摘 要：本文给出2011年高考全国卷的一道试题的别证，从而通过探究、证明得出圆锥曲线上四点共圆条件的两个定理，并举例说明定理的应用.
　　关键词：考题；探究；定理；证明；应用
　　
　　2011年高考全国卷第21（理），22（文）题（以下称考题）为：
　　已知O为坐标原点，F为椭圆C：x2+=1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为－的直线l与C交于A，B两点，点P满足++=0.
　　（1）证明：点P在C上；
　　（2）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A，P，B，Q四点在同一圆上.
　　考题的别证
　　证明：（1）椭圆C的两个焦点为F（0，1），F1（0，－1），直线l的方程为y= －x+1，代入x2+=1，并化简得4x2－2x－1=0.
　　设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），则x1+x2=，x1x2=－；
　　y1+y2=－（x1+x2）+2=1，y1y2=（－x1+1）（－x2+1）=－.
　　由题意知，O为△ABP的重心，
　　故x3=－（x1+x2）=－，y3=－（y1+y3）= －1，即P－，－1.
　　因为PF+PF=+=2，
　　所以点P在椭圆C上.
　　（2）由P－，－1和题设知，Q，1，所以PQ的方程为y=x.
　　由y=－x+1y=x 得l与PQ的交点为M，，
　　因为·=-x1，-y1·x2－，y2－=（x1+x2）－x1x2+（y1+y2）－y1y2－=，
　　且·=，·，=，所以·=·，即=，由圆幂定理的逆定理知，A，P，B，Q四点在同一圆上.
　　探究四点共圆条件
　　由上述（2）的证明过程，我们得到
　　定理1 设线段AC与BD（或延长线）相交于点M，若·=·，则A，B，C，D四点共圆.
　　证明：易得·=·cos?刍，?酆，
　　·=cos?刍，?酆.
　　当AC与BD相交于点M时，
　　?刍，?酆=<，?酆=0；
　　当AC与BD的延长线相交于点M时，
　　?刍，?酆=?刍，?酆=π.
　　因为·=·，
　　所以=.
　　根据圆幂定理的逆定理知A，B，C，D四点共圆.
　　显然，考题中的A，B，P，Q四点均在椭圆上，且AB与PQ斜率的和等于零，即AB，PQ的倾斜角互补；因此，对于一般的圆锥曲线，我们猜想并证明了下述定理.
　　定理2 设AC，BD是椭圆或双曲线+=1（m>0，n>0或mn<0）或抛物线y2=2px，x2=2py（p≠0）的任意两条弦，若AC，BD的倾斜角互补，则A，B，C，D四点共圆.
　　以椭圆或双曲线+=1（m>0，n>0或mn<0）为例证明如下：
　　证明：因为AC，BD的倾斜角互补，所以
　　（1）?摇当AC⊥x轴时，结论显然成立；
　　（2）?摇当AC不垂直于x轴时，设AC与BD相交于点M（x0，y0），且直线AC的倾斜角为θ，则直线AC的参数方程为
　　x=x0+tcosθ，y=y0+tsinθ（t为参数）；①
　　直线BD的参数方程为
　　x=x0+tcos（π－θ），y=y0+tsin（π－θ）（t为参数）.②
　　将①代入+=1，化简得
　　（msin2θ+ncos2θ）t2+2（my0sinθ+nx0cosθ）t+nx+my-mn=0，
　　故AMMC=t1t2= ；
　　将②代入+=1，同理得
　　BMMD=.
　　于是AMMC=BMMD，从而A，B，C，D四点共圆.
　　类似地，对于抛物线y2=2px或x2=2py（p≠0）也成立.
　　
　　共圆条件的应用
　　例 （2002年江苏卷）设A，B是双曲线x2－=1上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点.
　　（1）求直线AB的方程；
　　（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C，D两点，那么A，B，C，D四点是否共圆？为什么？
　　解：（1）AB的方程为y=x+1；
　　（2）由题意，CD的方程为y=－x+3，
　　解法一 （利用定理1）由y=x+1，x2－=1 得x2－2x－3=0，
　　所以x1=－1，x2=3，
　　即A（－1，0），B（3，4）.
　　由y=－x+3，x2－=1 得x2+6x－11=0，
　　所以x3=－3－2，x4=－3+2，即C（－3－2，6+2），D（－3+2，6－2）.
　　因为AB与CD的交点为N（1，2），所以·=（2，2）·（2，2）=8，?摇·=（4+2，－4－2）·（－4+2，4－2）=8.
　　于是·=·，从而即A，B，C，D四点共圆.
　　解法二（利用定理2）
　　因为kAB+kCD=0，所以AB，CD的倾斜角互补. 又A，B，C，D四点在双曲线x2－=1上，由定理2知，A，B，C，D四点共圆.