【摘 要】
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一个有关组合数的恒等式是 :C1 n+ 2C2 n+3C3n+… +nCnn =n· 2 n- 1 (n∈N ) .下面给出它的三种不同证法 ,其中第三种证法出人意料 ,简洁优美 ,有绝妙之处 .证法 1 倒序相
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一个有关组合数的恒等式是 :C1 n+ 2C2 n+3C3n+… +nCnn =n· 2 n- 1 (n∈N ) .下面给出它的三种不同证法 ,其中第三种证法出人意料 ,简洁优美 ,有绝妙之处 .证法 1 倒序相加法 .设Sn =C1 n + 2C2 n + 3C3n +… + (n-1)Cn - 1 n +nCnn,则Sn =nC0 n+ (n -1)C1 n+ (n-2 )C2 n+…
An identity concerning the number of combinations is: C1 n+ 2C2 n+3C3n+... +nCnn = n· 2 n- 1 (n∈N) . Here are three different proofs of it, the third of which is surprising and concise. Exquisite, there are wonderful places. Proof method 1 Inverse addition. Let Sn = C1 n + 2C2 n + 3C3n +... + (n-1)Cn - 1 n + nCnn, then Sn = nC0 n+ (n -1) C1 n+ (n-2 )C2 n+...
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