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【摘要】《解析几何》是大学数学专业的一门主要基础课，是对平面解析几何及立体几何的扩充和延伸，同时，它是大学很多其他课程的基础，因此掌握好解析几何的内容非常重要，本文作者从几年的教学经验中，针对教学过程中发现的问题，阐述总结了在教学改革中的实践经验。
【关键词】解析几何 ； 教学改革 ； 现代教育技术
【基金项目】广西高等学校特色专业及课程一体化建设项目（GXTSZY2220）《数学与应用数学》；河池学院重点学科《应用数学》（2007）和《统计学》（2013）；2011年度院级青年科研立项A类项目（2011A-N009）。
【中图分类号】O182-4 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2015）7-0001-02
解析几何是一门较为基础的课程，它是大学很多其他课程的基础，如高等几何、微分几何、数学分析、高等数学等。此外，解析几何的思想方法已渗透到中学的各个部分之中，它对提高学生的抽象思维能力、逻辑推理能力以及培养学生的创造能力也起着非常重要的作用。本文作者从几年的教学经验中，针对教学过程中发现的问题，谈谈师范院校解析几何这门课程的教学改革。本文针对的教材是吕林根，许子道等编写的《解析几何》教材。
1.重视第一章——向量与坐标的学习，联系中学初等几何的内容，培养学生对本门课程的兴趣
解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何，把几何的研究从形的定性研究推进到可以计算的定量的层面，为了把代数运算引到几何中来，最根本的做法就是设法把空间的几何结构有系统的代数化，数量化。因此，教材《解析几何》第一章所列内容向量与坐标是全书的工具和基础.第一章的作用在本门课程的另一个重点内容平面与空间直线的教学中体现得尤为突出。在那里，平面方程和空间直线方程的建立，不过是向量互垂、向量共面、向量共线條件的应用。各种各样的距离不过是向量的模的计算，而各种各样的角的计算统统可归为两向量的夹角的计算，因此，在整个解析几何教学过程中，注重第一章的学习，在第一章多花一些时间和功夫，掌握工具，打牢基础，是很有必要的。这一章的特点是基本概念多、灵活技巧少，因此这一章的教学可采用概念符号鉴别法，自始至终紧扣每一个概念和符号的内涵，许多问题便迎刃而解了。另外这一章里前三节是高中已学过的内容，可让学生先自学当做复习旧知，然后老师在强调重点概念，这样学生对要掌握的知识印象更深刻。
在本章向量的学习内容中涉及到利用向量法解决初等问题的内容，在讲授这些内容的时，让学生感受到利用解析几何的内容和方法，可以很简便地处理一些初等问题。而方法上比中学的方法简单很多，能激起学生的学习兴趣，又能掌握好现所学的知识，对后面内容的学习有深远的影响。
1.1利用向量方法可以简便证明初等几何中有关平行、垂直、相交等结论
例如证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分等。
1.2 利用向量法可以证明有关三角形、平行四边形的一些量
比如三角形余弦定理、正弦定理、面积的海伦公式的，而且方法简便。
1.3 利用向量运算可以简便地算一些几何量
比如利用向量积的模可以计算三角形、平行四边形的面积，利用三向量的混合积的绝对值可以计算四面体、平行六面体的体积等。
2.在教学中要注意培养学生的空间想象能力，注重提高学生对空间图形的绘制技能和技巧，为后续课程如微积分的学习打下坚实基础
微积分是理工科学习的一门必修课，而重积分的计算是微积分学的一个重要的内容，计算重积分的一个关键就是要能够根据曲面的方程绘制出一些简单曲面的图形，很多学生在学习这部分内容时都觉得绘制图形很难，这就需要在解析几何第2、3、4章的学习中打好基础。
2.1 强调空间图形方程的一般形式
解析几何就是用代数的方法来研究几何。它的基本的数学思想就是数形结合，通过标架，建立了空间的点、向量、有序数组的一一对应关系。点构成曲线（面），变数构成方程，点与数组既因坐标系的建立而联系起来，曲线（面）与方程自然也可通过坐标系而结合起来。从而，研究曲线与曲面的几何问题就可归结为研究其方程的代数问题了。由几何到代数，再由代数到几何。几何条件的代数表示，代数式子及代数步骤的几何解释，这是贯穿整个解析几何内容始终的数学思想和方法。抓住了这一思想和方法，就是抓住了关键，这样的例子是很多的。建立平面曲线的方程和建立空间曲面方程，基本的方法都是把曲线（曲面）上点所满足的几何条件用代数式子写出来。由几何条件到代数式子的勾通桥梁都是坐标系.所不同的只是空间范围而已。如平面图图形在平面范围（二维）里面讨论是用二元方程F（x，y）=0或一元函数y=f（x）来表达。方程x2+y2=1在平面上表示xoy平面上的单位圆。三元方程F（x，y，z）=0或二元函数z=f（x，y）表示空间的曲面，如三元一次方程Ax+By+Cz+D=0表示平面，而方程x2+y2=1在空间表示准线为xoy平面上的单位圆，母线平行于z轴的柱面。空间曲线一般是表现为空间两个曲面的交线，所以用方程组F1（x，y，z）=0F2（x，y，z）=0来表示，如空间直线的一般方程为？仔1：A1x+B1y+C1z+D1=0，？仔2：A2x+B2y+C2z+D2=0.，表现为两个平面的交线。因此拿到一个方程要分析是什么图形一定要注意它是在二维（平面）还是在三维（空间）里讨论，因一个方程在二维平面表示曲线，而在三维空间表示曲面，如方程x2+y2=1。掌握图形方程的一般形式让学生从以前的认识中走出来。另外要特别强调，在三维空间一个方程F（x，y，z）=0或二元函数z=f（x，y）只能表示空间的曲面，不能表示空间曲线，空间曲线必须要用方程组来表示，有不少学生总喜欢把空间直线方程写成Ax+By+Cz+D=0的形式，这是一个明显的错误。 2.2对“消去”、“联立”等每一代数步骤都能作出相应的几何解释
在代数上从两个三元方程消去一个元，这样的几何意义就是求空间曲线L的射影柱面，例如在空间坐标系中，方程组x2+y2+z2=9 （1）z=1 （2）表示一个圆，它为球面（1）和平面（2）的交线，将（2）代入（1）消去z得x2+y2=8（3）表示求出刚才的圆对xoy面的射影柱面，它是一个圆柱面，（2）与（3）联立得x2+y2=8 （1）z=1 （2）即用圆柱面和平面的交线来表示刚才的那个圆。对这样的方法步骤理解透彻，学生就能举一反三，应用自如地去自己讨论问题。如用截面法去讨论单叶双曲面的形状时，学生就会很容易理解。
3.以学生为本，充分发挥学生学习的主动性
启发式是一切好的教学方法的公因子，坚持启发式，废止注入式、填鸭式、满堂灌。学生是学习的主体，一定要调动主体的参与意识， “平面与空间直线”一章在整个解析几何中占了很大的分量和篇幅，在教材中整整列了8节，若由教师顺着教材按步就班，至少要安排16学时。但统览教材，进行合理的教学设计，本章无非是三个内容：1）如何建立平面方程；2）如何建立空间直线方程；3）空间中点、直线、平面的相关位置。在向量工具熟练掌握的基础上，建立平面方程，不过是两向量互垂、三向量共面的具体应用。建立空间直线方程，不过是两向量共线的具体应用。至于空间中点、直线、平面的各种位置关系，在中学立体几何就已学过，只不过在这里要通过坐标、向量、方程来定量地研究它们。经过教师启发，学生自己构建了这样一个知识体系：（1）空间中点、直线、平面的各种位置关系；（2）每一种位置的判别条件；（3）每一种位置下需要研究的问题，在学生自己构建的这个知识体系下，学生可以自己动手进行研究，自己检验知识掌握的情况，教师只作一些指点。这样做，学生与中学知识联系，亲身体验向量的工具作用，主动地参与进来，主动地自己探索，学起来感觉到轻松而充实，初步尝到了自己作为学习主体的甜头。
4.充分使用现代教育技术手段
现代教育技术的快速发展加快了课程改革的进度。解析几何的教学过程中，空间概念、方程的建立以及曲面的研究等都离不开图形，如果将几何图形画在黑板上，不但看起来不清楚而且其准确性也较差，利用幻灯片投影教学、利用录像片和VCD 教学、利用多媒体组合的教学手段教学。作为现代教育技术典型代表多媒体的辅助教学， 不仅有利于提高课堂的教学效率和教学质量，更有利于提高学生的空间想象能力。它可以对重要的几何概念进行图形化和实物化分析讲解，对几何图形运用多媒体技术制作了图文并茂的教学软件和学习系列课件， 使教学内容的文字和图形结合自然、形象、直观。通过动态演示形象地揭示几何概念的内涵， 清晰地展现几何图形的构造和特点， 达到传统式课堂教学难以达到的效果。譬如，在椭球面教学过程中，通过电脑演示，用不同的平面截椭球面获得曲线的形状，重点突出，用“平行截线法”来对曲面的性质进行研究，很好地展现了对象的形成过程，进而揭示了对象的本质，这样一来，就明显提高了课堂教学效果，同时教学的信息量也增加了。又如， 对于空间解析几何中柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面这一章内容， 可根据柱面、锥面、旋转曲面具有较为突出的几何特征的特点， 我们可以利用Maple、Mathematica 以及Flash 等軟件画出它们的图像， 并以动画的形式展现出图像形成的过程。在这种形象、逼真的学习环境下诱导学生开展积极思维， 然后用PowerPoint 依次给出柱面、锥面旋转曲面的曲线方程及其母线、准线等相关概念， 通过系统的讲解使学生得到启发， 深入理解所讲内容。这样既调动学生学习的积极性， 又培养他们分析和解决问题的能力。
5.改革考核办法
考试是教学过程中的重要环节， 是检验学生学习掌握情况、评价教学质量的手段。纯粹的闭卷考核方式重记忆、轻理解， 重知识、轻智力， 重理论、轻实践， 在某种程度上存在着一些弊端。所以， 改革考核方式将具有重要意义。对于解析几何课程的考核可采取“多模块， 取总评”的考核方式， 比如， 可将解析几何的考核分为平时作业、其中测验、上机考试（ 如实验设计能力的考核、计算机数学软件的使用等考核） 、期末理论考试四个模块，每个模块设定相应的比重， 然后取总评成绩。这种考核方式， 除了要让学生掌握课本的理论知识外，还注重学生平时各方面的表现以及各种能力的训练， 有利于应用型人才的培养。
参考文献
[1]吕林根，许子道等编. 解析几何.北京：高等教育出版社.
[2]马立.谈《解析几何》课程教学内容与教学方法的改革[J]， 曲靖师范学院学报，2001，20（3），95-99.
[3]李琦.空间解析几何教学改革[J]， 锦州师范学院学报，1998，6，17-99.
[4]陈蕾.高等院校解析几何教学改革的探索[J]， 南昌教育学院学报，2011，26（9），41-43.
[5]普昭年，陈华喜.应用型本科院校《空间解析几何》课程教学改革初探[J]，廊坊师范学院学报，2011，11（2），98-101.
作者简介：黄春妙（1982-），女，硕士，广西田东人，河池学院数学系讲师，主要研究方向：基础数学。
【关键词】解析几何 ； 教学改革 ； 现代教育技术
【基金项目】广西高等学校特色专业及课程一体化建设项目（GXTSZY2220）《数学与应用数学》；河池学院重点学科《应用数学》（2007）和《统计学》（2013）；2011年度院级青年科研立项A类项目（2011A-N009）。
【中图分类号】O182-4 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2015）7-0001-02
解析几何是一门较为基础的课程，它是大学很多其他课程的基础，如高等几何、微分几何、数学分析、高等数学等。此外，解析几何的思想方法已渗透到中学的各个部分之中，它对提高学生的抽象思维能力、逻辑推理能力以及培养学生的创造能力也起着非常重要的作用。本文作者从几年的教学经验中，针对教学过程中发现的问题，谈谈师范院校解析几何这门课程的教学改革。本文针对的教材是吕林根，许子道等编写的《解析几何》教材。
1.重视第一章——向量与坐标的学习，联系中学初等几何的内容，培养学生对本门课程的兴趣
解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何，把几何的研究从形的定性研究推进到可以计算的定量的层面，为了把代数运算引到几何中来，最根本的做法就是设法把空间的几何结构有系统的代数化，数量化。因此，教材《解析几何》第一章所列内容向量与坐标是全书的工具和基础.第一章的作用在本门课程的另一个重点内容平面与空间直线的教学中体现得尤为突出。在那里，平面方程和空间直线方程的建立，不过是向量互垂、向量共面、向量共线條件的应用。各种各样的距离不过是向量的模的计算，而各种各样的角的计算统统可归为两向量的夹角的计算，因此，在整个解析几何教学过程中，注重第一章的学习，在第一章多花一些时间和功夫，掌握工具，打牢基础，是很有必要的。这一章的特点是基本概念多、灵活技巧少，因此这一章的教学可采用概念符号鉴别法，自始至终紧扣每一个概念和符号的内涵，许多问题便迎刃而解了。另外这一章里前三节是高中已学过的内容，可让学生先自学当做复习旧知，然后老师在强调重点概念，这样学生对要掌握的知识印象更深刻。
在本章向量的学习内容中涉及到利用向量法解决初等问题的内容，在讲授这些内容的时，让学生感受到利用解析几何的内容和方法，可以很简便地处理一些初等问题。而方法上比中学的方法简单很多，能激起学生的学习兴趣，又能掌握好现所学的知识，对后面内容的学习有深远的影响。
1.1利用向量方法可以简便证明初等几何中有关平行、垂直、相交等结论
例如证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分等。
1.2 利用向量法可以证明有关三角形、平行四边形的一些量
比如三角形余弦定理、正弦定理、面积的海伦公式的，而且方法简便。
1.3 利用向量运算可以简便地算一些几何量
比如利用向量积的模可以计算三角形、平行四边形的面积，利用三向量的混合积的绝对值可以计算四面体、平行六面体的体积等。
2.在教学中要注意培养学生的空间想象能力，注重提高学生对空间图形的绘制技能和技巧，为后续课程如微积分的学习打下坚实基础
微积分是理工科学习的一门必修课，而重积分的计算是微积分学的一个重要的内容，计算重积分的一个关键就是要能够根据曲面的方程绘制出一些简单曲面的图形，很多学生在学习这部分内容时都觉得绘制图形很难，这就需要在解析几何第2、3、4章的学习中打好基础。
2.1 强调空间图形方程的一般形式
解析几何就是用代数的方法来研究几何。它的基本的数学思想就是数形结合，通过标架，建立了空间的点、向量、有序数组的一一对应关系。点构成曲线（面），变数构成方程，点与数组既因坐标系的建立而联系起来，曲线（面）与方程自然也可通过坐标系而结合起来。从而，研究曲线与曲面的几何问题就可归结为研究其方程的代数问题了。由几何到代数，再由代数到几何。几何条件的代数表示，代数式子及代数步骤的几何解释，这是贯穿整个解析几何内容始终的数学思想和方法。抓住了这一思想和方法，就是抓住了关键，这样的例子是很多的。建立平面曲线的方程和建立空间曲面方程，基本的方法都是把曲线（曲面）上点所满足的几何条件用代数式子写出来。由几何条件到代数式子的勾通桥梁都是坐标系.所不同的只是空间范围而已。如平面图图形在平面范围（二维）里面讨论是用二元方程F（x，y）=0或一元函数y=f（x）来表达。方程x2+y2=1在平面上表示xoy平面上的单位圆。三元方程F（x，y，z）=0或二元函数z=f（x，y）表示空间的曲面，如三元一次方程Ax+By+Cz+D=0表示平面，而方程x2+y2=1在空间表示准线为xoy平面上的单位圆，母线平行于z轴的柱面。空间曲线一般是表现为空间两个曲面的交线，所以用方程组F1（x，y，z）=0F2（x，y，z）=0来表示，如空间直线的一般方程为？仔1：A1x+B1y+C1z+D1=0，？仔2：A2x+B2y+C2z+D2=0.，表现为两个平面的交线。因此拿到一个方程要分析是什么图形一定要注意它是在二维（平面）还是在三维（空间）里讨论，因一个方程在二维平面表示曲线，而在三维空间表示曲面，如方程x2+y2=1。掌握图形方程的一般形式让学生从以前的认识中走出来。另外要特别强调，在三维空间一个方程F（x，y，z）=0或二元函数z=f（x，y）只能表示空间的曲面，不能表示空间曲线，空间曲线必须要用方程组来表示，有不少学生总喜欢把空间直线方程写成Ax+By+Cz+D=0的形式，这是一个明显的错误。 2.2对“消去”、“联立”等每一代数步骤都能作出相应的几何解释
在代数上从两个三元方程消去一个元，这样的几何意义就是求空间曲线L的射影柱面，例如在空间坐标系中，方程组x2+y2+z2=9 （1）z=1 （2）表示一个圆，它为球面（1）和平面（2）的交线，将（2）代入（1）消去z得x2+y2=8（3）表示求出刚才的圆对xoy面的射影柱面，它是一个圆柱面，（2）与（3）联立得x2+y2=8 （1）z=1 （2）即用圆柱面和平面的交线来表示刚才的那个圆。对这样的方法步骤理解透彻，学生就能举一反三，应用自如地去自己讨论问题。如用截面法去讨论单叶双曲面的形状时，学生就会很容易理解。
3.以学生为本，充分发挥学生学习的主动性
启发式是一切好的教学方法的公因子，坚持启发式，废止注入式、填鸭式、满堂灌。学生是学习的主体，一定要调动主体的参与意识， “平面与空间直线”一章在整个解析几何中占了很大的分量和篇幅，在教材中整整列了8节，若由教师顺着教材按步就班，至少要安排16学时。但统览教材，进行合理的教学设计，本章无非是三个内容：1）如何建立平面方程；2）如何建立空间直线方程；3）空间中点、直线、平面的相关位置。在向量工具熟练掌握的基础上，建立平面方程，不过是两向量互垂、三向量共面的具体应用。建立空间直线方程，不过是两向量共线的具体应用。至于空间中点、直线、平面的各种位置关系，在中学立体几何就已学过，只不过在这里要通过坐标、向量、方程来定量地研究它们。经过教师启发，学生自己构建了这样一个知识体系：（1）空间中点、直线、平面的各种位置关系；（2）每一种位置的判别条件；（3）每一种位置下需要研究的问题，在学生自己构建的这个知识体系下，学生可以自己动手进行研究，自己检验知识掌握的情况，教师只作一些指点。这样做，学生与中学知识联系，亲身体验向量的工具作用，主动地参与进来，主动地自己探索，学起来感觉到轻松而充实，初步尝到了自己作为学习主体的甜头。
4.充分使用现代教育技术手段
现代教育技术的快速发展加快了课程改革的进度。解析几何的教学过程中，空间概念、方程的建立以及曲面的研究等都离不开图形，如果将几何图形画在黑板上，不但看起来不清楚而且其准确性也较差，利用幻灯片投影教学、利用录像片和VCD 教学、利用多媒体组合的教学手段教学。作为现代教育技术典型代表多媒体的辅助教学， 不仅有利于提高课堂的教学效率和教学质量，更有利于提高学生的空间想象能力。它可以对重要的几何概念进行图形化和实物化分析讲解，对几何图形运用多媒体技术制作了图文并茂的教学软件和学习系列课件， 使教学内容的文字和图形结合自然、形象、直观。通过动态演示形象地揭示几何概念的内涵， 清晰地展现几何图形的构造和特点， 达到传统式课堂教学难以达到的效果。譬如，在椭球面教学过程中，通过电脑演示，用不同的平面截椭球面获得曲线的形状，重点突出，用“平行截线法”来对曲面的性质进行研究，很好地展现了对象的形成过程，进而揭示了对象的本质，这样一来，就明显提高了课堂教学效果，同时教学的信息量也增加了。又如， 对于空间解析几何中柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面这一章内容， 可根据柱面、锥面、旋转曲面具有较为突出的几何特征的特点， 我们可以利用Maple、Mathematica 以及Flash 等軟件画出它们的图像， 并以动画的形式展现出图像形成的过程。在这种形象、逼真的学习环境下诱导学生开展积极思维， 然后用PowerPoint 依次给出柱面、锥面旋转曲面的曲线方程及其母线、准线等相关概念， 通过系统的讲解使学生得到启发， 深入理解所讲内容。这样既调动学生学习的积极性， 又培养他们分析和解决问题的能力。
5.改革考核办法
考试是教学过程中的重要环节， 是检验学生学习掌握情况、评价教学质量的手段。纯粹的闭卷考核方式重记忆、轻理解， 重知识、轻智力， 重理论、轻实践， 在某种程度上存在着一些弊端。所以， 改革考核方式将具有重要意义。对于解析几何课程的考核可采取“多模块， 取总评”的考核方式， 比如， 可将解析几何的考核分为平时作业、其中测验、上机考试（ 如实验设计能力的考核、计算机数学软件的使用等考核） 、期末理论考试四个模块，每个模块设定相应的比重， 然后取总评成绩。这种考核方式， 除了要让学生掌握课本的理论知识外，还注重学生平时各方面的表现以及各种能力的训练， 有利于应用型人才的培养。
参考文献
[1]吕林根，许子道等编. 解析几何.北京：高等教育出版社.
[2]马立.谈《解析几何》课程教学内容与教学方法的改革[J]， 曲靖师范学院学报，2001，20（3），95-99.
[3]李琦.空间解析几何教学改革[J]， 锦州师范学院学报，1998，6，17-99.
[4]陈蕾.高等院校解析几何教学改革的探索[J]， 南昌教育学院学报，2011，26（9），41-43.
[5]普昭年，陈华喜.应用型本科院校《空间解析几何》课程教学改革初探[J]，廊坊师范学院学报，2011，11（2），98-101.
作者简介：黄春妙（1982-），女，硕士，广西田东人，河池学院数学系讲师，主要研究方向：基础数学。