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摘 要：小学数学加法乘法运算律在数学中具有重要的地位和作用，被誉为“数学大厦的基石”。对于小学生来说，运算定律的运用具有一定的灵活性，对数学能力的要求较高，同时运算定律的运用也为培养和发展学生思维的灵活性提供了机会。教学中，运算定律的准确掌握和灵活拓展应用，使四则运算计算灵活简便，激发了学生学习数学的兴趣，发展了思维能力，提高了学生的数感，提升了学生的数学素养。
关键词：运算律；教学；灵活拓展应用；提高思维能力；数感；数学素养
人教版四年级数学下册对一至四年级所学内容进行了概括（概念化）、系统化，尤其是为了提高小学生的计算能力，培养数学意识，提升小学生数学核心素养，重点安排了加法、乘法运算律在加、减、乘、除运算中的灵活应用的教学，加法乘法运算律在数学中具有重要的地位和作用，被誉为“数学大厦的基石”。这些知识的掌握将为今后代数知识的学习打下良好的基础。本人就将加法、乘法运算律在教学中的一些方法及拓展应用与同仁共勉。
一、加法运算律的教学与应用
1.（1）加法交换律：两个或两个以上的数相加，交换加数的位置，和不变。用字母表示就是a+b=b+a。例如，小明有24个桃，小花有19个桃，他们一共有多少个桃？列式24+19=43或者19+24=43，即24+19=19+24。
（2）加法交换律在减法中的拓展应用：一个数减去两个数（连减），交换两个减数（强调是减数）的位置，差不变。用字母表示就是a-b-c=a-c-b。例如，小明有31元钱，买钢笔花去15元，买作业本又花去11元，小明还剩多少钱？列式31-15-11=5（元）或者31-11-15=5（元），即31-15-11=31-11-15，但很明显列式二计算简单。在教学中，我把这种方法跟同学们达成共识叫“减法交换律”。
2.（1）加法结合律：三个或三个以上的数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。用字母表示就是a+b+c=a+（b+c）。例如，学校开展的捐书活动中，四（1）班捐147本，四（2）班捐162本，四（3）班捐138本，三个班一共捐书多少本？列式147+162+138=447（本）或者147+（162+138）=447（本），即147+162+138=147+（162+138），用等号右边的变式计算就简单了。
（2）加法结合律在减法中的拓展应用：一个数连减两个数（连减），可以先把两个减数相加，再减，差不变。用字母表示就是a-b-c=a-（b+c），这里加了括号，改变了运算顺序。例如，在学校组织的植树活动中，四年级植树任务是201棵树，四（1）班植了76棵，四（2）植了64棵，剩下的四（3）班植完，四（3）班植了多少棵？列式201-76-64=61（棵）或者201-（76+64）=61（棵），即201-76-64=201-（76+64）。同样列式二计算简单。把上面的过程根据实际情况倒过来，仍然可以使计算变得简便，即去掉括号a-（b+c）=a-b-c。例如273-（173+39）=273-173-39，这样一变就达到了计算简便的目的。在这里渗透了添括号和去括号的知識。同样，在教学中，我也和同学们达成共识，把这种由加法结合律拓展运用到减法中的方法叫“减法结合律”（注意结合的是减数）。
二、乘法运算律的教学与应用
1.（1）乘法交换律：两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即a×b=b×a，举例略。
（2）乘法交换律在除法中的拓展应用：一个数分别除以两个数（连除），可以先把两个除数交换位置，再除，商不变。即a÷b÷c=a÷c÷b，例如，和平小学有256人，举行体育运动会入场式，要把全体学生分成4路纵队，每个纵队为16人的方队，可分成几个方队？列式是256÷16÷4=4（个）或者256÷4÷16=4（个），即256÷16÷4=256÷4÷16，第二个算式计算就简单多了，教学中，我们把这种拓展应用叫“除法交换律”，但要特别注意交换的是两个除数的位置。
2.（1）乘法结合律：三个或三个以上的数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，积不变。即a×b×c=a×（b×c），举例略。
（2）乘法结合律在除法中的拓展应用：一个数连续除以两个数（连除），先把两个除数相乘，再除，商不变。即a÷b÷c=a÷（b×c），例如，有7200吨货物，用4辆载重25吨的卡车去运到目的地，需要运几趟？列式是7200÷25÷4=72（趟）或者7200÷（25×4）=72（趟），即7200÷25÷4=7200÷（25×4）=72（趟），这样一变计算就简单多了。同样，a÷b÷c=a÷（b×c）倒过来使用也可以使一些计算变得简便，即a÷（b×c）=a÷b÷c，例如126÷（3×8）=126÷3÷8，这样一变，除数是两位数的笔算除法就变成简单的除数是一位数的口算除法了。教学中我们叫这种变形为“除法结合律”（强调是除数相结合）。
三、其他一些与乘法运算律相关的变式应用
1.初步渗透分解数（因数）的知识，如，在教学计算25×28时，把28变式为4×7，就是25×4×7，这样就把两位数乘法变成一位数的整十整百的乘法了，简便极了。还如125×25×32=（125×8）×（25×4），等等。
2.把一个数变成一个加法或者一个减法算式，再运用乘法运算律，可使计算变得简便，如在计算78×101时，把101变为100+1，就是78×101=78×（100+1）=78×100+78×1=7800+78=7878；计算121×99时，把99变为100-1，即121×99=121×（100-1）=121×100-121=12100-121=11979，都是把两位数乘法转变成了一个因数是100，最后运用减法的简便计算了。又如125×88，可以有两种算法：一是125×88=125×8×11=1000×11=11000，运用了分解因数的方法；二是125×88=125×（80+8）=125×80+125×8=10000+1000=11000，采用了数变减式和乘法分配率的方法。两种算法中，方法一要简便。所以遇到这样的情况要灵活应用适当的方法，当然，对于小学中低年级的学生来说，要采用自己最熟练最拿手的方法，以保证计算的正确。
对于小学生来说，运算定律的运用具有一定的灵活性，对数学能力的要求较高，同时运算定律的运用也为培养和发展学生思维的灵活性提供机会。加法、乘法运算律知识的准确掌握和灵活运用，不仅可以使加减乘除四则运算的计算变得简便，而且还提高了学生学习数学的兴趣，发展了思维能力，使学生头脑变得灵活，建立了良好的数感，提升了数学素养，也为今后进一步学习代数知识奠定了坚实的基础。
注：此论文为“甘肃省教育科学‘十三五’规划2018年度——农村小学中低年级数学教学中学生核心素养培养的实践研究课题（课题批准号：GS[2018]GHB1164）”论文。
作者简介：蔺国康，男，甘肃省武威市凉州区洪祥镇陈家沟小学教师，一级教师。
关键词：运算律；教学；灵活拓展应用；提高思维能力；数感；数学素养
人教版四年级数学下册对一至四年级所学内容进行了概括（概念化）、系统化，尤其是为了提高小学生的计算能力，培养数学意识，提升小学生数学核心素养，重点安排了加法、乘法运算律在加、减、乘、除运算中的灵活应用的教学，加法乘法运算律在数学中具有重要的地位和作用，被誉为“数学大厦的基石”。这些知识的掌握将为今后代数知识的学习打下良好的基础。本人就将加法、乘法运算律在教学中的一些方法及拓展应用与同仁共勉。
一、加法运算律的教学与应用
1.（1）加法交换律：两个或两个以上的数相加，交换加数的位置，和不变。用字母表示就是a+b=b+a。例如，小明有24个桃，小花有19个桃，他们一共有多少个桃？列式24+19=43或者19+24=43，即24+19=19+24。
（2）加法交换律在减法中的拓展应用：一个数减去两个数（连减），交换两个减数（强调是减数）的位置，差不变。用字母表示就是a-b-c=a-c-b。例如，小明有31元钱，买钢笔花去15元，买作业本又花去11元，小明还剩多少钱？列式31-15-11=5（元）或者31-11-15=5（元），即31-15-11=31-11-15，但很明显列式二计算简单。在教学中，我把这种方法跟同学们达成共识叫“减法交换律”。
2.（1）加法结合律：三个或三个以上的数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。用字母表示就是a+b+c=a+（b+c）。例如，学校开展的捐书活动中，四（1）班捐147本，四（2）班捐162本，四（3）班捐138本，三个班一共捐书多少本？列式147+162+138=447（本）或者147+（162+138）=447（本），即147+162+138=147+（162+138），用等号右边的变式计算就简单了。
（2）加法结合律在减法中的拓展应用：一个数连减两个数（连减），可以先把两个减数相加，再减，差不变。用字母表示就是a-b-c=a-（b+c），这里加了括号，改变了运算顺序。例如，在学校组织的植树活动中，四年级植树任务是201棵树，四（1）班植了76棵，四（2）植了64棵，剩下的四（3）班植完，四（3）班植了多少棵？列式201-76-64=61（棵）或者201-（76+64）=61（棵），即201-76-64=201-（76+64）。同样列式二计算简单。把上面的过程根据实际情况倒过来，仍然可以使计算变得简便，即去掉括号a-（b+c）=a-b-c。例如273-（173+39）=273-173-39，这样一变就达到了计算简便的目的。在这里渗透了添括号和去括号的知識。同样，在教学中，我也和同学们达成共识，把这种由加法结合律拓展运用到减法中的方法叫“减法结合律”（注意结合的是减数）。
二、乘法运算律的教学与应用
1.（1）乘法交换律：两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即a×b=b×a，举例略。
（2）乘法交换律在除法中的拓展应用：一个数分别除以两个数（连除），可以先把两个除数交换位置，再除，商不变。即a÷b÷c=a÷c÷b，例如，和平小学有256人，举行体育运动会入场式，要把全体学生分成4路纵队，每个纵队为16人的方队，可分成几个方队？列式是256÷16÷4=4（个）或者256÷4÷16=4（个），即256÷16÷4=256÷4÷16，第二个算式计算就简单多了，教学中，我们把这种拓展应用叫“除法交换律”，但要特别注意交换的是两个除数的位置。
2.（1）乘法结合律：三个或三个以上的数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，积不变。即a×b×c=a×（b×c），举例略。
（2）乘法结合律在除法中的拓展应用：一个数连续除以两个数（连除），先把两个除数相乘，再除，商不变。即a÷b÷c=a÷（b×c），例如，有7200吨货物，用4辆载重25吨的卡车去运到目的地，需要运几趟？列式是7200÷25÷4=72（趟）或者7200÷（25×4）=72（趟），即7200÷25÷4=7200÷（25×4）=72（趟），这样一变计算就简单多了。同样，a÷b÷c=a÷（b×c）倒过来使用也可以使一些计算变得简便，即a÷（b×c）=a÷b÷c，例如126÷（3×8）=126÷3÷8，这样一变，除数是两位数的笔算除法就变成简单的除数是一位数的口算除法了。教学中我们叫这种变形为“除法结合律”（强调是除数相结合）。
三、其他一些与乘法运算律相关的变式应用
1.初步渗透分解数（因数）的知识，如，在教学计算25×28时，把28变式为4×7，就是25×4×7，这样就把两位数乘法变成一位数的整十整百的乘法了，简便极了。还如125×25×32=（125×8）×（25×4），等等。
2.把一个数变成一个加法或者一个减法算式，再运用乘法运算律，可使计算变得简便，如在计算78×101时，把101变为100+1，就是78×101=78×（100+1）=78×100+78×1=7800+78=7878；计算121×99时，把99变为100-1，即121×99=121×（100-1）=121×100-121=12100-121=11979，都是把两位数乘法转变成了一个因数是100，最后运用减法的简便计算了。又如125×88，可以有两种算法：一是125×88=125×8×11=1000×11=11000，运用了分解因数的方法；二是125×88=125×（80+8）=125×80+125×8=10000+1000=11000，采用了数变减式和乘法分配率的方法。两种算法中，方法一要简便。所以遇到这样的情况要灵活应用适当的方法，当然，对于小学中低年级的学生来说，要采用自己最熟练最拿手的方法，以保证计算的正确。
对于小学生来说，运算定律的运用具有一定的灵活性，对数学能力的要求较高，同时运算定律的运用也为培养和发展学生思维的灵活性提供机会。加法、乘法运算律知识的准确掌握和灵活运用，不仅可以使加减乘除四则运算的计算变得简便，而且还提高了学生学习数学的兴趣，发展了思维能力，使学生头脑变得灵活，建立了良好的数感，提升了数学素养，也为今后进一步学习代数知识奠定了坚实的基础。
注：此论文为“甘肃省教育科学‘十三五’规划2018年度——农村小学中低年级数学教学中学生核心素养培养的实践研究课题（课题批准号：GS[2018]GHB1164）”论文。
作者简介：蔺国康，男，甘肃省武威市凉州区洪祥镇陈家沟小学教师，一级教师。