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数学知识的基本结构，是由知识之间内在的联系所联结而成的知识整体。复习的目的是梳理有关的概念、公式，沟通知识之间的内在联系，为解决数学问题提供良好的基础。如果在复习课中能“竖成线，横成片”地梳理出单元知识结构，就能促使学生掌握知识的内在本质联系，并以基本结构为指导，就能抓住教学过程的关键，举一反三，有效地说明这些联系，达到“以一当十”的教学目的。
知识除了要“竖成线，横成片”以外，更重要的是要有机地组成一个大系统，通过串线、连片、结网，通过分析、梳理，学生就形成了一个带有“立体”性质的知识结构，最终达到触类旁通的学习境界。笔者对此进行了尝试。
教学内容：
植树问题的整理与复习。
教学目标：
1. 进一步利用线段图理解间隔数与点数、总长、间距的关系。
2. 通过对比、分析、组题，使学生明晰直线上植树的18种基本类型。
3. 能将植树问题推广到生活中的其他问题中，学会通过画线段图来分析理解题意。
教学实录：
教学片断一：回忆知识，挈领要点
教师出示三个线段图：
师：根据这三个线段图，你能联想到植树问题的哪些知识？
生1：我想到了两端都种的情况，点数=间隔数＋1。
生2：我想到了只种一端的情况，点数=间隔数。
生3：我想到了两端都不种的情况，点数=间隔数－1。
生4：我想到了求棵数的三种植树情况：两端都种，棵数=总长÷间隔＋1；只种一端，棵数=总长÷间隔；两端都不种，棵数=总长÷间隔－1。
师：同学们真会动脑，从线段图中能马上与植树问题联系起来。那下面老师要进一步考考大家，行吗？
生：行。
1．师：“一条公路的一边等距植树，共种了81棵树”，你想到了什么？
生5：如果两端都种的话，81棵树中间有80个间隔。
生6：如果两端都不种的话，81棵树有82个间隔。
生7：如果只种一端的话，81棵树有81个间隔。
2．师：“一条公路的两边同时等距植树，共种了72棵树”，你又想到了什么？
生8：我想到了每边各种36棵树，如果两端都种的话，每边有36棵树，每边有35个间隔。
生9：我想到了如果两端都种的话，两边共有72－1×2=70（个）间隔；如果只种一端的话，每边有36棵树，每边有36个间隔。
生10：两端都不种，每边有36棵树，每边有37个间隔。
……
教学片断二：分类梳理，理清知网
（一）梳理两端都种的情况
1. 出示：一条公路的一边等距植树，两端都种。
（1）全长360米，共种了10棵树，每两棵树的间隔是几米？
（2）共种了10棵树，每两棵树间隔40米，这条公路全长是多少米？
（3）全长360米，每两棵树间隔40米，共需栽几棵树？
生1：我知道在两端都种的情况下，10棵树只有9个间隔，所以360÷（10－1）=40（米），每两棵树的间隔是40米。
生2：在两端都种的情况下，10棵树只有9个间隔，所以40×（10－1）=360（米），这条公路全长是360米。
生3：360米，每两棵树间隔40米长，那就有360÷40=9（个）间隔，两端都种的话，还要加上起始的那一棵，共有9＋1=10（棵）树。
2.出示：一条公路的两边等距植树，两端都种。
（1）全长360米，共种了10棵树，每两棵树的间隔是几米？
（2）共种了10棵树，每两棵间隔40米，这条公路全长多少米？
（3）全长360米，每两棵树间隔40米，共需栽几棵树？
生4：10棵树种两边，那每边种了10÷2=5（棵）树，两端都种每边有4个间隔，间隔长是360÷（5－1）=90（米）。
生5：要求每个间隔是多少米，还有一种方法。两边两端都种，那两边共有10―1×2=8（个）间隔，两边种的总长度是360米，所以每个间隔是360×2÷8 =90（米）。
生6：10棵树种两边，那每边种了10÷2=5（棵）树，两端都种每边有4个间隔，全长就是40×（5－1）=160（米）。
生7：要求这条公路全长多少米，我是这样想的：两边共有8个间隔，两边种的总长度是40×（10―1×2）=320（米），这条路全长是320÷2=160（米）。
生8：一边长360米，那每边种360÷40 1=10（棵）树，两边共种10×2=20（棵）树。
生9：两边共种树多少棵，也可以这样做：两边共长720米，720÷40=18（棵），再加上每边头上各加一棵，共种了18 2=20（棵）树。
（二）补充问题梳理只种一端情况
出示：1．一条公路的一边等距植树，只种一端。
（1）全长360米，共种了10棵树，_______________？
（2）全长360米，每两棵树间隔36米，_______________？
（3）共种了10棵树，每两棵树间隔36米，_______________？
师：你能提出问题并解答吗？
生10： 我补充的是第一问题“每两棵树的间隔是几米”，360÷10=36（米）。
生11：我补充的是第二个问题“共需栽几棵树 ”，360÷36=10（棵）。
生12：我补充的是第三个问题“这条公路全长多少米”，36×10=360（米）。
出示：2．一条公路的两边等距植树，只种一端。
（1）全长360米，共种了10棵树,_______________？
（2）全长360米，每两棵树间隔72米，_______________？
（3）共种了10棵树，每两棵树间隔72米，_______________？
生13：我补充的是第一个问题“每两棵树的间隔是几米”，（1）每边种5棵，360÷（10÷2）=72（米）；（2）两边总长是720米，360×2÷10=72（米）。
生14：我补充的是第二个问题“共需要栽几棵树”，（1）每边种5棵，360÷72×2=10（棵）；（2）两边总长是720米，360×2÷72=10（棵）。
生15：我补充的是第三个问题“这条公路全长多少米”，（1）每边种5棵，72×（10÷2）=360（米）；（2）两边共有10个间隔，72×10÷2=360（米）。
（三）选择条件组题，梳理两端都不种的情况
1．出示以下条件：①一条公路的一边等距植树，两端都不栽。②一条公路的两边等距植树，两端都不栽。③全长660米。④共种了10棵树。⑤每两棵树之间的距离是60米。
师：你能任意选择其中几个条件，并提出一个数学问题自己解答吗？
2．学生选择条件组题解答。
3．反馈交流。
生16：我选择①③④，问题是“每两棵树的间隔是几米”，660÷（10＋1）=60（米）。
生17：我选择①③⑤，问题是“共需栽几棵树”，660÷60－1=10（棵）。
生18：我选择①④⑤，问题是“这条路全长多少米”，（10＋1）×60=660（米）。
……
案例透视：
如何使我们的复习课形成一个带有“立体”性质的知识结构，最终达到触类旁通的学习境界？我想，必须去思考这样一些问题：知识如何 “竖成线，横成片”？怎样通过串线、连片、结网，使知识活化？实践中我们发现，要使纵横交错真正成为平面走向立体的“离合器”，还必须把握好以下几点。
1．纵向联系形成知识链
数学知识有着严密的逻辑结构，将所要复习的知识内容纵向联系，就可形成一定规模的“知识链”，这样每一个知识点就很容易地在这条“知识链”上找到自己合适的位置。案例中从“点”到“线”，由“线”及“面”， 凭“面”构“体”。“点”——利用线段图作为引入理清点数与间隔数之间的关系。“线”—— 条件联想，进一步理清点数与间隔数的关系，为梳理18种基本类型做好铺垫。“面”分三个层面：一是直接呈现问题梳理两端都种的情况；二是学生提问解答梳理只种一端情况；三是学生选择条件组题，梳理两端都不种的情况。“体”——由三个层面编织成植树问题的18种类型，形成一个解决问题的复习课的完整体系。
2．横向联结形成知识面
有些数学概念非常相似，彼此之间往往存在着共通的因素，却不尽相同，对这些知识进行横向比较，有利于它们之间的分化，从而形成新的更高层次的知识结构。案例中，植树问题的两边都种、只种一端和两端都不种三大类并列情况，每一类都衍生出求全长、求间隔、求棵数的内容，并在解题过程中出现了多种解题方法，学生不再是机械的模仿者，而是主动的探索者。学生在梳理解答过程中沟通了知识间的内在联系，而且能对不同解法进行比较，从中选择最适合自己的解法，在体验、实践中感受最佳解法。
对同一个问题，由于学生的认知水平和思考角度的不同，常常会出现一些不同的解题方法，这正是学生具有不同个性的具体表现。在解答过程中，不同的方法对同一个人也许有快慢之说，但对不同的人却不存在优劣之分。因此，我们在复习课的设计上要寻求知识的联结点，并及时引领学生在“立体”中活化知识、拓宽视野、提升整体素质，尽可能做到“恰到好处”，这是我们的重要策略。
（责编黄桂坚）
知识除了要“竖成线，横成片”以外，更重要的是要有机地组成一个大系统，通过串线、连片、结网，通过分析、梳理，学生就形成了一个带有“立体”性质的知识结构，最终达到触类旁通的学习境界。笔者对此进行了尝试。
教学内容：
植树问题的整理与复习。
教学目标：
1. 进一步利用线段图理解间隔数与点数、总长、间距的关系。
2. 通过对比、分析、组题，使学生明晰直线上植树的18种基本类型。
3. 能将植树问题推广到生活中的其他问题中，学会通过画线段图来分析理解题意。
教学实录：
教学片断一：回忆知识，挈领要点
教师出示三个线段图：
师：根据这三个线段图，你能联想到植树问题的哪些知识？
生1：我想到了两端都种的情况，点数=间隔数＋1。
生2：我想到了只种一端的情况，点数=间隔数。
生3：我想到了两端都不种的情况，点数=间隔数－1。
生4：我想到了求棵数的三种植树情况：两端都种，棵数=总长÷间隔＋1；只种一端，棵数=总长÷间隔；两端都不种，棵数=总长÷间隔－1。
师：同学们真会动脑，从线段图中能马上与植树问题联系起来。那下面老师要进一步考考大家，行吗？
生：行。
1．师：“一条公路的一边等距植树，共种了81棵树”，你想到了什么？
生5：如果两端都种的话，81棵树中间有80个间隔。
生6：如果两端都不种的话，81棵树有82个间隔。
生7：如果只种一端的话，81棵树有81个间隔。
2．师：“一条公路的两边同时等距植树，共种了72棵树”，你又想到了什么？
生8：我想到了每边各种36棵树，如果两端都种的话，每边有36棵树，每边有35个间隔。
生9：我想到了如果两端都种的话，两边共有72－1×2=70（个）间隔；如果只种一端的话，每边有36棵树，每边有36个间隔。
生10：两端都不种，每边有36棵树，每边有37个间隔。
……
教学片断二：分类梳理，理清知网
（一）梳理两端都种的情况
1. 出示：一条公路的一边等距植树，两端都种。
（1）全长360米，共种了10棵树，每两棵树的间隔是几米？
（2）共种了10棵树，每两棵树间隔40米，这条公路全长是多少米？
（3）全长360米，每两棵树间隔40米，共需栽几棵树？
生1：我知道在两端都种的情况下，10棵树只有9个间隔，所以360÷（10－1）=40（米），每两棵树的间隔是40米。
生2：在两端都种的情况下，10棵树只有9个间隔，所以40×（10－1）=360（米），这条公路全长是360米。
生3：360米，每两棵树间隔40米长，那就有360÷40=9（个）间隔，两端都种的话，还要加上起始的那一棵，共有9＋1=10（棵）树。
2.出示：一条公路的两边等距植树，两端都种。
（1）全长360米，共种了10棵树，每两棵树的间隔是几米？
（2）共种了10棵树，每两棵间隔40米，这条公路全长多少米？
（3）全长360米，每两棵树间隔40米，共需栽几棵树？
生4：10棵树种两边，那每边种了10÷2=5（棵）树，两端都种每边有4个间隔，间隔长是360÷（5－1）=90（米）。
生5：要求每个间隔是多少米，还有一种方法。两边两端都种，那两边共有10―1×2=8（个）间隔，两边种的总长度是360米，所以每个间隔是360×2÷8 =90（米）。
生6：10棵树种两边，那每边种了10÷2=5（棵）树，两端都种每边有4个间隔，全长就是40×（5－1）=160（米）。
生7：要求这条公路全长多少米，我是这样想的：两边共有8个间隔，两边种的总长度是40×（10―1×2）=320（米），这条路全长是320÷2=160（米）。
生8：一边长360米，那每边种360÷40 1=10（棵）树，两边共种10×2=20（棵）树。
生9：两边共种树多少棵，也可以这样做：两边共长720米，720÷40=18（棵），再加上每边头上各加一棵，共种了18 2=20（棵）树。
（二）补充问题梳理只种一端情况
出示：1．一条公路的一边等距植树，只种一端。
（1）全长360米，共种了10棵树，_______________？
（2）全长360米，每两棵树间隔36米，_______________？
（3）共种了10棵树，每两棵树间隔36米，_______________？
师：你能提出问题并解答吗？
生10： 我补充的是第一问题“每两棵树的间隔是几米”，360÷10=36（米）。
生11：我补充的是第二个问题“共需栽几棵树 ”，360÷36=10（棵）。
生12：我补充的是第三个问题“这条公路全长多少米”，36×10=360（米）。
出示：2．一条公路的两边等距植树，只种一端。
（1）全长360米，共种了10棵树,_______________？
（2）全长360米，每两棵树间隔72米，_______________？
（3）共种了10棵树，每两棵树间隔72米，_______________？
生13：我补充的是第一个问题“每两棵树的间隔是几米”，（1）每边种5棵，360÷（10÷2）=72（米）；（2）两边总长是720米，360×2÷10=72（米）。
生14：我补充的是第二个问题“共需要栽几棵树”，（1）每边种5棵，360÷72×2=10（棵）；（2）两边总长是720米，360×2÷72=10（棵）。
生15：我补充的是第三个问题“这条公路全长多少米”，（1）每边种5棵，72×（10÷2）=360（米）；（2）两边共有10个间隔，72×10÷2=360（米）。
（三）选择条件组题，梳理两端都不种的情况
1．出示以下条件：①一条公路的一边等距植树，两端都不栽。②一条公路的两边等距植树，两端都不栽。③全长660米。④共种了10棵树。⑤每两棵树之间的距离是60米。
师：你能任意选择其中几个条件，并提出一个数学问题自己解答吗？
2．学生选择条件组题解答。
3．反馈交流。
生16：我选择①③④，问题是“每两棵树的间隔是几米”，660÷（10＋1）=60（米）。
生17：我选择①③⑤，问题是“共需栽几棵树”，660÷60－1=10（棵）。
生18：我选择①④⑤，问题是“这条路全长多少米”，（10＋1）×60=660（米）。
……
案例透视：
如何使我们的复习课形成一个带有“立体”性质的知识结构，最终达到触类旁通的学习境界？我想，必须去思考这样一些问题：知识如何 “竖成线，横成片”？怎样通过串线、连片、结网，使知识活化？实践中我们发现，要使纵横交错真正成为平面走向立体的“离合器”，还必须把握好以下几点。
1．纵向联系形成知识链
数学知识有着严密的逻辑结构，将所要复习的知识内容纵向联系，就可形成一定规模的“知识链”，这样每一个知识点就很容易地在这条“知识链”上找到自己合适的位置。案例中从“点”到“线”，由“线”及“面”， 凭“面”构“体”。“点”——利用线段图作为引入理清点数与间隔数之间的关系。“线”—— 条件联想，进一步理清点数与间隔数的关系，为梳理18种基本类型做好铺垫。“面”分三个层面：一是直接呈现问题梳理两端都种的情况；二是学生提问解答梳理只种一端情况；三是学生选择条件组题，梳理两端都不种的情况。“体”——由三个层面编织成植树问题的18种类型，形成一个解决问题的复习课的完整体系。
2．横向联结形成知识面
有些数学概念非常相似，彼此之间往往存在着共通的因素，却不尽相同，对这些知识进行横向比较，有利于它们之间的分化，从而形成新的更高层次的知识结构。案例中，植树问题的两边都种、只种一端和两端都不种三大类并列情况，每一类都衍生出求全长、求间隔、求棵数的内容，并在解题过程中出现了多种解题方法，学生不再是机械的模仿者，而是主动的探索者。学生在梳理解答过程中沟通了知识间的内在联系，而且能对不同解法进行比较，从中选择最适合自己的解法，在体验、实践中感受最佳解法。
对同一个问题，由于学生的认知水平和思考角度的不同，常常会出现一些不同的解题方法，这正是学生具有不同个性的具体表现。在解答过程中，不同的方法对同一个人也许有快慢之说，但对不同的人却不存在优劣之分。因此，我们在复习课的设计上要寻求知识的联结点，并及时引领学生在“立体”中活化知识、拓宽视野、提升整体素质，尽可能做到“恰到好处”，这是我们的重要策略。
（责编黄桂坚）