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【内容摘要】长期以来，数学方面总存在着教学方式与学生实际需求、数学内容与数学实际应用等相脱节问题。本文结合概率教学内容与教学实践的思考，阐述了概率教学中的几点看法。
【关键词】教学 概率 应用
基于特定的评价体系，数学教育工作者往往侧重学术性课程的填鸭式，学习者强化接收。虽教学效率高，学生短时间内接受了系统的知识体系，但过于强调“接受”，压抑了学生学习的积极性。如此教、学状况，忽视了学校课程与社会生活间的联系，学生虽掌握了课程的“知识世界”，可缺乏质疑精神及提出问题的能力，体验不到学习对个人的现实意义。现实的教学偏离了预定目标，违背了教育目的。
尤其是新增加的内容，这些新增内容为我们探索课改中教与学模式提供了新场所，有助于逐渐理解、适应即将到来的新一轮课改教学。其中，概率是高中数学知识模块的新增部分，是实用性较强的内容。无论是从课改精神方面，或是基于近几年的高考命题，提高概率教学质量是非常必要的。由此，在教学实践中，结合该知识的特点，对课程教学做了些思考。
一、介绍概率的起源及应用情况，使学生初步认识概率学的重要性
面对新的知识领域，常常令初学者感到茫然。帮助学生了解概率产生的实际背景，介绍概率在人类文明发展中的作用，有助于学生逐步接纳此“数学文化”，为后继的学习营造良好的文化氛围。
1.概率与机会性游戏
所谓机会性游戏就是靠运气取胜的一些游戏，如赌博。有史可查的概率知识的起源，与人类的这种机会性游戏密切相关。以骰子为赌博工具的游戏中，孕含着概率理论的某些思想。然而，在玩骰子游戏的几千年时间里，人们对其中的概率思想的发现、认识经历了一个漫长的过程。直到15世纪后期和16世纪早期才有人意识到骰子点数下落频率的计算是可能的、有效的，每一面会以相同的频率出现等这些最简单的概率思想。进而，概率理论才逐渐被正视，走上了研究、发展、应用的道路。
2.概率与生活
概率论不仅是当代科学的重要数学基础之一，而且还是当代社会和人类日常生活最必需的知识之一。正如十九世纪法国著名数学拉普拉斯所说：“对于生活中的大部分，最重要的问题实际上只是概率问题。你可以说几乎我们所掌握的所有知识都是不确定的，只有一小部分我们能确定地了解。甚至数学科学本身，归纳法、类推法和发现真理的首要手段都是建立在概率论的基础之上的。因此，整个的人类知识系统是与这一理论相联系的……”
的确，我们只要留意周围的一些现象，就会发现在某种程度上概率统计的知识已经成为人类生活中重要的一部分。如我们所熟悉的天气预报、彩票、抓阄、算命等等，均与概率知识相关。
二、设置概率的可操作、解释的经典案例，培养学生学习概率的兴趣
对于新的学习领域，传统的教学方式往往一进门就把学生引入纯数学的天堂。缺少必要的感性认识，难以自然过渡为理性认识。为使学生有充分的“思想准备”，教学过程中，可采取边走边欣赏的方式，通过浏览概率的各种“风景”后，再进入纯数学天堂，使各种概念和定理成为有源之水、有本之木。
1.生日问题
教学中，借助本教学班（每个教学班一般为50人左右）为实验实体。以“班级是否有同学生日相同”为主题，设置“打赌”游戏。通过现场验证或学生自己组织验证等方式的互动性游戏，提高学生参与教、学的积极性，同时加深某些“数学内涵”的感性认识。
统计的情况将是令人吃惊的：几乎所有班级都存在生日相同的同学。这是巧合吗？由此展开概率知识的学习及于此的解释。
分析：设事件A为“50人的生日全都不相同”，则事件 为“50人中，至少有2个人生日相同”。
①50个人可能的生日组合是：36550
②50个人生日都不重复的组合是：A36550
因为50个人的生日的所有情况中，每种结果的出现是等可能的
所以P（A）=
则1-P（A）≈0.9651。
综上所述，50人中存在生日相同的概率为96.51%，不存在生日相同的概率仅为3.49%，因此打赌时把赌压在概率大的事件上较易获胜。由此，说明缺乏概率知识的情况下，人们的随意猜测往往会与事实南辕北辙。
2.占卜问题
庙宇中常有欲与“神明”沟通者，他们借助于一对阴阳两面的“器物”占卜（俗称问卦）。沟通者口中念念有词，而后掷出“器物”。当这对“器物”呈现“一阴一阳”时，表示与“神明”沟通成功；当呈现“两阳”或“两阴”时表示沟通失败；众所周知，此种迷信活动不足为信。而其中，表示沟通成功或失败所对应的“卦相”，是否“公平、合理”？是否另有玄机？
分析：一对“器物”的“卦相”有4种：（阳阳）（阳阴）（阴阳）（阴阴）。
又由于每种“卦相”的出现是等可能的，因此呈现阴阳搭配（即沟通成功）的概率为1/2。若以呈现“两阴”（或“两阳”）为成功标志，则沟通成功的概率仅为1/4。
继续拓展：若连续出现三次沟通成功称为“显灵”的话，其概率有多大呢？
分析：因为每一次“沟通成功”事件是否发生对另一次事件发生的概率没有影响，即连续出现三次“沟通成功”为三次独立重复试验，用独立重复试验公式求得发生的概率为1/8。
3.男女婴出生频率问题
研究男女婴出生频率，对人口统计是很重要的。教学中可让学生根据对社会人口男女比例的感知，猜测在遵循自然选择时男女婴的出生率情况。
分析：由生物遗传学知，性别由染色体决定。女婴染色体为XX，男婴染色体为XY。每一婴儿的染色体构成，由母体（染色体为XX）接受一个X，由父体（染色体为XY）接受一个X或Y。即性别决定于从父体接受的染色体为X（女婴）或为Y（男婴）。因这种接受是随机等可能的，由概率知识知，男女婴的出生率均为0.5。因此男女婴构成应大体呈现平衡之势。 三、设立体现概率对于生活中某些重要应用的专题，增强学生应用意识及实践能力
提供以生活为背景的热点问题，开展相关的“数学建模”学习活动，力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。
“六合彩”赌博问题
近些年，“六合彩”赌博之风盛行。广东、福建等沿海地区尤甚，各年龄阶层均参与，时不时地上演各种闹剧、悲剧。“六合彩”1：36的赔率是其宣传、吸引人的最大卖点，它点燃了人们暴富的心理。
建模时引导学生全面把握：彩民的输（赢）意味着庄家的赢（输），因此彩民与庄家在赌彩时的联系与区别须充分考虑（即赌彩的“互动”关系）；再者，1：36的赔率虽大，但输多赢少是不争的事实，建模时是否还要考虑赔率以外的事？（如中奖概率！）
“六合彩”共有47个号码，其游戏规则：1：36的赔率，即若以1元买一码，中码后可获36元；不中，则不给赔金。（注：每次以摇奖形式开码）
（1）某人买一码，那么他中奖的概率为多少？
（2）某县，若按100万人次买码，每人次10元为例，则“六合彩”庄家是赚还是赔？具体数值是多少（精确到万元）？
（3）通过以上计算，有何体会？
师生共同分析：
（1）以摇奖形式开码，则47个码的出现是等可能的。因此中奖概率为1/47；
（2）①开码前，庄家收到的赌资为1000万；②庄家在开奖后应支付的赔金为：766万元。故，完成一次“六合彩”赌博，庄家赚；净赚金额234万元；
（3）通过以上计算，不难看出，虽赔率1：36很诱人，但中码的概率极低——仅1/47，即中码的可能性很小，所以应劝告彩民们不要参与“六合彩”赌博活动。
四、整合几类古典概率，全面提高学生分析问题、解决问题的能力
在充分调动学生学习积极性外，还应引导学生整理、构建知识框架，掌握概率知识体系。
1.三种古典概率的特点及对应公式
通过具体实例讲透：
①等可能事件是指“一事件”在多次的试验中，发生的可能性是相同的。适用于求解某一“子事件”发生的概率。
②互斥事件和相互独立事件都是针对“两个或两个以上事件”怎样发生而言的。其中，互斥事件指两个（或多个）事件“不可能同时发生”，即两事件相互制约。两互斥事件有一个发生的概率公式为P（A B）=P（A） P（B）；相互独立事件指一事件的发生与否对另一事件发生的概率“没有影响”即两事件互不相干。两独立事件同时发生的概率公式为P（A·B）=P（A）·P（B）。
2.突破概率的模式识别
教学中，采取类比典型例子的方式，培养学生判别概率类型的能力，提高解决不同概率模型问题的实效性。
例：袋中4只黑球，3只白球，它们除颜色不同外，没有其他区别，计算：
（1）从中随机地摸出3只球，则摸出3只黑球的概率
（2）从中随机地摸出3只球，则摸出3只同颜色球的概率
（3）从中随机地摸出3只球，则摸出至少1只黑球的概率
（4）现把球随机地一只只摸出，每次摸出后记下颜色再放回袋中，则第三次才摸出黑球的概率
（5）现把球随机地一只只摸出，每次摸出后记下颜色再放回袋中，则三次摸球中恰有两次摸出黑球的概率
（6）现把球随机地一只只摸出，每次摸出后记下颜色再放回袋中，则三次摸球中至多有两次摸出黑球的概率
分析：（1）设事件A为“摸出的2球为黑球”，则由等可能事件公式知概率：35分之4；
（2）设事件A为“摸出的3球为黑球”，事件B为“摸出的3球为白球”，则事件A B为“摸出的3球同颜色”，由互斥事件公式得概率为7分之1；
（3）设事件A为“摸出的三球均为白球”，则事件 为“摸出的三球至少1只黑球”，由对立事件分工得概率为35分之34；
说明：本题也可用互斥事件的概率公式求解。但若出现“至少”“至多”等类型的概率问题时，注意考虑对立事件的概率公式。
（4）设事件A为“第一次摸出的球为白球”，事件B为“第二次摸出的球为白球”，事件C为“第三次摸出的球为黑球”，则事件A·B·C为“第三次才摸出黑球”，由相互独立事件公式得概率为343分之36；
（5）每次摸出黑球的概率为7分之4，由独立重复事件知，三次摸球中恰有两次摸出黑球的概率为343分之144；
（6）方法一：独立重复事件概率公式和互斥事件概率公式的综合应用。“三次摸球中至多有两次摸出黑球”即分为三种情况：①三次摸球中均没摸到黑球，②三次摸球中仅摸出一个黑球，③三次摸球中摸出两个黑球。因此，三次摸球中至多有两次摸出黑球的概率是①②③的三个概率之和为343分之279。
方法二：独立重复事件概率公式和对立事件概率公式的综合应用。“三次摸球中至多有两次摸出黑球”的对立面为“三次摸球中均摸得黑球”，因此，用对对事件公式得三次摸球中至多有两次摸出黑球的概率为343分之279。
【参考文献】
[1] 汪晓勤、韩祥临.《中学数学中的数学史》，科学出版社，2002.
[2] 茆诗松、程依明、濮晓龙.《概率论与数理统计教程》，高等教育出版社，2004.
[3] 王幼军. 概率论的起源——机会性游戏，《数学教学》，2004（6）.
（作者单位：福建省屏南县第二中学）
【关键词】教学 概率 应用
基于特定的评价体系，数学教育工作者往往侧重学术性课程的填鸭式，学习者强化接收。虽教学效率高，学生短时间内接受了系统的知识体系，但过于强调“接受”，压抑了学生学习的积极性。如此教、学状况，忽视了学校课程与社会生活间的联系，学生虽掌握了课程的“知识世界”，可缺乏质疑精神及提出问题的能力，体验不到学习对个人的现实意义。现实的教学偏离了预定目标，违背了教育目的。
尤其是新增加的内容，这些新增内容为我们探索课改中教与学模式提供了新场所，有助于逐渐理解、适应即将到来的新一轮课改教学。其中，概率是高中数学知识模块的新增部分，是实用性较强的内容。无论是从课改精神方面，或是基于近几年的高考命题，提高概率教学质量是非常必要的。由此，在教学实践中，结合该知识的特点，对课程教学做了些思考。
一、介绍概率的起源及应用情况，使学生初步认识概率学的重要性
面对新的知识领域，常常令初学者感到茫然。帮助学生了解概率产生的实际背景，介绍概率在人类文明发展中的作用，有助于学生逐步接纳此“数学文化”，为后继的学习营造良好的文化氛围。
1.概率与机会性游戏
所谓机会性游戏就是靠运气取胜的一些游戏，如赌博。有史可查的概率知识的起源，与人类的这种机会性游戏密切相关。以骰子为赌博工具的游戏中，孕含着概率理论的某些思想。然而，在玩骰子游戏的几千年时间里，人们对其中的概率思想的发现、认识经历了一个漫长的过程。直到15世纪后期和16世纪早期才有人意识到骰子点数下落频率的计算是可能的、有效的，每一面会以相同的频率出现等这些最简单的概率思想。进而，概率理论才逐渐被正视，走上了研究、发展、应用的道路。
2.概率与生活
概率论不仅是当代科学的重要数学基础之一，而且还是当代社会和人类日常生活最必需的知识之一。正如十九世纪法国著名数学拉普拉斯所说：“对于生活中的大部分，最重要的问题实际上只是概率问题。你可以说几乎我们所掌握的所有知识都是不确定的，只有一小部分我们能确定地了解。甚至数学科学本身，归纳法、类推法和发现真理的首要手段都是建立在概率论的基础之上的。因此，整个的人类知识系统是与这一理论相联系的……”
的确，我们只要留意周围的一些现象，就会发现在某种程度上概率统计的知识已经成为人类生活中重要的一部分。如我们所熟悉的天气预报、彩票、抓阄、算命等等，均与概率知识相关。
二、设置概率的可操作、解释的经典案例，培养学生学习概率的兴趣
对于新的学习领域，传统的教学方式往往一进门就把学生引入纯数学的天堂。缺少必要的感性认识，难以自然过渡为理性认识。为使学生有充分的“思想准备”，教学过程中，可采取边走边欣赏的方式，通过浏览概率的各种“风景”后，再进入纯数学天堂，使各种概念和定理成为有源之水、有本之木。
1.生日问题
教学中，借助本教学班（每个教学班一般为50人左右）为实验实体。以“班级是否有同学生日相同”为主题，设置“打赌”游戏。通过现场验证或学生自己组织验证等方式的互动性游戏，提高学生参与教、学的积极性，同时加深某些“数学内涵”的感性认识。
统计的情况将是令人吃惊的：几乎所有班级都存在生日相同的同学。这是巧合吗？由此展开概率知识的学习及于此的解释。
分析：设事件A为“50人的生日全都不相同”，则事件 为“50人中，至少有2个人生日相同”。
①50个人可能的生日组合是：36550
②50个人生日都不重复的组合是：A36550
因为50个人的生日的所有情况中，每种结果的出现是等可能的
所以P（A）=
则1-P（A）≈0.9651。
综上所述，50人中存在生日相同的概率为96.51%，不存在生日相同的概率仅为3.49%，因此打赌时把赌压在概率大的事件上较易获胜。由此，说明缺乏概率知识的情况下，人们的随意猜测往往会与事实南辕北辙。
2.占卜问题
庙宇中常有欲与“神明”沟通者，他们借助于一对阴阳两面的“器物”占卜（俗称问卦）。沟通者口中念念有词，而后掷出“器物”。当这对“器物”呈现“一阴一阳”时，表示与“神明”沟通成功；当呈现“两阳”或“两阴”时表示沟通失败；众所周知，此种迷信活动不足为信。而其中，表示沟通成功或失败所对应的“卦相”，是否“公平、合理”？是否另有玄机？
分析：一对“器物”的“卦相”有4种：（阳阳）（阳阴）（阴阳）（阴阴）。
又由于每种“卦相”的出现是等可能的，因此呈现阴阳搭配（即沟通成功）的概率为1/2。若以呈现“两阴”（或“两阳”）为成功标志，则沟通成功的概率仅为1/4。
继续拓展：若连续出现三次沟通成功称为“显灵”的话，其概率有多大呢？
分析：因为每一次“沟通成功”事件是否发生对另一次事件发生的概率没有影响，即连续出现三次“沟通成功”为三次独立重复试验，用独立重复试验公式求得发生的概率为1/8。
3.男女婴出生频率问题
研究男女婴出生频率，对人口统计是很重要的。教学中可让学生根据对社会人口男女比例的感知，猜测在遵循自然选择时男女婴的出生率情况。
分析：由生物遗传学知，性别由染色体决定。女婴染色体为XX，男婴染色体为XY。每一婴儿的染色体构成，由母体（染色体为XX）接受一个X，由父体（染色体为XY）接受一个X或Y。即性别决定于从父体接受的染色体为X（女婴）或为Y（男婴）。因这种接受是随机等可能的，由概率知识知，男女婴的出生率均为0.5。因此男女婴构成应大体呈现平衡之势。 三、设立体现概率对于生活中某些重要应用的专题，增强学生应用意识及实践能力
提供以生活为背景的热点问题，开展相关的“数学建模”学习活动，力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。
“六合彩”赌博问题
近些年，“六合彩”赌博之风盛行。广东、福建等沿海地区尤甚，各年龄阶层均参与，时不时地上演各种闹剧、悲剧。“六合彩”1：36的赔率是其宣传、吸引人的最大卖点，它点燃了人们暴富的心理。
建模时引导学生全面把握：彩民的输（赢）意味着庄家的赢（输），因此彩民与庄家在赌彩时的联系与区别须充分考虑（即赌彩的“互动”关系）；再者，1：36的赔率虽大，但输多赢少是不争的事实，建模时是否还要考虑赔率以外的事？（如中奖概率！）
“六合彩”共有47个号码，其游戏规则：1：36的赔率，即若以1元买一码，中码后可获36元；不中，则不给赔金。（注：每次以摇奖形式开码）
（1）某人买一码，那么他中奖的概率为多少？
（2）某县，若按100万人次买码，每人次10元为例，则“六合彩”庄家是赚还是赔？具体数值是多少（精确到万元）？
（3）通过以上计算，有何体会？
师生共同分析：
（1）以摇奖形式开码，则47个码的出现是等可能的。因此中奖概率为1/47；
（2）①开码前，庄家收到的赌资为1000万；②庄家在开奖后应支付的赔金为：766万元。故，完成一次“六合彩”赌博，庄家赚；净赚金额234万元；
（3）通过以上计算，不难看出，虽赔率1：36很诱人，但中码的概率极低——仅1/47，即中码的可能性很小，所以应劝告彩民们不要参与“六合彩”赌博活动。
四、整合几类古典概率，全面提高学生分析问题、解决问题的能力
在充分调动学生学习积极性外，还应引导学生整理、构建知识框架，掌握概率知识体系。
1.三种古典概率的特点及对应公式
通过具体实例讲透：
①等可能事件是指“一事件”在多次的试验中，发生的可能性是相同的。适用于求解某一“子事件”发生的概率。
②互斥事件和相互独立事件都是针对“两个或两个以上事件”怎样发生而言的。其中，互斥事件指两个（或多个）事件“不可能同时发生”，即两事件相互制约。两互斥事件有一个发生的概率公式为P（A B）=P（A） P（B）；相互独立事件指一事件的发生与否对另一事件发生的概率“没有影响”即两事件互不相干。两独立事件同时发生的概率公式为P（A·B）=P（A）·P（B）。
2.突破概率的模式识别
教学中，采取类比典型例子的方式，培养学生判别概率类型的能力，提高解决不同概率模型问题的实效性。
例：袋中4只黑球，3只白球，它们除颜色不同外，没有其他区别，计算：
（1）从中随机地摸出3只球，则摸出3只黑球的概率
（2）从中随机地摸出3只球，则摸出3只同颜色球的概率
（3）从中随机地摸出3只球，则摸出至少1只黑球的概率
（4）现把球随机地一只只摸出，每次摸出后记下颜色再放回袋中，则第三次才摸出黑球的概率
（5）现把球随机地一只只摸出，每次摸出后记下颜色再放回袋中，则三次摸球中恰有两次摸出黑球的概率
（6）现把球随机地一只只摸出，每次摸出后记下颜色再放回袋中，则三次摸球中至多有两次摸出黑球的概率
分析：（1）设事件A为“摸出的2球为黑球”，则由等可能事件公式知概率：35分之4；
（2）设事件A为“摸出的3球为黑球”，事件B为“摸出的3球为白球”，则事件A B为“摸出的3球同颜色”，由互斥事件公式得概率为7分之1；
（3）设事件A为“摸出的三球均为白球”，则事件 为“摸出的三球至少1只黑球”，由对立事件分工得概率为35分之34；
说明：本题也可用互斥事件的概率公式求解。但若出现“至少”“至多”等类型的概率问题时，注意考虑对立事件的概率公式。
（4）设事件A为“第一次摸出的球为白球”，事件B为“第二次摸出的球为白球”，事件C为“第三次摸出的球为黑球”，则事件A·B·C为“第三次才摸出黑球”，由相互独立事件公式得概率为343分之36；
（5）每次摸出黑球的概率为7分之4，由独立重复事件知，三次摸球中恰有两次摸出黑球的概率为343分之144；
（6）方法一：独立重复事件概率公式和互斥事件概率公式的综合应用。“三次摸球中至多有两次摸出黑球”即分为三种情况：①三次摸球中均没摸到黑球，②三次摸球中仅摸出一个黑球，③三次摸球中摸出两个黑球。因此，三次摸球中至多有两次摸出黑球的概率是①②③的三个概率之和为343分之279。
方法二：独立重复事件概率公式和对立事件概率公式的综合应用。“三次摸球中至多有两次摸出黑球”的对立面为“三次摸球中均摸得黑球”，因此，用对对事件公式得三次摸球中至多有两次摸出黑球的概率为343分之279。
【参考文献】
[1] 汪晓勤、韩祥临.《中学数学中的数学史》，科学出版社，2002.
[2] 茆诗松、程依明、濮晓龙.《概率论与数理统计教程》，高等教育出版社，2004.
[3] 王幼军. 概率论的起源——机会性游戏，《数学教学》，2004（6）.
（作者单位：福建省屏南县第二中学）