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数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括.在等比数列的定义与性质求解的学习中，也毫不例外，下面我们就将学习中常见几类思想做一归纳，以供借鉴提高.
一、方程思想
方程的思想，就是分析数学问题中的变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，或者构建方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决.在等比数列中， 以及后面将要学的 共五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个.解这类问题一般都要构建方程，利用题设，及其等比数列的定义、通项公式及性质转化为首项 和公比 这个两个基本量的方程进行求解.
例1．有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.
分析：设出其中两个数，根据关系表示出其余两个数，然后联立方程组求解.
解法1：设前两个数分别是 、 ，则第3、4个数分别是 、
由题意有 解得 或
或
解法2：设第2、3个数分别为 、 ，则第一个数为 第4个数为
由题意有 以下解法同解法1，解方程组即可.
解法3：设第1、3个数分别为 、 ，则第2、4个数分别是
由题意有 以下解法同解法1，解方程组即可.
解法4：设第3、4个数分别为 、 ，则第1、2个数分别为
由题意有 以下解法同解法1，解方程组即可.
点评：本题几种解法的思路都是设未知数、列方程.但解法1、解法4要优于其他解法，因为未知数少且未出现分式，是两种较好的解法.它们共同的特点都是利用通过方程运算，来实现求解目标的.
二、 函数思想
函数的思想是用运动变化的观点、几何与对应的思想去分析研究数学问题的数量关系，建立函数关系或构建函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而解决问题.作为数列它本身是一种特殊的函数，因此我们可以利用函数的特性来研究等比数列，借助函数的一些性质进而解决等比数列的一些具体问题.
例2。已知二次函数 它满足条件：① ② 的最小值为
（1）求函数 的解析式；
（2）设数列 的前 项的积为 求数列 的通项公式；
（3）在（2）的条件下，若 是 与 的等差中项，试问数列 中第几项的值最小？并求出这个最小值.
分析：（1）根据条件关系列出方程求出参量 就可达到求解函数 的解析式的目的；（2）根据题设列出前 项的积式，对照观察，通过作比求得数列 的通项公式；（3）运用等比数列所对应函数的单调性知识求出最值.
解析：（1）依题意，有 所以
(2)
又 满足上式，所以
（3）
又 是 与 的等差中项
故
因为 是 的减函数，所以当 即 时， 随 的增大而减小，此时最小值为
当 即 时， 随 的增大而增大，此时最小值为
又
故数列 中， 最小，
点评：这是数列与函数的综合题，充分利用数列的函数特性，进行求解运算.
三、分类讨论的思想
分类讨论思想是一种“化繁为简、化整为零，分别对待，各个击破，再积零为整”的思维策略.运用分类讨论思想，应把握分类原则、分类方法和注重分类原因的探讨：
1 .引起分类讨论原因的探究。引起分类讨论的原因大致可归结为：涉及数学概念是分类定义的；运用数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；数学问题中含参数，这些参数不同的取值导致不同的结果；较复杂或非常规的数学问题，需要采用分类讨论的解题策略来解决;
2 .分类讨论必须遵循的原则。施行分类的集合的全集必须是确定的；每一次分类的标准必须是同一的；分类是完备的“彼此的交集为空集，彼此的并集为全集”；若多次分类，必须逐级进行，不能越级;
3 .分类讨论的方法。明确分类的对象，确定对象的全体；确定分类的标准，正确分类；逐类进行讨论，获得阶段性的结果；归纳小结，综合结论.
4. 简化或避免分类讨论的策略。化参数为主元，函数思想应用；正难则反，补集思想的应用；换元法；数形结合法。
四、整体变换思想
整体变换思想是指将复杂的代数式或几何图形中的一部分看作一个整体进行变换，使问题简单化.在等比数列中，我们可以利用等比数列的性质进行整体转换求解来简化求解运算.
五、转化与化归思想
解决某些数学问题时,如果直接求解较为困难,可通过观察、分析、类比、联想等思维过程,运用恰当的数学方法进行变换,将问题转化为一个新问题(相对来说较为熟悉的问题),通过新问题的求解,、达到解决原问题的目的。这一思想方法我们称之为“转化与化归的思想方法”。转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的转换过程,化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题。转化与化归的思想是中学数学最基本的思想方法.在等比数列中，运用定义法证明等比数列或其它可化为等比数列的数列，我们根据等比数列的定义和性质要求将具体问题，向其转化处理.
六、数形结合思想
数形结合思想是指看到图形的一些特征可以想到数学式子中相应的反映，是看到数学式子的特征就能联想到在图形上相应的几何表现.数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.而等比数列与指数函数对应，因此我们可以借助函数图像来简化求解.
例6．朝阳电器厂和红星电器厂2010年元月份的产值相等，朝阳电器厂的产值逐月增加且每月增加的产值相同，红星电器厂的产值也逐月增加，且每月增加的百分率相同，已知2011年元月份两厂的产值又相同，则2010年7月份，产值高的工厂是（）
A．朝阳电器厂 B．红星电器厂 C．两厂一样 D．无法确定
答案：A；
解析：用函数观念认识等差数列和等比数列的通项，实质为直线和指数函数有两个交点的问题，注意交点之间函数值的大小关系，本题实质是比较两个交点的中点处的函数值的大小，注意公比大于1时指数函数是增函数的特点，在交点之间指数函数图象始终在直线下方，则可选A；
点评：等差数列与等比数列是特殊的函数，因此它们具有函数的特性，我们可以借助于函数图像，直观观察图像间的关系，从而得到求解.
（陕西省渭南市铁路自立中学）
一、方程思想
方程的思想，就是分析数学问题中的变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，或者构建方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决.在等比数列中， 以及后面将要学的 共五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个.解这类问题一般都要构建方程，利用题设，及其等比数列的定义、通项公式及性质转化为首项 和公比 这个两个基本量的方程进行求解.
例1．有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.
分析：设出其中两个数，根据关系表示出其余两个数，然后联立方程组求解.
解法1：设前两个数分别是 、 ，则第3、4个数分别是 、
由题意有 解得 或
或
解法2：设第2、3个数分别为 、 ，则第一个数为 第4个数为
由题意有 以下解法同解法1，解方程组即可.
解法3：设第1、3个数分别为 、 ，则第2、4个数分别是
由题意有 以下解法同解法1，解方程组即可.
解法4：设第3、4个数分别为 、 ，则第1、2个数分别为
由题意有 以下解法同解法1，解方程组即可.
点评：本题几种解法的思路都是设未知数、列方程.但解法1、解法4要优于其他解法，因为未知数少且未出现分式，是两种较好的解法.它们共同的特点都是利用通过方程运算，来实现求解目标的.
二、 函数思想
函数的思想是用运动变化的观点、几何与对应的思想去分析研究数学问题的数量关系，建立函数关系或构建函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而解决问题.作为数列它本身是一种特殊的函数，因此我们可以利用函数的特性来研究等比数列，借助函数的一些性质进而解决等比数列的一些具体问题.
例2。已知二次函数 它满足条件：① ② 的最小值为
（1）求函数 的解析式；
（2）设数列 的前 项的积为 求数列 的通项公式；
（3）在（2）的条件下，若 是 与 的等差中项，试问数列 中第几项的值最小？并求出这个最小值.
分析：（1）根据条件关系列出方程求出参量 就可达到求解函数 的解析式的目的；（2）根据题设列出前 项的积式，对照观察，通过作比求得数列 的通项公式；（3）运用等比数列所对应函数的单调性知识求出最值.
解析：（1）依题意，有 所以
(2)
又 满足上式，所以
（3）
又 是 与 的等差中项
故
因为 是 的减函数，所以当 即 时， 随 的增大而减小，此时最小值为
当 即 时， 随 的增大而增大，此时最小值为
又
故数列 中， 最小，
点评：这是数列与函数的综合题，充分利用数列的函数特性，进行求解运算.
三、分类讨论的思想
分类讨论思想是一种“化繁为简、化整为零，分别对待，各个击破，再积零为整”的思维策略.运用分类讨论思想，应把握分类原则、分类方法和注重分类原因的探讨：
1 .引起分类讨论原因的探究。引起分类讨论的原因大致可归结为：涉及数学概念是分类定义的；运用数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；数学问题中含参数，这些参数不同的取值导致不同的结果；较复杂或非常规的数学问题，需要采用分类讨论的解题策略来解决;
2 .分类讨论必须遵循的原则。施行分类的集合的全集必须是确定的；每一次分类的标准必须是同一的；分类是完备的“彼此的交集为空集，彼此的并集为全集”；若多次分类，必须逐级进行，不能越级;
3 .分类讨论的方法。明确分类的对象，确定对象的全体；确定分类的标准，正确分类；逐类进行讨论，获得阶段性的结果；归纳小结，综合结论.
4. 简化或避免分类讨论的策略。化参数为主元，函数思想应用；正难则反，补集思想的应用；换元法；数形结合法。
四、整体变换思想
整体变换思想是指将复杂的代数式或几何图形中的一部分看作一个整体进行变换，使问题简单化.在等比数列中，我们可以利用等比数列的性质进行整体转换求解来简化求解运算.
五、转化与化归思想
解决某些数学问题时,如果直接求解较为困难,可通过观察、分析、类比、联想等思维过程,运用恰当的数学方法进行变换,将问题转化为一个新问题(相对来说较为熟悉的问题),通过新问题的求解,、达到解决原问题的目的。这一思想方法我们称之为“转化与化归的思想方法”。转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的转换过程,化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题。转化与化归的思想是中学数学最基本的思想方法.在等比数列中，运用定义法证明等比数列或其它可化为等比数列的数列，我们根据等比数列的定义和性质要求将具体问题，向其转化处理.
六、数形结合思想
数形结合思想是指看到图形的一些特征可以想到数学式子中相应的反映，是看到数学式子的特征就能联想到在图形上相应的几何表现.数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.而等比数列与指数函数对应，因此我们可以借助函数图像来简化求解.
例6．朝阳电器厂和红星电器厂2010年元月份的产值相等，朝阳电器厂的产值逐月增加且每月增加的产值相同，红星电器厂的产值也逐月增加，且每月增加的百分率相同，已知2011年元月份两厂的产值又相同，则2010年7月份，产值高的工厂是（）
A．朝阳电器厂 B．红星电器厂 C．两厂一样 D．无法确定
答案：A；
解析：用函数观念认识等差数列和等比数列的通项，实质为直线和指数函数有两个交点的问题，注意交点之间函数值的大小关系，本题实质是比较两个交点的中点处的函数值的大小，注意公比大于1时指数函数是增函数的特点，在交点之间指数函数图象始终在直线下方，则可选A；
点评：等差数列与等比数列是特殊的函数，因此它们具有函数的特性，我们可以借助于函数图像，直观观察图像间的关系，从而得到求解.
（陕西省渭南市铁路自立中学）