线性规划在历年高考数学中，都是重要的考查知识点。而且每年在考题上都没有什么太大的变化。但是在解决此类问题时往往首先对目标函数要进行分类。本文主要谈谈对目标函数为线性目标函数ｚ＝Ａｘ＋Ｂｙ的情形进行一下探讨。
　　对于目标函数为线性目标函数ｚ＝Ａｘ＋Ｂｙ时的现行解决办法是先令ｚ＝０，在平面直角坐标系当中作出直线Ａｘ＋Ｂｙ＝０，然后分“Ｂ＞0”和“Ｂ＜0”在可行域内作其平行线，在考虑平行直线在ｙ轴上的截距的大小来判断目标函数ｚ＝Ａｘ＋Ｂｙ在可行域内的最值问题。此种办法要求学生对“Ｂ＞0”和“Ｂ＜0”进行记忆。若用向量法来解决此类问题，则可以规避这个缺陷，从而达到减轻学生负担的目的。
　　首先要对线性目标函数ｚ＝Ａｘ＋Ｂｙ处理成两个向量＝（ｘ，ｙ），＝（Ａ，Ｂ）内积，即ｚ＝Ａｘ＋Ｂｙ＝•，令＝＝（ｘ，ｙ），Ｐ（ｘ，ｙ）是可行域内的动点，＝＝（Ａ，Ｂ），其中Ｑ（Ａ，Ｂ），根据向量内积的几何意义， •为与向量在向量方向上的投影的乘积。由于为定值，所以，若向量在向量方向上的投影最大，则 ｚ＝Ａｘ＋Ｂｙ取得最大值；若若向量在向量方向上的投影最小，则ｚ＝Ａｘ＋Ｂｙ取得最小值。
　　下面以2010年高考中的几道线性规划作为例子，谈一下我的结论的可行性。
　　例1、（2010年高考数学理全国一卷，选择题3）若变量ｘ，ｙ， 满足条件ｙ≤１ｘ＋ｙ≥０ ａ－ｙ－２≤０，则目标函数ｚ＝ｘ－２ｙ的最大值为（ ）
　　A、4 B、3C、2D、1
　　解：设Ｐ（ｘ，ｙ），Ａ（１，２），则＝（ｘ，ｙ），＝（１，－２）
　　∴ｚ＝•＝ｘ－２ｙ，显然在可行域内，当Ｐ（ｘ，ｙ）取直线ｘ－ｙ－２＝０与直线ｘ＋ｙ＝０的交点（１，－１）时，在方向上的投影最大。
　　∴ｚ＝ｘ－２ｙ的最大值为3。故选B。
　　例2、（2010年年高考数学理山东卷，选择题10）若变量ｘ，ｙ， 满足条件ｘ－ｙ＋２≥０ｘ－５ｙ＋１０≤０ｘ＋ｙ－８≤０，则目标函数ｚ＝３ｘ－４ｙ的最大值和最小值分别为（ ）
　　A、3，-11 B、-3，-11C、11,-3 D、11,3
　　解：设Ｐ（ｘ，ｙ），Ａ（３.４），则＝（ｘ，ｙ），＝（３，－４）
　　∴ｚ＝•＝３ｘ－４ｙ，显然在可行域内，当Ｐ（ｘ，ｙ）取直线ｘ－５ｙ＋１０＝０与直线ｘ＋ｙ－８＝０的交点（５，３）时，在方向上的投影最大。当Ｐ（ｘ，ｙ）取直线ｘ－ｙ＋２＝０与直线ｘ＋ｙ－８＝０的交点（３，５）时，在方向上的投影最小。
　　∴ｚ＝ｘ－２ｙ的最大值为3，最小值为-11。故选A。
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文