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培养学生解应用题的思路，是提高应用题教学质量的关键。解题思路包含解题时思考的出发点，思考的程序和思考的方法。解应用题的一般思路有综合法和分析法。但是有些复杂的应用题仅仅用一般思路分析往往不容易解答，这就需要运用一些特殊的解题思路。本文试谈谈在解应用题中几种特殊思路的运用。
一、还原思路
这种思路是从题目的最后一个已知数量出发，根据题目的数量关系，一步一步逆推，逐步还原，求得原数量。
例1 一瓶酒精，第一次倒出1/3，然后倒回瓶中40克，第二次倒出瓶中酒精的5/9，第三次倒出180克，瓶中还剩60克。原来瓶中有酒精多少克?
分析：由题设倒了三次以后，瓶中还剩60克。如果第三次不倒出180克，瓶中应有60＋180＝240(克)；如果第二次不倒出瓶中的5/9，瓶中应有240÷(1－5/9)＝540(克)；如果不倒回瓶中40克，瓶中应有540-40=500(克)；如果第一次不倒出1/3，瓶中应有500÷(1－1/3)＝750(克)。
解：[(180＋60)÷(1－5/9)－40]÷(1－1/3)＝750(克)
二、置换思路
这种思路是根据题目中有关数量之间的关系，将某一种物品的数量换算成另一种物品的数量，使题中的几种物品转换成同一种物品，从而使问题得到解答。
例2 买9支钢笔和6支圆珠笔共用去4446元，已知买3支圆珠笔的钱刚好可以买2支钢笔。钢笔和圆珠笔每支各多少元?
分析一：如果把圆珠笔换成钢笔，买6支圆珠笔的钱可以买“2×(6÷3)”支钢笔，则44.46元共可买“9＋2×(6÷3)”支钢笔。
解1：446÷[9＋2×(6÷3)]＝3.42(元)(钢笔)
2.42×2÷3＝2.28(元)(圆珠笔)
分析二：如果把钢笔换成圆珠笔，买9支钢笔的钱可以买“2×(9÷2)”支圆珠笔，则44.46元共可买“6＋3×(9÷2)”支圆珠笔。
解2：44.46÷[6＋3×(9÷2)]＝2.28(元)(圆珠笔)
2.28×3÷2＝3.42(元)(钢笔)
例3 买8个篮球和7个排球共要318元，已知每个篮球比每个排球贵6元，每个篮球多少元?
分析一：如果把7个排球换成7个篮球，应补差价“6×7”元，则“318＋6×7”就相当于“8＋9”个篮球的价钱。
解1：(318＋6×7)÷(8＋7)＝24(元)
分析二：如果把8个篮球换成8个排球，应少付“6×8”元，则“318－6×8”元就相当于“8＋7”个排球的价钱。
解2：(318－6×8)÷(8＋7)＋6＝24(元)
三、比较思路
这种思路是将题中的有关条件进行比较，以发现隐含着的数量关系，通过某种运算，将数量关系加以简化，从而得到解题的途径。
例4 买3千克苹果，2千克梨共付9.96元，买2千克苹果、3千克梨共付944元。每千克苹果多少元?
分析：将两次买苹果和梨的数量，用去的钱数排列如下：
第一次：3千克苹果2千克梨9 96元
第二次：2千克苹果3千克梨944元
通过比较，可以发现两次共买了5千克苹果和5千克梨，共付出“9.96＋9.44”元。各买1千克要付“(9.96＋9.44)÷5”元。于是得：
解1：9.96－(996＋944)÷(3＋2)×2＝2.2(元)
解2：(9.96＋9.44)÷(3＋2)×3－9.44＝2.2(元)
也可以这样比较：第一次比第二次多买1千克苹果，少买1千克梨，结果第一次比第二次多付“9.96－9.44”元。由此得到每千克苹果比每千克梨贵“9.96－9.44”元。这样便可按上面例3的方法解。
解3：[9.96＋(9.96－9.44)×2]÷(3＋2)＝2.2(元)
解4：[9.96－(9.96－9.44)×3]÷(3＋2)＋(9.96－9.44)＝2.2(元)
還可以这样进行比较：将第一次买的苹果和梨的千克数各扩大3倍，付的钱数也应扩大3倍；将第二次买的苹果和梨的千克数各扩大2倍，付的钱数也应扩大2倍。这样，两次买的梨的千克数相同，苹果多买了“3×3－2×2”千克，多付出“9.96×3－9.44×2”元。写成下面的减法竖式是：
第一次：3×3千克苹果2×3千克梨 9.96×2元
一第二次：2×2千克苹果3×2千克梨 9.44×2元
5千克苹果 11元
解7：(9.96×3－9.44×2)÷(3×3－2×2)＝2.2(元)
四、转化思路
这种思路是根据题目的条件和解题需要，将题中的某一种数量关系转化成另一种数量关系，从而得到解题的途径或者使解法简便。
例5 甲、乙两个工人生产同一种零件，甲每小时做40个，乙所用的时间比甲少1/5。乙每小时做几个零件?
分析：这道题中的已知数量(40个)是甲的工作效率，已知分率(1/5)又是以甲的工作时间为单位“厂的，“量”和“率”不能直接对应，需要将数量关系作某种转化。
转化方法一：将“甲每小时做40个”转化成“甲每做一个零件需要1/40时”，这就将甲的工作效率转化成了甲每做一个零件所需要的工作时间。由题设“乙所用的时间比甲少1/5”，可求出乙每做一个零件要“1/40×(1－1/5)”小时。要求乙每小时敝多少个零件，就是求1小时里面包含有多少个“1/40×(1－1/5)”
解1：1÷[1/40×(1－1/5)]＝50个
转化方法二：设这批零件的个数(工作量)为“1”，则每小时加工的个数(工作效率)和完工的时间互为倒数。当甲的工作时间为1时，工作效率也应为1；乙的工作时间是甲的“1－1/5”，乙的工作效率(即每小时加工的个数)应是甲的“1÷(1－1/5)。”
解2：40×[1÷(1－1/5)]＝50(个) 转化方法三：设这批零件的个数(工作量)为“1”，当乙的工作时间为1时，工作效率也应为1；由题设“乙所用的时间比甲少1/5”，得到甲所用的时间是乙的“1÷(1－1/5)”，甲每小时加工的个数(40个)应是乙的“1－1/5”(即1÷(1－1/5)的倒数)
解3：40÷(1－1/5)＝50(个)
例6甲、乙二人从小镇出发到县城办事，甲乘汽车每小时行375千米，乙骑自行车每小时行125千米，乙比甲早动身1.5小时，而又比甲晚到2.5小时。小镇和县城相距多少千米?
这道题的一般解法是：
[37.5×(15＋25)÷(37.5－12.5)×12.5=75(千米)
或12.5×(1.5＋2.5)÷(37.5－12.5)×37.5＝75(千米)
一、还原思路
这种思路是从题目的最后一个已知数量出发，根据题目的数量关系，一步一步逆推，逐步还原，求得原数量。
例1 一瓶酒精，第一次倒出1/3，然后倒回瓶中40克，第二次倒出瓶中酒精的5/9，第三次倒出180克，瓶中还剩60克。原来瓶中有酒精多少克?
分析：由题设倒了三次以后，瓶中还剩60克。如果第三次不倒出180克，瓶中应有60＋180＝240(克)；如果第二次不倒出瓶中的5/9，瓶中应有240÷(1－5/9)＝540(克)；如果不倒回瓶中40克，瓶中应有540-40=500(克)；如果第一次不倒出1/3，瓶中应有500÷(1－1/3)＝750(克)。
解：[(180＋60)÷(1－5/9)－40]÷(1－1/3)＝750(克)
二、置换思路
这种思路是根据题目中有关数量之间的关系，将某一种物品的数量换算成另一种物品的数量，使题中的几种物品转换成同一种物品，从而使问题得到解答。
例2 买9支钢笔和6支圆珠笔共用去4446元，已知买3支圆珠笔的钱刚好可以买2支钢笔。钢笔和圆珠笔每支各多少元?
分析一：如果把圆珠笔换成钢笔，买6支圆珠笔的钱可以买“2×(6÷3)”支钢笔，则44.46元共可买“9＋2×(6÷3)”支钢笔。
解1：446÷[9＋2×(6÷3)]＝3.42(元)(钢笔)
2.42×2÷3＝2.28(元)(圆珠笔)
分析二：如果把钢笔换成圆珠笔，买9支钢笔的钱可以买“2×(9÷2)”支圆珠笔，则44.46元共可买“6＋3×(9÷2)”支圆珠笔。
解2：44.46÷[6＋3×(9÷2)]＝2.28(元)(圆珠笔)
2.28×3÷2＝3.42(元)(钢笔)
例3 买8个篮球和7个排球共要318元，已知每个篮球比每个排球贵6元，每个篮球多少元?
分析一：如果把7个排球换成7个篮球，应补差价“6×7”元，则“318＋6×7”就相当于“8＋9”个篮球的价钱。
解1：(318＋6×7)÷(8＋7)＝24(元)
分析二：如果把8个篮球换成8个排球，应少付“6×8”元，则“318－6×8”元就相当于“8＋7”个排球的价钱。
解2：(318－6×8)÷(8＋7)＋6＝24(元)
三、比较思路
这种思路是将题中的有关条件进行比较，以发现隐含着的数量关系，通过某种运算，将数量关系加以简化，从而得到解题的途径。
例4 买3千克苹果，2千克梨共付9.96元，买2千克苹果、3千克梨共付944元。每千克苹果多少元?
分析：将两次买苹果和梨的数量，用去的钱数排列如下：
第一次：3千克苹果2千克梨9 96元
第二次：2千克苹果3千克梨944元
通过比较，可以发现两次共买了5千克苹果和5千克梨，共付出“9.96＋9.44”元。各买1千克要付“(9.96＋9.44)÷5”元。于是得：
解1：9.96－(996＋944)÷(3＋2)×2＝2.2(元)
解2：(9.96＋9.44)÷(3＋2)×3－9.44＝2.2(元)
也可以这样比较：第一次比第二次多买1千克苹果，少买1千克梨，结果第一次比第二次多付“9.96－9.44”元。由此得到每千克苹果比每千克梨贵“9.96－9.44”元。这样便可按上面例3的方法解。
解3：[9.96＋(9.96－9.44)×2]÷(3＋2)＝2.2(元)
解4：[9.96－(9.96－9.44)×3]÷(3＋2)＋(9.96－9.44)＝2.2(元)
還可以这样进行比较：将第一次买的苹果和梨的千克数各扩大3倍，付的钱数也应扩大3倍；将第二次买的苹果和梨的千克数各扩大2倍，付的钱数也应扩大2倍。这样，两次买的梨的千克数相同，苹果多买了“3×3－2×2”千克，多付出“9.96×3－9.44×2”元。写成下面的减法竖式是：
第一次：3×3千克苹果2×3千克梨 9.96×2元
一第二次：2×2千克苹果3×2千克梨 9.44×2元
5千克苹果 11元
解7：(9.96×3－9.44×2)÷(3×3－2×2)＝2.2(元)
四、转化思路
这种思路是根据题目的条件和解题需要，将题中的某一种数量关系转化成另一种数量关系，从而得到解题的途径或者使解法简便。
例5 甲、乙两个工人生产同一种零件，甲每小时做40个，乙所用的时间比甲少1/5。乙每小时做几个零件?
分析：这道题中的已知数量(40个)是甲的工作效率，已知分率(1/5)又是以甲的工作时间为单位“厂的，“量”和“率”不能直接对应，需要将数量关系作某种转化。
转化方法一：将“甲每小时做40个”转化成“甲每做一个零件需要1/40时”，这就将甲的工作效率转化成了甲每做一个零件所需要的工作时间。由题设“乙所用的时间比甲少1/5”，可求出乙每做一个零件要“1/40×(1－1/5)”小时。要求乙每小时敝多少个零件，就是求1小时里面包含有多少个“1/40×(1－1/5)”
解1：1÷[1/40×(1－1/5)]＝50个
转化方法二：设这批零件的个数(工作量)为“1”，则每小时加工的个数(工作效率)和完工的时间互为倒数。当甲的工作时间为1时，工作效率也应为1；乙的工作时间是甲的“1－1/5”，乙的工作效率(即每小时加工的个数)应是甲的“1÷(1－1/5)。”
解2：40×[1÷(1－1/5)]＝50(个) 转化方法三：设这批零件的个数(工作量)为“1”，当乙的工作时间为1时，工作效率也应为1；由题设“乙所用的时间比甲少1/5”，得到甲所用的时间是乙的“1÷(1－1/5)”，甲每小时加工的个数(40个)应是乙的“1－1/5”(即1÷(1－1/5)的倒数)
解3：40÷(1－1/5)＝50(个)
例6甲、乙二人从小镇出发到县城办事，甲乘汽车每小时行375千米，乙骑自行车每小时行125千米，乙比甲早动身1.5小时，而又比甲晚到2.5小时。小镇和县城相距多少千米?
这道题的一般解法是：
[37.5×(15＋25)÷(37.5－12.5)×12.5=75(千米)
或12.5×(1.5＋2.5)÷(37.5－12.5)×37.5＝75(千米)