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【摘 要】提起乘法，很多人首先想到的就是乘法口诀表。很多孩子觉得自己能把乘法口诀背得滚瓜烂熟，还会计算乘法习题，就懂乘法了。真的是这样吗？笔者在开学一个月左右，对9个班的379名二年级孩子进行了有关乘法的前测，大量的数据说明，绝大部分的孩子是不理解乘法意义的，即便口诀很熟练的孩子。结合统计结果，笔者进行了反思，并在教学实践中通过“重组主题图，动手圈一圈”等形式，试图唤醒孩子们按群计数的意识，从而沟通加法和乘法的联系;能结合矩形图，理解一个乘法算式所表示的两种意义;引导孩子运用多种方式进行表征，丰富乘法模型的认识。
【关键词】乘法;前测;反思;教学实践
【中图分类号】G632.3 【文献标识码】A
【文章编号】2095-3089（2019）06-0229-02
一、课前思考
现象一
“老师，我已经会背乘法口诀表了，我也会做乘法题目了，你可以考考我闹！”作为班主任，当暑假返校后，询问孩子们暑假有哪些收获的时候，有孩子很自豪地说出了上面的话，而且随后不少孩子也跟着回应：我也会，我也会……课后我随意问了几个孩子“三四十二”是什么意思，最厉害的也就答到“3×4=12”这一层面。
现象二
“老师，这个乘法算式写两种不对吧？8个4和4个8算式差不多，但是意思好像不一样啊？”这是一位学生家长在我上这一课之前给我发来的微信原文（估计是准备提前给孩子做一些铺垫），同时配上了书本习题上的照片。这位家长是80后，年龄和我差不多，我们读书那会儿用的教材，特别强调8个4一定要用“4×8”来表示的。
笔者的思考
乘法是二上教材的一个重要教学内容，它占了两个单元的篇幅。目前很多家长都有提前铺垫的意识。开学初粗粗统计了我所任教的其中一个班的孩子，有近80%的孩子都去读过或者背过乘法口诀了。但是，孩子们真的理解乘法了吗？上面两个现象令笔者进入了思考：什么是乘法？为什么要学乘法？乘法的意义真的是全新的知识吗？如何引导孩子理解一道加数相同的加法可以用两个乘法算式来表示？一个乘法算式为什么能表示两种不同的含义？究竟该如何展开教学呢？带着这些问题，笔者首先进行了前测。
二、教学前测
前测对象：二年级学生。实际操作时，笔者对本校（城郊）7个班，以及城区和农村各1个班，总计9个班的379名二年级学生进行了前测。
前测时间：开学1个月左右，最后一次前测在距离上《乘法的初步认识》还间隔了一个多单元。
前测方法：题目测试。有6个班用的是第一份检测单，还有3个班在对第一次前测进行简单统计与分析后，将前测题稍作调整，用的是第二次的检测单。
通过这次前测，笔者发现大部分的孩子都听说过乘法，而且在选择“没听说过”或没有选择的同学中，还有近三分之一的孩子在回答第2题时，出现了乘法算式或口诀，这部分孩子其实也已经与乘法接触过。从测试题4中，我们发现不少的孩子用了两种不同的加法算式来表征自己所画的图，而写出乘法算式的孩子，往往能将两个加法算式都写出来。这就引起了笔者的思考：乘法的模型孩子们并不是第一次接触！在学习100内数的认识时，2个2个数、5个5个数，10个10个数数，已经为学习乘法埋下了伏笔。乘法其实就是几个几个累加的一种简便方法。为此，笔者又对第一次检测单进行了调整，结合了吴卫东老师关于乘法的前测，增加了一些习题，看看那些听说过乘法的孩子，能否在相同加数增加的情况下，出现用乘法表示的式子。这次前测，笔者分别选择了城区、城郊和农村各一个班进行了前测。首先请孩子们完成检测单（1），收起来后再完成检测单（2）。第二份前测习题和结果如下：
小朋友们，请依据你的理解，按要求完成下面的问题。用时7分钟。
从前测反馈结果看，每所学校都有近三分之一的孩子有按群数的思路，其中城郊的學校略偏低，大约占五分之一左右。大部分按群数的孩子都出现了按群圈数再数的过程，也有个别孩子在横线上写了方法，但是没有出现圈的过程。
一上《百以内数的认识》这一单元曾学习过按群计数这一内容，间隔数月，孩子们有所遗忘，由此可见，最原始的方法是出现最多的。但从前测中也发现一个问题：无论孩子们用什么方法数，三所学校孩子们的错误率均在31%左右。
从反馈结果不难发现，每所学校大部分的孩子都听说过乘法。这里出现“没听说”的这个别孩子，在第6问“你认为乘法是怎样的”，其实都出现了乘法算式，包括漏做这题的孩子。这与第一次前6个班的前测结果大径相同。也可以这么说，孩子们虽然没有真正接触过乘法，但是或多或少都与乘法“见过面”，完全没有听说的（包括第6题空着没填的），每班就1到2人。
本次检测的三个班学生人数分别是45、43和45人。从前测反馈情况来看，图画错的孩子，算式肯定都写错了;图画对的孩子中，也有部分孩子写算式的地方还在画图，属于题目意思不理解。三所学校所有孩子中，能画对图并且用两道乘法算式来表示的孩子总共4人;能出现一道乘法算式的共计36人。从中也可以发现，当铺设“文字提示来画图”这一台阶后，能出现乘法算式的孩子明显比第4题只有图来写算式的孩子还要多。还有一个原因，就是第5、第6题的题目中提到了“乘法”这一词，提醒了部分孩子用乘法算式来表示。在前测中，有孩子发现其实2个2个地加起来，就是在数双数。
三、从前测中发现的问题
1.孩子们对乘法的了解仅仅停留在新算式和新符号的出现。
从两次前测中统计得到，有近90%左右的孩子听说过乘法，但是在请他们用画图等方式来表现乘法的时候，70%左右的孩子都写了乘法算式或乘法口诀。当然，这对于孩子们来说的确是新的知识，但是就《乘法的初步认识》一课而言，它与本课的教学目标还相距甚远。 2.在大部分学生的头脑中有乘法算式却没有乘法模型。
大部分的孩子都听说过乘法，但是乘法究竟是怎么回事，什么时候可以用乘法，孩子们还是不明确的。从前测结果可知，孩子们能主动运用乘法解决问题的孩子都极其有限。尤其是第二次前测的3个班级，检查单1已经出现了按群计算的图，但是能想到用乘法列式的孩子除城区学校相对比较多（有20%）以外，其他两所学校均只有2.2%的孩子在圆圈数量最多的时候用到了乘法。
四、带着问题开展教学实践
1.重组主题图，唤醒按群计数的意识。
有研究者认为，小学生的数学认知结构主要是加法结构和乘法结构，而乘法结构是在加法结构的基础上产生的高层次的数学认知结构，是最为重要的结构。数学家又对乘法的现实模型进行了研究，最为重要的现实模型为等量组的聚集等4种模型，而等量组的聚集被认为是最基本的一种模型。笔者对等量组聚集的理解就是按群计数。
（1）发现加数的局限性。
第一次试教时，笔者首先采用了书本的主题图，分别是小飞机3个3个数，小火车6个6个数，过山车2个2个数。教学过程中笔者请小朋友想象：如果过山车不只7个车厢，有10个车厢，那过山车上有几个小朋友可以怎么列式表示？这时矛盾产生了：有小朋友认为这个只能用加法表示，因为乘法口诀表中没有这样的口诀了。大部分孩子之前已经接触过乘法口诀了，所以这也限制了孩子们的思维——乘法就是表内乘法。
（2）改变加数的狭隘性。
带着试教过程中遇到的问题，笔者又进行第二次教学，将主题图彻底改成了手，之后还以此上了展示课。笔者请小朋友猜谜入手：两棵小树十个杈，不长叶子不开花。能写会算还会画，天天干活不说话。笔者将“十个杈”作为主线，引导孩子用算式来表示2双手、3双手、4双手及5双手的手指数。选择手作为主题情景有两个原因：一是可以突破孩子们固有的思维——乘法只有表内乘法;二是10作为按群计数的单位，数数与计算都比较方便，在理解乘法意义时，学生也比较容易说清楚。但是在执教过程中又出现了瑕疵：当请学生观察加数有什么特点时，大部分孩子都说到——加数都是10。换言之，在部分小朋友心里理解为——只有加数是10才能用乘法来表示了，这与笔者的原意图——引出加数都相同这一初衷有了偏差。因为这次试教全部以“手”作为主题图，相同加数就唯一了（还有一个班出现了5+5+5+……的式子）。
2.动手圈一圈，沟通两类算式的联系。
这些长长的连加算式为什么可以用这么简单的新算式来表示呢？这是很多小朋友想不明白却又不敢问出口的问题，也正是本节课的重点和难点，需要小朋友借助多种感官来进行表征与理解了。笔者从小飞机能坐几人入手，请孩子们自己来分析。3+3+3+3+3为什么可以用5×3表示呢？（这里大部分小朋友首先想到的乘法算式都是5×3，估计是从“5个3”迁移过来的。）班级中有个别孩子已经知道这个式子的意义了，如何让他们教会其他孩子呢？
（1）数形结合释意义。
数学家华罗庚曾经说过：数无形时少直觉，形无数时难入微;数形结合百般好，隔离分家万事休。乘法，对于孩子们来说看似很熟悉，其实是完全陌生的知识，运用图来解释抽象的式子无疑是最佳策略了。无论是加法算式还是乘法算式中的“3”，孩子们都很容易从图中找出来。为了能让每一个孩子都能清楚地理解数据的意义，执教中笔者这样提问：老师发现加法和乘法算式中都有3，谁能在图中找到3呢？请你上来圈一圈。多次试教下来，笔者发现上来的孩子在没有提示下，都是圈出1个3就完工了。虽然这样已经能解释3的含义了——一架飞机坐了3个人。但如何能让小朋友快速找到乘数5并理解它呢？笔者采用了追問的方式：“3还有吗？”往往在这样的追问下，孩子会把所有的“3”都在图中圈出来。“哦，原来3都藏在这里，所以写加法算式时，需要写（ ）个3相加啊！”教师的恍然大悟与拖音式的填空，会让一些原本理解模模糊糊的小朋友也跟着明朗起来。“那谁能在图中找到这个5呢？”这其实是本节课最为关键的环节，因为它不像“3”一样那么直观地就可以找到。试教过程中，笔者发现有不少孩子能解释“5就是5个3”，这些小朋友可以说理解了，但是其他小朋友呢？如何通过图来帮助他们理解5的含义呢？指一指，数一数，把隐藏在图中的5直观地找出来。笔者在执教时，请孩子们找的过程中进行适当标注。
这个藏在图中比较隐蔽的“5”一定要让每一个孩子都能找到它，那么才能有效地理解它意义。圈一圈，指一指，说一说，用各种方式来结合着图来理解，从而明白，原来“5”就是飞机的架数。
五、实践后的点滴感悟
这是笔者第三次执教这一内容，最早一次在2007年，中间间隔11年。结果所呈现的情况，在笔者看来，觉得还是比较满意的。在接下来时间里，笔者觉得需要提醒自己如何设计后测习题，以便在下一次的执教后检测孩子们的学习效果。
参考文献
[1]孙昌识，姚平子.儿童数学认知结构的发展与教育，人民教育出版社，2004年版.
[2]巩子坤.有理数运算的理解水平及其教与学的策略研究，西南大学博士学位论文，2006.
[3]义务教育教科书，教师教学用书，二年级上册，2016年版.
[4]一下人教版数学书[G].浙江：人民教育出版，2015.10.
[5]全日制义务教育数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2012.1.
【关键词】乘法;前测;反思;教学实践
【中图分类号】G632.3 【文献标识码】A
【文章编号】2095-3089（2019）06-0229-02
一、课前思考
现象一
“老师，我已经会背乘法口诀表了，我也会做乘法题目了，你可以考考我闹！”作为班主任，当暑假返校后，询问孩子们暑假有哪些收获的时候，有孩子很自豪地说出了上面的话，而且随后不少孩子也跟着回应：我也会，我也会……课后我随意问了几个孩子“三四十二”是什么意思，最厉害的也就答到“3×4=12”这一层面。
现象二
“老师，这个乘法算式写两种不对吧？8个4和4个8算式差不多，但是意思好像不一样啊？”这是一位学生家长在我上这一课之前给我发来的微信原文（估计是准备提前给孩子做一些铺垫），同时配上了书本习题上的照片。这位家长是80后，年龄和我差不多，我们读书那会儿用的教材，特别强调8个4一定要用“4×8”来表示的。
笔者的思考
乘法是二上教材的一个重要教学内容，它占了两个单元的篇幅。目前很多家长都有提前铺垫的意识。开学初粗粗统计了我所任教的其中一个班的孩子，有近80%的孩子都去读过或者背过乘法口诀了。但是，孩子们真的理解乘法了吗？上面两个现象令笔者进入了思考：什么是乘法？为什么要学乘法？乘法的意义真的是全新的知识吗？如何引导孩子理解一道加数相同的加法可以用两个乘法算式来表示？一个乘法算式为什么能表示两种不同的含义？究竟该如何展开教学呢？带着这些问题，笔者首先进行了前测。
二、教学前测
前测对象：二年级学生。实际操作时，笔者对本校（城郊）7个班，以及城区和农村各1个班，总计9个班的379名二年级学生进行了前测。
前测时间：开学1个月左右，最后一次前测在距离上《乘法的初步认识》还间隔了一个多单元。
前测方法：题目测试。有6个班用的是第一份检测单，还有3个班在对第一次前测进行简单统计与分析后，将前测题稍作调整，用的是第二次的检测单。
通过这次前测，笔者发现大部分的孩子都听说过乘法，而且在选择“没听说过”或没有选择的同学中，还有近三分之一的孩子在回答第2题时，出现了乘法算式或口诀，这部分孩子其实也已经与乘法接触过。从测试题4中，我们发现不少的孩子用了两种不同的加法算式来表征自己所画的图，而写出乘法算式的孩子，往往能将两个加法算式都写出来。这就引起了笔者的思考：乘法的模型孩子们并不是第一次接触！在学习100内数的认识时，2个2个数、5个5个数，10个10个数数，已经为学习乘法埋下了伏笔。乘法其实就是几个几个累加的一种简便方法。为此，笔者又对第一次检测单进行了调整，结合了吴卫东老师关于乘法的前测，增加了一些习题，看看那些听说过乘法的孩子，能否在相同加数增加的情况下，出现用乘法表示的式子。这次前测，笔者分别选择了城区、城郊和农村各一个班进行了前测。首先请孩子们完成检测单（1），收起来后再完成检测单（2）。第二份前测习题和结果如下：
小朋友们，请依据你的理解，按要求完成下面的问题。用时7分钟。
从前测反馈结果看，每所学校都有近三分之一的孩子有按群数的思路，其中城郊的學校略偏低，大约占五分之一左右。大部分按群数的孩子都出现了按群圈数再数的过程，也有个别孩子在横线上写了方法，但是没有出现圈的过程。
一上《百以内数的认识》这一单元曾学习过按群计数这一内容，间隔数月，孩子们有所遗忘，由此可见，最原始的方法是出现最多的。但从前测中也发现一个问题：无论孩子们用什么方法数，三所学校孩子们的错误率均在31%左右。
从反馈结果不难发现，每所学校大部分的孩子都听说过乘法。这里出现“没听说”的这个别孩子，在第6问“你认为乘法是怎样的”，其实都出现了乘法算式，包括漏做这题的孩子。这与第一次前6个班的前测结果大径相同。也可以这么说，孩子们虽然没有真正接触过乘法，但是或多或少都与乘法“见过面”，完全没有听说的（包括第6题空着没填的），每班就1到2人。
本次检测的三个班学生人数分别是45、43和45人。从前测反馈情况来看，图画错的孩子，算式肯定都写错了;图画对的孩子中，也有部分孩子写算式的地方还在画图，属于题目意思不理解。三所学校所有孩子中，能画对图并且用两道乘法算式来表示的孩子总共4人;能出现一道乘法算式的共计36人。从中也可以发现，当铺设“文字提示来画图”这一台阶后，能出现乘法算式的孩子明显比第4题只有图来写算式的孩子还要多。还有一个原因，就是第5、第6题的题目中提到了“乘法”这一词，提醒了部分孩子用乘法算式来表示。在前测中，有孩子发现其实2个2个地加起来，就是在数双数。
三、从前测中发现的问题
1.孩子们对乘法的了解仅仅停留在新算式和新符号的出现。
从两次前测中统计得到，有近90%左右的孩子听说过乘法，但是在请他们用画图等方式来表现乘法的时候，70%左右的孩子都写了乘法算式或乘法口诀。当然，这对于孩子们来说的确是新的知识，但是就《乘法的初步认识》一课而言，它与本课的教学目标还相距甚远。 2.在大部分学生的头脑中有乘法算式却没有乘法模型。
大部分的孩子都听说过乘法，但是乘法究竟是怎么回事，什么时候可以用乘法，孩子们还是不明确的。从前测结果可知，孩子们能主动运用乘法解决问题的孩子都极其有限。尤其是第二次前测的3个班级，检查单1已经出现了按群计算的图，但是能想到用乘法列式的孩子除城区学校相对比较多（有20%）以外，其他两所学校均只有2.2%的孩子在圆圈数量最多的时候用到了乘法。
四、带着问题开展教学实践
1.重组主题图，唤醒按群计数的意识。
有研究者认为，小学生的数学认知结构主要是加法结构和乘法结构，而乘法结构是在加法结构的基础上产生的高层次的数学认知结构，是最为重要的结构。数学家又对乘法的现实模型进行了研究，最为重要的现实模型为等量组的聚集等4种模型，而等量组的聚集被认为是最基本的一种模型。笔者对等量组聚集的理解就是按群计数。
（1）发现加数的局限性。
第一次试教时，笔者首先采用了书本的主题图，分别是小飞机3个3个数，小火车6个6个数，过山车2个2个数。教学过程中笔者请小朋友想象：如果过山车不只7个车厢，有10个车厢，那过山车上有几个小朋友可以怎么列式表示？这时矛盾产生了：有小朋友认为这个只能用加法表示，因为乘法口诀表中没有这样的口诀了。大部分孩子之前已经接触过乘法口诀了，所以这也限制了孩子们的思维——乘法就是表内乘法。
（2）改变加数的狭隘性。
带着试教过程中遇到的问题，笔者又进行第二次教学，将主题图彻底改成了手，之后还以此上了展示课。笔者请小朋友猜谜入手：两棵小树十个杈，不长叶子不开花。能写会算还会画，天天干活不说话。笔者将“十个杈”作为主线，引导孩子用算式来表示2双手、3双手、4双手及5双手的手指数。选择手作为主题情景有两个原因：一是可以突破孩子们固有的思维——乘法只有表内乘法;二是10作为按群计数的单位，数数与计算都比较方便，在理解乘法意义时，学生也比较容易说清楚。但是在执教过程中又出现了瑕疵：当请学生观察加数有什么特点时，大部分孩子都说到——加数都是10。换言之，在部分小朋友心里理解为——只有加数是10才能用乘法来表示了，这与笔者的原意图——引出加数都相同这一初衷有了偏差。因为这次试教全部以“手”作为主题图，相同加数就唯一了（还有一个班出现了5+5+5+……的式子）。
2.动手圈一圈，沟通两类算式的联系。
这些长长的连加算式为什么可以用这么简单的新算式来表示呢？这是很多小朋友想不明白却又不敢问出口的问题，也正是本节课的重点和难点，需要小朋友借助多种感官来进行表征与理解了。笔者从小飞机能坐几人入手，请孩子们自己来分析。3+3+3+3+3为什么可以用5×3表示呢？（这里大部分小朋友首先想到的乘法算式都是5×3，估计是从“5个3”迁移过来的。）班级中有个别孩子已经知道这个式子的意义了，如何让他们教会其他孩子呢？
（1）数形结合释意义。
数学家华罗庚曾经说过：数无形时少直觉，形无数时难入微;数形结合百般好，隔离分家万事休。乘法，对于孩子们来说看似很熟悉，其实是完全陌生的知识，运用图来解释抽象的式子无疑是最佳策略了。无论是加法算式还是乘法算式中的“3”，孩子们都很容易从图中找出来。为了能让每一个孩子都能清楚地理解数据的意义，执教中笔者这样提问：老师发现加法和乘法算式中都有3，谁能在图中找到3呢？请你上来圈一圈。多次试教下来，笔者发现上来的孩子在没有提示下，都是圈出1个3就完工了。虽然这样已经能解释3的含义了——一架飞机坐了3个人。但如何能让小朋友快速找到乘数5并理解它呢？笔者采用了追問的方式：“3还有吗？”往往在这样的追问下，孩子会把所有的“3”都在图中圈出来。“哦，原来3都藏在这里，所以写加法算式时，需要写（ ）个3相加啊！”教师的恍然大悟与拖音式的填空，会让一些原本理解模模糊糊的小朋友也跟着明朗起来。“那谁能在图中找到这个5呢？”这其实是本节课最为关键的环节，因为它不像“3”一样那么直观地就可以找到。试教过程中，笔者发现有不少孩子能解释“5就是5个3”，这些小朋友可以说理解了，但是其他小朋友呢？如何通过图来帮助他们理解5的含义呢？指一指，数一数，把隐藏在图中的5直观地找出来。笔者在执教时，请孩子们找的过程中进行适当标注。
这个藏在图中比较隐蔽的“5”一定要让每一个孩子都能找到它，那么才能有效地理解它意义。圈一圈，指一指，说一说，用各种方式来结合着图来理解，从而明白，原来“5”就是飞机的架数。
五、实践后的点滴感悟
这是笔者第三次执教这一内容，最早一次在2007年，中间间隔11年。结果所呈现的情况，在笔者看来，觉得还是比较满意的。在接下来时间里，笔者觉得需要提醒自己如何设计后测习题，以便在下一次的执教后检测孩子们的学习效果。
参考文献
[1]孙昌识，姚平子.儿童数学认知结构的发展与教育，人民教育出版社，2004年版.
[2]巩子坤.有理数运算的理解水平及其教与学的策略研究，西南大学博士学位论文，2006.
[3]义务教育教科书，教师教学用书，二年级上册，2016年版.
[4]一下人教版数学书[G].浙江：人民教育出版，2015.10.
[5]全日制义务教育数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2012.1.