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中考中经常会涉及“平面图形的认识（一）”中的问题，这些问题难度不大，我们只有掌握好基本知识，就能迅速准确解决.
一、 有关“角”的问题
例1 （2013·江苏淮安）如图1，三角板的直角顶点在直线l上，若∠1=40°，则∠2的度数是______.
【分析】 由三角板的直角顶点在直线l上，根据平角的定义可知∠1与∠2互余，又∠1=40°，即可求得∠2的度数.
【解答】 如图，三角板的直角顶点在直线l上，则∠1 ∠2=180°-90°=90°.
∵∠1=40°，∴∠2=50°.
故答案为50°.
【点评】 本题只要理解平角、互余的定义即可解决问题，是基础题，熟记互为余角的两个角的和等于90°是解题的关键.
例2 （2013·浙江湖州）把15°30′化成度的形式，则15°30′=____度.
【分析】 15°30′=15° （30÷60）°=15.5°，故填15.5.
【点评】 本题考查了角的单位：度、分、秒的换算. 由高级单位变成低级单位乘进率，由低级单位变成高级单位除以进率.
例3 （2014·福建泉州）如图2，直线AB与CD相交于点O，∠AOD=50°，则∠BOC=______°.
【分析】 根据对顶角相等，可得答案.
【解答】 ∵∠BOC与∠AOD是对顶角，∴∠BOC=∠AOD=50°，故答案为50.
【点评】 本题考查了对顶角与邻补角，对顶角相等是解题关键.
例4 如图3，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD的度数为（ ）.
A. 50° B. 60° C. 65° D. 70°
【分析】 先根据OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，∠AOB=40°，∠COE=60°，求出∠BOC与∠COD的度数，再根据∠BOD=∠BOC ∠COD即可得出结论.
【解答】 ∵ OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，∠AOB=40°，∠COE=60°，
∴∠BOC=∠AOB=40°，∠COD=∠COE=×60°=30°，
∴∠BOD=∠BOC ∠COD=40° 30°=70°.
故选D.
【点评】 本题考查的是角的计算，熟知角平分线的定义是解答此题的关键.
二、 有关“线”的问题
例5 （2013·湖北武汉）两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直线最多有6个交点，…，那么六条直线最多有（ ）.
A. 21个交点 B. 18个交点
C. 15个交点 D. 10个交点
【分析】 两条直线的最多交点数为：×1×2=1，
三条直线的最多交点数为：×2×3=3，
四条直线的最多交点数为：×3×4=6，
所以，六条直线的最多交点数为：×5×6=15.
【解答】 C.
【点评】 本题属于找规律的问题，它建立在直线与直线的交点的个数变化之上，我们应该从特殊情形考虑，进而总结归纳出规律.
例6 （2014·山东济宁）把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程. 用几何知识解释其道理正确的是（ ）.
A. 两点确定一条直线
B. 垂线段最短
C. 两点之间线段最短
D. 三角形两边之和大于第三边
【分析】 此题为数学知识的应用，由题意把一条弯曲的公路改成直道，肯定要尽量缩短两地之间的路程，这就用到两点间线段最短定理.
【解答】 要想缩短两地之间的路程，就尽量使两地在一条直线上，因为两点间线段最短. 故选C.
【点评】 本题考查了线段的性质，牢记线段的性质是解题关键.
三、 综合型问题
例7 如图4，已知∠AOB是直角，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC.
（1） 若∠BOC=60°，求∠EOF的度数；
（2） 若∠AOC=x°（x>90），此时能否求出∠EOF的大小？若能，请求出它的数值；若不能，请用含x的代数式来表示.
【分析】 解决本题首先要抓住∠EOF=∠COE-∠COF，对于第（1）问，直接求出∠COE、∠COF这两个角即可，而第（2）问，则要设∠AOC=x°，然后用x表示出∠COE、∠COF这两个角即可.
【解答】（1） 因为∠AOB=90°，∠BOC=60°，所以∠AOC=150°.
又因为OE平分∠AOC，所以∠COE=75°.
又OF平分∠BOC，所以∠COF=30°.
所以∠EOF=∠COE-∠COF=45°.
（2） 因为∠AOC=x°（x>90），且OE平分∠AOC，
所以∠COE=
°.
又因为∠AOB=90°，所以∠BOC=（x-90）°.
又因为OF平分∠BOC，所以∠COF=
°.
所以∠EOF=∠COE-∠COF=
°-
°=45°.
【点评】 紧紧抓住角的和差表示，结合角平分线的定义，运用从特殊到一般的思想方法，问题则会化难为易.
例8 如图5，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上在A点左边的一点，且AB=14. 动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t>0）秒. （1） 写出数轴上点B表示的数______；点P表示的数_____（用含t的代数式表示）；
（2） 动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？
（3） 若M为AP的中点，N为PB的中点， 点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长.
【分析】 （1） 根据已知可得B点表示的数为8-14；点P表示的数为8-5t；
（2） 点P运动x秒时，在点C处追上点Q，则AC=5x，BC=3x，根据AC-BC=AB，列出方程求解即可；
（3） 分①当点P在A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差求出MN的长即可.
【解答】 （1） ∵ 点A表示的数为8，B在A点左边，AB=14，
∴ 点B表示的数是8-14=-6，
∵ 动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t>0）秒，
∴ 点P表示的数是8-5t.
故答案为：-6，8-5t.
（2） 设点P运动x秒时，在点C处追上点Q，则AC=5x，BC=3x，
∵ AC-BC=AB，
∴ 5x-3x=14，解得：x=7，
∴ 点P运动7秒时追上点Q.
（3） 线段MN的长度不发生变化，都等于7，理由如下：
∵ ① 当点P在A、B两点之间运动时：
MN=MP NP=（AP BP）=AB=7；
② 当点P运动到点B的左侧时：
MN=MP-NP=（AP-BP）=AB=7.
【点评】 本题属于一道综合题，不仅用到了线段的知识，还结合了数轴、方程、两点之间的距离等相关知识，同时还运用了初中阶段经常遇到的一种数学思想方法——分类讨论.
（作者单位：江苏省盐城市初级中学）俊元
一、 有关“角”的问题
例1 （2013·江苏淮安）如图1，三角板的直角顶点在直线l上，若∠1=40°，则∠2的度数是______.
【分析】 由三角板的直角顶点在直线l上，根据平角的定义可知∠1与∠2互余，又∠1=40°，即可求得∠2的度数.
【解答】 如图，三角板的直角顶点在直线l上，则∠1 ∠2=180°-90°=90°.
∵∠1=40°，∴∠2=50°.
故答案为50°.
【点评】 本题只要理解平角、互余的定义即可解决问题，是基础题，熟记互为余角的两个角的和等于90°是解题的关键.
例2 （2013·浙江湖州）把15°30′化成度的形式，则15°30′=____度.
【分析】 15°30′=15° （30÷60）°=15.5°，故填15.5.
【点评】 本题考查了角的单位：度、分、秒的换算. 由高级单位变成低级单位乘进率，由低级单位变成高级单位除以进率.
例3 （2014·福建泉州）如图2，直线AB与CD相交于点O，∠AOD=50°，则∠BOC=______°.
【分析】 根据对顶角相等，可得答案.
【解答】 ∵∠BOC与∠AOD是对顶角，∴∠BOC=∠AOD=50°，故答案为50.
【点评】 本题考查了对顶角与邻补角，对顶角相等是解题关键.
例4 如图3，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD的度数为（ ）.
A. 50° B. 60° C. 65° D. 70°
【分析】 先根据OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，∠AOB=40°，∠COE=60°，求出∠BOC与∠COD的度数，再根据∠BOD=∠BOC ∠COD即可得出结论.
【解答】 ∵ OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，∠AOB=40°，∠COE=60°，
∴∠BOC=∠AOB=40°，∠COD=∠COE=×60°=30°，
∴∠BOD=∠BOC ∠COD=40° 30°=70°.
故选D.
【点评】 本题考查的是角的计算，熟知角平分线的定义是解答此题的关键.
二、 有关“线”的问题
例5 （2013·湖北武汉）两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直线最多有6个交点，…，那么六条直线最多有（ ）.
A. 21个交点 B. 18个交点
C. 15个交点 D. 10个交点
【分析】 两条直线的最多交点数为：×1×2=1，
三条直线的最多交点数为：×2×3=3，
四条直线的最多交点数为：×3×4=6，
所以，六条直线的最多交点数为：×5×6=15.
【解答】 C.
【点评】 本题属于找规律的问题，它建立在直线与直线的交点的个数变化之上，我们应该从特殊情形考虑，进而总结归纳出规律.
例6 （2014·山东济宁）把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程. 用几何知识解释其道理正确的是（ ）.
A. 两点确定一条直线
B. 垂线段最短
C. 两点之间线段最短
D. 三角形两边之和大于第三边
【分析】 此题为数学知识的应用，由题意把一条弯曲的公路改成直道，肯定要尽量缩短两地之间的路程，这就用到两点间线段最短定理.
【解答】 要想缩短两地之间的路程，就尽量使两地在一条直线上，因为两点间线段最短. 故选C.
【点评】 本题考查了线段的性质，牢记线段的性质是解题关键.
三、 综合型问题
例7 如图4，已知∠AOB是直角，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC.
（1） 若∠BOC=60°，求∠EOF的度数；
（2） 若∠AOC=x°（x>90），此时能否求出∠EOF的大小？若能，请求出它的数值；若不能，请用含x的代数式来表示.
【分析】 解决本题首先要抓住∠EOF=∠COE-∠COF，对于第（1）问，直接求出∠COE、∠COF这两个角即可，而第（2）问，则要设∠AOC=x°，然后用x表示出∠COE、∠COF这两个角即可.
【解答】（1） 因为∠AOB=90°，∠BOC=60°，所以∠AOC=150°.
又因为OE平分∠AOC，所以∠COE=75°.
又OF平分∠BOC，所以∠COF=30°.
所以∠EOF=∠COE-∠COF=45°.
（2） 因为∠AOC=x°（x>90），且OE平分∠AOC，
所以∠COE=
°.
又因为∠AOB=90°，所以∠BOC=（x-90）°.
又因为OF平分∠BOC，所以∠COF=
°.
所以∠EOF=∠COE-∠COF=
°-
°=45°.
【点评】 紧紧抓住角的和差表示，结合角平分线的定义，运用从特殊到一般的思想方法，问题则会化难为易.
例8 如图5，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上在A点左边的一点，且AB=14. 动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t>0）秒. （1） 写出数轴上点B表示的数______；点P表示的数_____（用含t的代数式表示）；
（2） 动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？
（3） 若M为AP的中点，N为PB的中点， 点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长.
【分析】 （1） 根据已知可得B点表示的数为8-14；点P表示的数为8-5t；
（2） 点P运动x秒时，在点C处追上点Q，则AC=5x，BC=3x，根据AC-BC=AB，列出方程求解即可；
（3） 分①当点P在A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差求出MN的长即可.
【解答】 （1） ∵ 点A表示的数为8，B在A点左边，AB=14，
∴ 点B表示的数是8-14=-6，
∵ 动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t>0）秒，
∴ 点P表示的数是8-5t.
故答案为：-6，8-5t.
（2） 设点P运动x秒时，在点C处追上点Q，则AC=5x，BC=3x，
∵ AC-BC=AB，
∴ 5x-3x=14，解得：x=7，
∴ 点P运动7秒时追上点Q.
（3） 线段MN的长度不发生变化，都等于7，理由如下：
∵ ① 当点P在A、B两点之间运动时：
MN=MP NP=（AP BP）=AB=7；
② 当点P运动到点B的左侧时：
MN=MP-NP=（AP-BP）=AB=7.
【点评】 本题属于一道综合题，不仅用到了线段的知识，还结合了数轴、方程、两点之间的距离等相关知识，同时还运用了初中阶段经常遇到的一种数学思想方法——分类讨论.
（作者单位：江苏省盐城市初级中学）俊元