
当然，银行为了按揭用户查询的方便，一般可以根据贷款的数额P和分期偿还的期数n把每期应偿还的数额制成表格，供用户查询。
3、债券内在价值评估模型
针对大型国有企业，为了能很快募集到大量的资金，解决企业生产活动的困难，一般来讲，都采用发行债券的方式。而对购买债券方而言，其实也是有一定风险的，为了投资风险控制，利用数学模型来进行内在价值的评估也是现在商业银行采取的模式。发行债券是为了筹资，例如发行债券募集到的资金可以用于基础设施项目建设、开发建造新的生产线等，但发行债券方需要承担一定的利息。对于购买债券方而言，是为了获得稳定的利息收益，通常这个利息收益会比银行存款利息要高。而债券的内在价值就体现在各年的利息现值与本金的现值的总和。
关于债券内在价值的评估，可根据支付利息方式的不同，分为下面两种情况。
（1）每年计算并支付利息，到期归还本金。
设PV为债券内在价值，C为年利息收入，D为债券面值，n为债券的期限年数，rt为第t（1≤t≤n）年的贴现率，则
（2）到期一次归还本金和利息。
這类债券的内在价值为
例1 一公司将要发行一种面值为1000元的20年期债券，票面利率为11%/年，同类债券的贴现率统一为8%/年，则这类债券的内在价值为
通常地，债券在发行前，债券面值、期限和利率都已确定，于是，债券的内在价值就完全由贴现率决定。贴现率增大，债券的内在价值就会下跌;反之，债券的内在价值就会上升。 4、股票内在价值评估模型
随着市场经济的发展，我国的证券正在经历加速发展的态势，与债券类似，越来越多的人开始持有股票，希望能从中获利。股票的价值可分为内在价值（理论价格）和市场价值。在理性市场中，市场价格的波动总是依赖内在价值的波动。股票的内在价值可以看作是未来各期预期收益的现值的总和。
设W为股票内在价值，Dt为第t（1≤t≤n）期每股预期股息收入，n为期数，r为贴现率，则
股票内在价值的评估，根据股息变换情况的不同，可分为以下三种情况。
（1）零增长模型。
假定未来各期预期股息保持不变，即假设D1=D2=...Dn=D，则
显然，当投资者长期持有股票时，即n→∞时，有 。特别地，当贴现率 为银行利率时，上面的公式可理解为：
这表明，股票内在价值近似地与股息成正比关系，与银行利率成反比关系，通常的降息会促使股票上扬。
（2）固定增长模型。
假定股息增长率为g，且g是一个常数。那么，若设第一年的股息为D，则第二年的股息为D（1+g），第三年的股息为D（1+g）2，以此类推，第n年的股息为D（1+g）n-1。于是，股票的内在价值即为：
这说明，前景明朗、增长潜力较大的公司的股票价格与市场相较而言略高。
现实中，在证券市场中，股息长期不变或者总是以固定增长率增长都是不可能的。公司的发展往往是是具有阶段性的，在起步阶段往往发展较快，经过一段时间调整后，就会进入逐步稳定的发展阶段。针对这种情况，有学者提出三阶段模型、H模型、P/E模型等，在此不再赘述。
三、结束语
观察金融发展的漫长历史，金融理论和实践的发展是依赖数学的，对数学模型的研究现也已成为金融领域研究的关键因素。目前，随着市场经济的不斷推进和金融领域的发展，数学模型在金融领域中的作用也愈发明显。同时，数学模型也在不断鼓励着金融实践的进步。
参考文献：
[1]陈学彬.金融学[M].北京：高等教育出版社，2013.
[2]吴晓求.证券投资学[M].北京：中国人民大学出版社，2010.
[3]郭宇权.金融衍生品数学模型[M].北京：世界图书出版公司，2010.
[4]吴春雪.探索数学模型在金融中的具体应用[J].经济研究导刊，2018，37（27）：111-112.