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基金项目:广西自然科学基金资助项目(桂教自0481023）
[摘要] 本文通过引进优良资产，推导了一种新的更为适用的资本性资产定价模型SCAPM，并由该模型分析了证券的风险与回报、均衡状态等相关结论。
[关键词] 优良资产 风险资产 期望回报率 SCAPM 均衡状态
一、引言
Sharpe建立在均值-方差分析基础上的资本性资产定价模型（CAPM）是一种理论上相当完美的模型，它是现代金融理论的三大基石之一，也是Sharpe1990年获得诺贝尔经济学奖的主要原因。该模型解释了为什么不同的证券会有不同的回报率，这套理论体系由于其简单、直观的特点使之从创立之日起便得到了广泛的应用，倍受投资者青睐，使得原本像巫术一样的金融变成了一门真正的科学。
然而，该模型是建立在众多严格假设前提之上的，而这些繁多的且与现实相去甚远的假设前提却无疑成为其广泛应用的障碍。因此，在CAPM模型提出以后，经济学家们便致力于放松它的假设前提，使之更接近于现实，以提高模型的实用性，并由此得出了许多新的修正模型。布莱克（Black，1972年）和布鲁南（Brennan，1970年）放松了模型无税收和无风险利率不变的假设;莫顿（1973年）对CAPM置于前后联结的实际范围内，成功地将模型单周期的局限性进行了拓展，建立了时际资本性资产定价模型（ICAPM）;布里顿（Breeden，1979年）提出了消费导向的资本性资产定价模型（CCAPM）。另外，经济学家们还在建立非均衡定价模型和国际型资产定价模型方面取得了一定的成果。
本文通过引进优良资产，放松对市场均衡条件的要求，讨论了在完善的资本市场下单个风险资产的风险与回报的关系，给出了风险资产的另一种新的风险度量公式及其经济意义，使许多相关指标易于测算，从而得到一种新的更为适用的资本性资产定价模型（SCAPM）。同时，引进了一个新的度量投资风险的系数β，并对SCAPM模型及其相关指标进行了分析。
二、具有优良资产的投资组合研究与资本市场线
所谓优良资产是指有较高的期望回报率，或者有较低的标准差，或者资产间相关性较低的资产。
设投资组合包含有n+1种资产，其中有n种普通资产(本文将非优良资产称为普通资产)和一种优良资产，因而总投资组合的回报率也分为两部分:优良资产的回报和n种普通资产投资组合的回报。为讨论问题方便引进以下记号:
rs:优良资产的回报率;rn:n种普通资产投资组合的回报率;μs:优良资产的期望回报;μn:n种普通资产投资组合的期望回报;σs:优良资产回报的标准差;σn:n种普通资产投资组合回报的标准差;rsn:优良资产与普通资产的投资组合的相关系数;p:投资在优良资产的财富比例;1-p:投资在普通资产的财富比例。
为讨论问题方便起见，不考虑交易成本。由假设可知，总投资组合的收益率为:
rp=prs+(1-p)rn;
总投资的组合期望的收益为:μp=pμs+(1-p)μn(1)
总投资组合的方差为:σ2p=p2σ2s+(1-p)2σ2n+2p(1-p)σsσnrsn;（2）
总投资组合的风险报酬为:
（3)
优良资产的风险报酬为: ；
n种普通资产的风险报酬为:
由以上假设，可以证明引理1的结论成立:
引理1考虑具有优良资产的完善资本市场的投资组合，若将一种优良资产与n种普通资产做投资组合，则投资在优良资的投资比例p满足
（4）
时，投资组合的风险报酬m最大，其中
（5）
引理2考虑具有优良资产的完善资本市场的投资组合，如果将所有资产全部投资于普通资产（即当p=0时），则有:
（6）
证明:当p=0时，表示投资者将全部资产投资于普通资产，此时，由(4)式有:
μ-rsnσ=0，即μ=rsnσ
代入(5)式得到:即有:
故引理2成立。
此时，(6)式是资本市场线的一种新的表达形式，也将之称为具有优良资产的资本市场线(SCML）。它通过某种优良资产的回报和标准差给出了证券组合的期望回报和标准差的线性关系。
三、具有优良资产的资本性资产定价模型SCAPM（CAPM的修正模型）
考虑单个风险资产和优良资产S的投资组合P。设在证券i投资比例为xi，则在优良资产S上投资比例为1-xi，因而证券组合的期望回报和标准差为:
（7）
（8）
其中,μi和σi分别为第i个风险证券的期望回报和标准差,σis为第i个风险证券与优良资产的协方差。证券组合P的期望回报μp和标准差σp的关系如图1所示的连线i和S的曲线。
（7)式关于xi求导，得
（9）
（8)式关于xi求导，得
（10）
由(9）、(10)式得:
在其中令xi=0，得到曲线iS在S点的斜率:
又SCML线(6)式在点S的斜率为故由相切，有
整理为
（11）
如令称βi为证券i的β系数，式(11)可以表示为
μi=Rf+(μs-Rf)βi （12）
也可以写为
μi-Rf=(μs-Rf)βi （13）
其中，μi-Rf为证券i的超回报，μs-Rf为具有优良资产的超回报。故有以下定理:
定理(SCAPM)考虑具有优良资产的完善资本市场的投资组合，任何风险资产的超回报和优良资产的超回报成比例关系，即有关系式
μi-Rf=(μs-Rf)βi
其中，。
该定理结论称为具有优良资产的资本性资产定价模型即SCAPM，它是Sharpe的CAPM的一种修正模型。
四、结论
由SCAPM及其证明过程，分析其经济意义可知以下结论成立。
结论1SCAPM揭示了在完善的资本市场下单个风险资产的风险与回报的关系，表明投资风险越大，期望回报也越高。这一结论与Sharpe的CAPM模型结论一致。
由于μs-Rf与i无关，因此可看作单位风险价格。因此，SCAPM的风险价格为μs-Rf，而CAPM的风险价格为μm-Rf，这是这两个模型的不同之处之一，也体现了前者的优越性。
Sharpe的CAPM揭示了在完善的资本市场中，当市场达到均衡时，单个风险证券i的超回报与市场证券组合的超回报成比例关系，而关于市场均衡及市场证券组合的判断是非常理想化的。因此，两个模型相比较，SCAPM所涉及的相关指标更易测算，从而也更具理论意义和实用价值。
结论2从(12)式可见，Rf为无风险利率,与风险无关。μs-Rf为市场风险的价格。βi可解释为股票i的风险量，它由股票i与优良资产的协方差σis决定(因为仅在βi表达式第二项的分子与股票i有关）。故股票i的期望回报率等于无风险利率加上风险溢价(Risk Premium),其中，风险溢价=风险价格×风险量，并且与优良资产有较大协方差的证券i有较大的风险，故也应该有较大的期望回报率。因此，投资者可用βi作为度量股票风险的评价指标，（12)式给出资本性资产(即股票)的一种评价方法。
结论3 式(13)给出证券i的超回报与优良资产S的超回报之间的比例关系。其图形如右图2所示。特别地,当βi=1时,μi=μs。
结论4 由(13)式可推出:
（14）
它表明:在考虑具有优良资产的投资组合时，当所有股票每承担一个单位风险，市场给予的期望回报都相等且恰等于优良资产的超回报时，证券组合达到均衡状态。如果不相等，则必存在某些股票定价过高，或有某些股票定价过低，这时可采用“买低、卖高”的策略获利。
例如，设无风险利率Rf=5%，A公司、B公司关于优良资产的 β系数分别为:β1=1.2,β2=0.8,期望回报率分别为:R1=13%,R2=10%,因此有:
由SCAPM及(14)式可知，这时市场不处于最优状态，公司B承担1单位的风险所得到的补偿不如A公司承担1单位风险的补偿大。究其原因是因为对β2=0.8而言，期望回报率为10%，太低。因为回报率和价格有如下关系:
故μi低，则意味着pi0高，即相对于A公司而言，B公司的股票价格定价过高了。因此,可以预期，B公司的股价(相对于A公司而言)将要下降。这时的投资策略是卖空B公司的股票，买进A公司的股票。
参考文献:
[1]杨云红:金融经济学[M].武汉:武汉大学出版社，2001
[2]陈雨露:现代金融理论[M].北京:中国金融出版社，2000
[3]Azriel Levy and Miles livingstion. The Gains from Diversification Reconsidered: Transaction Costs and Superior Information[J] Financial Markets, Institution & Instruments,1995,(4)
[4]罗秋兰陈有禄:具有优良资产的证券组合模型研究[J].广西工学院学报,2002,（4）:27-29
[5]李楚霖杨明易江:金融分析及应用[M].北京:首都经贸大学出版社，2002
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
[摘要] 本文通过引进优良资产，推导了一种新的更为适用的资本性资产定价模型SCAPM，并由该模型分析了证券的风险与回报、均衡状态等相关结论。
[关键词] 优良资产 风险资产 期望回报率 SCAPM 均衡状态
一、引言
Sharpe建立在均值-方差分析基础上的资本性资产定价模型（CAPM）是一种理论上相当完美的模型，它是现代金融理论的三大基石之一，也是Sharpe1990年获得诺贝尔经济学奖的主要原因。该模型解释了为什么不同的证券会有不同的回报率，这套理论体系由于其简单、直观的特点使之从创立之日起便得到了广泛的应用，倍受投资者青睐，使得原本像巫术一样的金融变成了一门真正的科学。
然而，该模型是建立在众多严格假设前提之上的，而这些繁多的且与现实相去甚远的假设前提却无疑成为其广泛应用的障碍。因此，在CAPM模型提出以后，经济学家们便致力于放松它的假设前提，使之更接近于现实，以提高模型的实用性，并由此得出了许多新的修正模型。布莱克（Black，1972年）和布鲁南（Brennan，1970年）放松了模型无税收和无风险利率不变的假设;莫顿（1973年）对CAPM置于前后联结的实际范围内，成功地将模型单周期的局限性进行了拓展，建立了时际资本性资产定价模型（ICAPM）;布里顿（Breeden，1979年）提出了消费导向的资本性资产定价模型（CCAPM）。另外，经济学家们还在建立非均衡定价模型和国际型资产定价模型方面取得了一定的成果。
本文通过引进优良资产，放松对市场均衡条件的要求，讨论了在完善的资本市场下单个风险资产的风险与回报的关系，给出了风险资产的另一种新的风险度量公式及其经济意义，使许多相关指标易于测算，从而得到一种新的更为适用的资本性资产定价模型（SCAPM）。同时，引进了一个新的度量投资风险的系数β，并对SCAPM模型及其相关指标进行了分析。
二、具有优良资产的投资组合研究与资本市场线
所谓优良资产是指有较高的期望回报率，或者有较低的标准差，或者资产间相关性较低的资产。
设投资组合包含有n+1种资产，其中有n种普通资产(本文将非优良资产称为普通资产)和一种优良资产，因而总投资组合的回报率也分为两部分:优良资产的回报和n种普通资产投资组合的回报。为讨论问题方便引进以下记号:
rs:优良资产的回报率;rn:n种普通资产投资组合的回报率;μs:优良资产的期望回报;μn:n种普通资产投资组合的期望回报;σs:优良资产回报的标准差;σn:n种普通资产投资组合回报的标准差;rsn:优良资产与普通资产的投资组合的相关系数;p:投资在优良资产的财富比例;1-p:投资在普通资产的财富比例。
为讨论问题方便起见，不考虑交易成本。由假设可知，总投资组合的收益率为:
rp=prs+(1-p)rn;
总投资的组合期望的收益为:μp=pμs+(1-p)μn(1)
总投资组合的方差为:σ2p=p2σ2s+(1-p)2σ2n+2p(1-p)σsσnrsn;（2）
总投资组合的风险报酬为:
（3)
优良资产的风险报酬为: ；
n种普通资产的风险报酬为:
由以上假设，可以证明引理1的结论成立:
引理1考虑具有优良资产的完善资本市场的投资组合，若将一种优良资产与n种普通资产做投资组合，则投资在优良资的投资比例p满足
（4）
时，投资组合的风险报酬m最大，其中
（5）
引理2考虑具有优良资产的完善资本市场的投资组合，如果将所有资产全部投资于普通资产（即当p=0时），则有:
（6）
证明:当p=0时，表示投资者将全部资产投资于普通资产，此时，由(4)式有:
μ-rsnσ=0，即μ=rsnσ
代入(5)式得到:即有:
故引理2成立。
此时，(6)式是资本市场线的一种新的表达形式，也将之称为具有优良资产的资本市场线(SCML）。它通过某种优良资产的回报和标准差给出了证券组合的期望回报和标准差的线性关系。
三、具有优良资产的资本性资产定价模型SCAPM（CAPM的修正模型）
考虑单个风险资产和优良资产S的投资组合P。设在证券i投资比例为xi，则在优良资产S上投资比例为1-xi，因而证券组合的期望回报和标准差为:
（7）
（8）
其中,μi和σi分别为第i个风险证券的期望回报和标准差,σis为第i个风险证券与优良资产的协方差。证券组合P的期望回报μp和标准差σp的关系如图1所示的连线i和S的曲线。
（7)式关于xi求导，得
（9）
（8)式关于xi求导，得
（10）
由(9）、(10)式得:
在其中令xi=0，得到曲线iS在S点的斜率:
又SCML线(6)式在点S的斜率为故由相切，有
整理为
（11）
如令称βi为证券i的β系数，式(11)可以表示为
μi=Rf+(μs-Rf)βi （12）
也可以写为
μi-Rf=(μs-Rf)βi （13）
其中，μi-Rf为证券i的超回报，μs-Rf为具有优良资产的超回报。故有以下定理:
定理(SCAPM)考虑具有优良资产的完善资本市场的投资组合，任何风险资产的超回报和优良资产的超回报成比例关系，即有关系式
μi-Rf=(μs-Rf)βi
其中，。
该定理结论称为具有优良资产的资本性资产定价模型即SCAPM，它是Sharpe的CAPM的一种修正模型。
四、结论
由SCAPM及其证明过程，分析其经济意义可知以下结论成立。
结论1SCAPM揭示了在完善的资本市场下单个风险资产的风险与回报的关系，表明投资风险越大，期望回报也越高。这一结论与Sharpe的CAPM模型结论一致。
由于μs-Rf与i无关，因此可看作单位风险价格。因此，SCAPM的风险价格为μs-Rf，而CAPM的风险价格为μm-Rf，这是这两个模型的不同之处之一，也体现了前者的优越性。
Sharpe的CAPM揭示了在完善的资本市场中，当市场达到均衡时，单个风险证券i的超回报与市场证券组合的超回报成比例关系，而关于市场均衡及市场证券组合的判断是非常理想化的。因此，两个模型相比较，SCAPM所涉及的相关指标更易测算，从而也更具理论意义和实用价值。
结论2从(12)式可见，Rf为无风险利率,与风险无关。μs-Rf为市场风险的价格。βi可解释为股票i的风险量，它由股票i与优良资产的协方差σis决定(因为仅在βi表达式第二项的分子与股票i有关）。故股票i的期望回报率等于无风险利率加上风险溢价(Risk Premium),其中，风险溢价=风险价格×风险量，并且与优良资产有较大协方差的证券i有较大的风险，故也应该有较大的期望回报率。因此，投资者可用βi作为度量股票风险的评价指标，（12)式给出资本性资产(即股票)的一种评价方法。
结论3 式(13)给出证券i的超回报与优良资产S的超回报之间的比例关系。其图形如右图2所示。特别地,当βi=1时,μi=μs。
结论4 由(13)式可推出:
（14）
它表明:在考虑具有优良资产的投资组合时，当所有股票每承担一个单位风险，市场给予的期望回报都相等且恰等于优良资产的超回报时，证券组合达到均衡状态。如果不相等，则必存在某些股票定价过高，或有某些股票定价过低，这时可采用“买低、卖高”的策略获利。
例如，设无风险利率Rf=5%，A公司、B公司关于优良资产的 β系数分别为:β1=1.2,β2=0.8,期望回报率分别为:R1=13%,R2=10%,因此有:
由SCAPM及(14)式可知，这时市场不处于最优状态，公司B承担1单位的风险所得到的补偿不如A公司承担1单位风险的补偿大。究其原因是因为对β2=0.8而言，期望回报率为10%，太低。因为回报率和价格有如下关系:
故μi低，则意味着pi0高，即相对于A公司而言，B公司的股票价格定价过高了。因此,可以预期，B公司的股价(相对于A公司而言)将要下降。这时的投资策略是卖空B公司的股票，买进A公司的股票。
参考文献:
[1]杨云红:金融经济学[M].武汉:武汉大学出版社，2001
[2]陈雨露:现代金融理论[M].北京:中国金融出版社，2000
[3]Azriel Levy and Miles livingstion. The Gains from Diversification Reconsidered: Transaction Costs and Superior Information[J] Financial Markets, Institution & Instruments,1995,(4)
[4]罗秋兰陈有禄:具有优良资产的证券组合模型研究[J].广西工学院学报,2002,（4）:27-29
[5]李楚霖杨明易江:金融分析及应用[M].北京:首都经贸大学出版社，2002
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。