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【摘要】应用能量法对实际工程中的一类压杆进行了理论分析，得到临界荷载 的表达式，计算结果与采用有限元法的数值分析结果基本一致。
【关键词】稳定；临界荷载；能量法
The application of energy method for stability analysis of a class of steel pressure rod
Li Qi—wen1，Ding Sheng—guo2，Ding Ting2，Jiang Yu3
（1.Guizhou University Mingde School GuiyangGuizhou550003；
2.Guizhou University Institute of Civil engineeringGuiyangGuizhou550003；
3.Guiyang Technical Safety Supervision BureauGuiyangGuizhou550003）
【Abstract】Through theoretical analysis of the energy method， calculation formula for the critical load of a compressive bar in practical engineering application is derived. Results get by use of this expression and the finite element numerical analysis results are basically the same.
【Key words】Stability；Critical load；The energy method
1.钢压杆的弹性稳定理论分析
空间压杆俗称巴杆，其简图如图1所示，主杆抗弯刚度EId ，斜向拉杆的抗议拉压刚度EAq ，拉杆设置于主杆截面两惯性主轴oyz 方向。分析在主杆截面主惯性矩较小的主平面上进行，计算简图如图2。.
图1空间压杆
两段主杆屈曲状态如图3 所示，设其压曲函数分别y1（x）为y2（x） 和 ：
y1（x）=A1〔sinπxl+xl〕
y2（x）=（A2—A1）〔sinπxl+xl〕 （a）
所设压曲函数完全满足主杆端的边界约束条件及隐含的力边界条件：
y1（0）=0，y1''（0）≠0，y1"（0）=0
y1（l）=A1，y1''（l）≠0，y1"（l）=0
y2（0）=0，y2''（0）≠0，y2"（0）=0
y2（l）=A2—A1，y2''（l）≠0，y2"（l）=0
斜拉杆①、②对主杆的作用等效为弹簧[1]，弹簧常数k1和k2的分析见图4。当主杆端B发生垂直于主杆轴向的单位位移 u=1时，引起斜拉杆①的申长△1 =cosα，由此引起u方向的力即B处等效弹簧常数 k1，在计算这一等效弹簧常数时，因斜杆长细比过大不计入斜压杆对刚度的贡献（计算中取α=30°，β=60° ）：
图2压杆计简图算
k1=EAql1△1（cosα）=EAqlcos2αsinα=3EAq8l
同理可分析得到斜拉杆②的等效弹簧常数：
k2=EAql2△2 （cosβ）=EAq2lcos2βsinβ=3EAq16l
在图3所示的临界压屈状态计算体系内的弹性变形能U：
U=12l0EId[y1"（x）]2dx+12l0EId[y2"（x）]2dx+12k1A12+12k2A22
完成积分运算后弹性变形能：
U=k0（2A12+A22—2A1A2）+k1A12+k2A22
临界状态外力P1和P2所做的功W：
W=2P2l0[y1''（x）]2dx+P2l0{[y1''（x）]2+[y2''（x）]2}dx
完成积分运算后：
W=P0（4A12+A22—2A1A2）
体系的势能=U—W ，由临界状态的能量特征：
A1=0：（2k0+k1—4P0） A1 +（P0—k0） A2=0 （b）
A2=0：（P0—k0） A1 + （k0+k2—P0） A2=0 （c）
（b），（c）式构成所设压屈函数（a）有非零解的条件是A1 ，A2 的系数行列式为零：
2k0+k1—4P0P0—k0P0—k0k0+k2—P0 =0 （d）
其中P0=Pcr l 〔π22+1〕，k0= π4EId2 l3
由（d）式得确定临界荷载 Pcr的方程：
αP02 +bP0+c=0 （e）
其中： α=3，b=—（4k0+4k2+k1），c=k02+k1k0+2k2k0+k1k2
图3主杆压屈状态
图4斜拉杆等效弹簧刚度系数分析
根据实际结构，主杆由两根40b槽钢组成，斜拉杆为4号等边角钢，对于工程中常用的巴杆 Aq≈10Idl2
，由（e）式解得： P0=17.8335EIdl3
Pcr=P0l〔π22+1〕 =0.304 π2 EId l2 （2）
对于主杆为空腹格构式钢杆的情况，临界荷载的计算还须考虑主杆剪切变形的影响，按缀板式组合压杆的理论分析，应在（2）式反应主杆长度的l中引入长度修正系数 μ[1][2]：
μ=λ2+λ2dλ2
相应临界荷载较（2）式有所降低：
Pcr=0.304 π2 EId （μl）2 （3）
对于一般的空腹钢格构式压杆，μ=1.05—1.25 ，将此值代入（3）式，有：
Pcr= （0.195—0.276） π2 EId l2 （3a）
对于所分析的钢压杆，应用有限单元法线弹性稳定数值分析结果为 Pcr=0.242 π2 EId l2 ，表明（3a）式计算结果完全在有限元数值分析结果的范围。
2. 结论及讨论：
2.1应用势能驻值原理导出的一类工程压杆临界荷载的计算式。由于所设定的压杆屈曲函数完全满足杆端位移边值条件及隐含的力边值条件，理论分析所得临界荷载的计算结果与有限元弹性数值分析结果基本吻合。
2.2当主杆周围的斜杆多于四根或斜杆非对称分布的情况，仍可用空间轴力杆刚度分析的方法[1]获得斜杆的等效刚度k1 ，k2 ，从而由（e）式计算得临界荷载。
2.3所得临界荷载的计算式仅限于这类工程上常用压杆的弹性稳定的一阶估计，属分支点失稳分析[3][4][5]，对于杆件材料进入弹塑性且引入初始缺陷的二阶稳定分析，一般应用有限单元法完成[6][7]，所得结果常比线弹性有限元分析结果降低30%～50%。
参考文献
[1]丁圣果 分析结构力学[M]，贵州科技出版社2010.12，448～463，351～361.
[2]龙驭球 包世华 结构力学II[M]，，高等教育出版社2006.12 238～244.
[3]丁圣果，付波 大跨四角锥系空间桁架临界荷载分析，四川建筑科学研究[J] 2011.10 vol 37 no 5 8～11.
[4]付波，丁圣果，郑涛，郑伟：四角锥空间桁架的临界荷载，贵州大学学报（自然科学版）[J] 2009.10 vol 26 no 5 101～104 工业建筑2010增刊[J] vol40 417～420.
[5]丁圣果，付波 梭形桁架式屋盖整体稳定的一阶屈曲分析 工业建筑2010增刊[J] vol40 417～420.
[6]付波，丁圣果：梭形桁架式屋盖整体稳定的非线性分析， 工业建筑2010增刊[J] vol40 421～423.
[7]胡星岩， 张晓光， 杨建行等： 空间钢管桁架结构的整体稳定分析 工程力学， 2001增刊[J]481～485.
【关键词】稳定；临界荷载；能量法
The application of energy method for stability analysis of a class of steel pressure rod
Li Qi—wen1，Ding Sheng—guo2，Ding Ting2，Jiang Yu3
（1.Guizhou University Mingde School GuiyangGuizhou550003；
2.Guizhou University Institute of Civil engineeringGuiyangGuizhou550003；
3.Guiyang Technical Safety Supervision BureauGuiyangGuizhou550003）
【Abstract】Through theoretical analysis of the energy method， calculation formula for the critical load of a compressive bar in practical engineering application is derived. Results get by use of this expression and the finite element numerical analysis results are basically the same.
【Key words】Stability；Critical load；The energy method
1.钢压杆的弹性稳定理论分析
空间压杆俗称巴杆，其简图如图1所示，主杆抗弯刚度EId ，斜向拉杆的抗议拉压刚度EAq ，拉杆设置于主杆截面两惯性主轴oyz 方向。分析在主杆截面主惯性矩较小的主平面上进行，计算简图如图2。.
图1空间压杆
两段主杆屈曲状态如图3 所示，设其压曲函数分别y1（x）为y2（x） 和 ：
y1（x）=A1〔sinπxl+xl〕
y2（x）=（A2—A1）〔sinπxl+xl〕 （a）
所设压曲函数完全满足主杆端的边界约束条件及隐含的力边界条件：
y1（0）=0，y1''（0）≠0，y1"（0）=0
y1（l）=A1，y1''（l）≠0，y1"（l）=0
y2（0）=0，y2''（0）≠0，y2"（0）=0
y2（l）=A2—A1，y2''（l）≠0，y2"（l）=0
斜拉杆①、②对主杆的作用等效为弹簧[1]，弹簧常数k1和k2的分析见图4。当主杆端B发生垂直于主杆轴向的单位位移 u=1时，引起斜拉杆①的申长△1 =cosα，由此引起u方向的力即B处等效弹簧常数 k1，在计算这一等效弹簧常数时，因斜杆长细比过大不计入斜压杆对刚度的贡献（计算中取α=30°，β=60° ）：
图2压杆计简图算
k1=EAql1△1（cosα）=EAqlcos2αsinα=3EAq8l
同理可分析得到斜拉杆②的等效弹簧常数：
k2=EAql2△2 （cosβ）=EAq2lcos2βsinβ=3EAq16l
在图3所示的临界压屈状态计算体系内的弹性变形能U：
U=12l0EId[y1"（x）]2dx+12l0EId[y2"（x）]2dx+12k1A12+12k2A22
完成积分运算后弹性变形能：
U=k0（2A12+A22—2A1A2）+k1A12+k2A22
临界状态外力P1和P2所做的功W：
W=2P2l0[y1''（x）]2dx+P2l0{[y1''（x）]2+[y2''（x）]2}dx
完成积分运算后：
W=P0（4A12+A22—2A1A2）
体系的势能=U—W ，由临界状态的能量特征：
A1=0：（2k0+k1—4P0） A1 +（P0—k0） A2=0 （b）
A2=0：（P0—k0） A1 + （k0+k2—P0） A2=0 （c）
（b），（c）式构成所设压屈函数（a）有非零解的条件是A1 ，A2 的系数行列式为零：
2k0+k1—4P0P0—k0P0—k0k0+k2—P0 =0 （d）
其中P0=Pcr l 〔π22+1〕，k0= π4EId2 l3
由（d）式得确定临界荷载 Pcr的方程：
αP02 +bP0+c=0 （e）
其中： α=3，b=—（4k0+4k2+k1），c=k02+k1k0+2k2k0+k1k2
图3主杆压屈状态
图4斜拉杆等效弹簧刚度系数分析
根据实际结构，主杆由两根40b槽钢组成，斜拉杆为4号等边角钢，对于工程中常用的巴杆 Aq≈10Idl2
，由（e）式解得： P0=17.8335EIdl3
Pcr=P0l〔π22+1〕 =0.304 π2 EId l2 （2）
对于主杆为空腹格构式钢杆的情况，临界荷载的计算还须考虑主杆剪切变形的影响，按缀板式组合压杆的理论分析，应在（2）式反应主杆长度的l中引入长度修正系数 μ[1][2]：
μ=λ2+λ2dλ2
相应临界荷载较（2）式有所降低：
Pcr=0.304 π2 EId （μl）2 （3）
对于一般的空腹钢格构式压杆，μ=1.05—1.25 ，将此值代入（3）式，有：
Pcr= （0.195—0.276） π2 EId l2 （3a）
对于所分析的钢压杆，应用有限单元法线弹性稳定数值分析结果为 Pcr=0.242 π2 EId l2 ，表明（3a）式计算结果完全在有限元数值分析结果的范围。
2. 结论及讨论：
2.1应用势能驻值原理导出的一类工程压杆临界荷载的计算式。由于所设定的压杆屈曲函数完全满足杆端位移边值条件及隐含的力边值条件，理论分析所得临界荷载的计算结果与有限元弹性数值分析结果基本吻合。
2.2当主杆周围的斜杆多于四根或斜杆非对称分布的情况，仍可用空间轴力杆刚度分析的方法[1]获得斜杆的等效刚度k1 ，k2 ，从而由（e）式计算得临界荷载。
2.3所得临界荷载的计算式仅限于这类工程上常用压杆的弹性稳定的一阶估计，属分支点失稳分析[3][4][5]，对于杆件材料进入弹塑性且引入初始缺陷的二阶稳定分析，一般应用有限单元法完成[6][7]，所得结果常比线弹性有限元分析结果降低30%～50%。
参考文献
[1]丁圣果 分析结构力学[M]，贵州科技出版社2010.12，448～463，351～361.
[2]龙驭球 包世华 结构力学II[M]，，高等教育出版社2006.12 238～244.
[3]丁圣果，付波 大跨四角锥系空间桁架临界荷载分析，四川建筑科学研究[J] 2011.10 vol 37 no 5 8～11.
[4]付波，丁圣果，郑涛，郑伟：四角锥空间桁架的临界荷载，贵州大学学报（自然科学版）[J] 2009.10 vol 26 no 5 101～104 工业建筑2010增刊[J] vol40 417～420.
[5]丁圣果，付波 梭形桁架式屋盖整体稳定的一阶屈曲分析 工业建筑2010增刊[J] vol40 417～420.
[6]付波，丁圣果：梭形桁架式屋盖整体稳定的非线性分析， 工业建筑2010增刊[J] vol40 421～423.
[7]胡星岩， 张晓光， 杨建行等： 空间钢管桁架结构的整体稳定分析 工程力学， 2001增刊[J]481～485.