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【摘 要】物理问题的解决不仅需要敏锐的直觉，也需要严密的推理，只有两者能够在思维过程中实现顺利切换，协同演进，才能促进物理问题的有效解决。在课堂变式教学中，研究者以2016年高考物理全国Ⅲ卷一道力学平衡题的变式教学为例，探讨学生在解决问题时物理思维和数学思维切换受阻的问题，对教学案例和根源进行分析，并提出问题的解决方案。
【关键词】物理问题；直觉思维；推理思维；变式教学
【基金项目】江西省教研室省级课题“基于核心素养理念下的高中物理SK试卷分析技术与摘错本技术综合运用研究”（FZWL2016-001）；江西省电教馆省级课题“运用教学一体机优化中学物理课堂教学研究”（2017-W-1-499）
【作者简介】刘大明，中学一级教师，主要研究方向为课程与教学论，学科能力开发与发展；江秀梅，中学一级教师，主要研究方向为课程与教学论。一、物理问题解决中的直觉与推理
物理问题的解决不仅依赖于对问题的整体感知和敏锐的直觉，还依赖于对问题的细致论证和严密的推理。因此，解决物理问题需要运用物理思维和数学思维。
1物理思维与数学思维之辩
物理思维和数学思维是什么？很多人可能会一头雾水，说不出个所以然来。如果再要问物理思维与数学思维有什么异同，有人或许会说它们之间有很多相同之处，当然也存在不同之处。但是，相同之处是什么，不同之处是什么，很多人还是说不清楚。我们经常会听到“数理不分家”的说法。数学思维与物理思维有众多相通之处，但是又存在差异。本文未能给物理思维和数学思维下严格定义，也未能详尽论证两者的异同。笔者仅结合自身的学习和教学经验给出假设：物理思维和数学思维同属于自然科学思维范畴，本质上没有区别，只是侧重点不同。物理思维侧重对物理现象的整体观察、感知，并在這个基础上做出语言文字方面的抽象描述，再转化为抽象的符号描述，即数学模型，然后又由此演绎、推导出新的数学模型反照或预测新的物理现象；而数学思维侧重数学符号的演绎、运算，即对数学模型的深度研究，注重对符号运算中方法、法则的研究。不管是物理学科，还是数学学科，只要是从学科发展角度而言，两个侧重点不存在孰轻孰重之别，相反，更多地体现了相互促进、相互制约的特点。
2对物理思维与数学思维感知及其影响
对物理现象观察后的总结、归纳、抽象、描述，需要借助“理想化”方法。所谓“理想化”，就是突出某些属性而忽略其他属性，被忽略的属性一般对所研究问题的影响很小或者无影响。例如物体有大小、形状、温度、质量、体积，还有吸热、放热、通电后有电流和电压等属性。突出质量、体积两个属性，忽视其他属性，就得出了密度这一固有属性及相关定理；突出温度、质量、吸热和放热属性，则得出比热容这一固有属性及其相关规律；突出电流、电压两个属性，得出电阻这一重要属性；关注大小、形状属性，得出电阻定律。由此可见，“理想化”方法对物理规律探究的必要性。另外，在“理想化”的过程中，我们会采用近似处理，例如探究自由落体规律时，忽略空气阻力的作用，进而得出“轻重物体同时落地”的结论。这种忽视或近似处理给人一种感觉：物理研究失去了事物的（部分）客观性，所得结论对解决实际问题没有多大作用。显然，这样的认识是错误的，但不少人仍会产生这种错觉，而且物理问题解决的推理过程给人一种“不严密”之感，对进一步的逻辑演绎、结论判断容易产生潜在的“心理障碍”[1]。
数学是符号模式化学科，研究的是数学模型的符号演绎、推导。在演绎推导中，不需要近似处理，整个过程都是严密的，绝对“精确”。目前，中小学生接触的数学都是“精确数学”，数学推理、推导、归纳都是绝对严密的，这种严密的思维特点给学生留下了深刻的印象。
3物理问题解决之心理学成因分析
心理学中的知觉选择性——图形/背景理论指出，知觉是客观物体的整体在人脑中的反映，知觉受个人知识经验的影响很大。根据自己的经验需要，把一部分物体属性当作知觉对象——图形，这部分知觉格外清晰，而把其他对象当作背景，这部分知觉就比较模糊。问题的解决正是在这种图形/背景的选择与转换过程中协同完成的。由于我国中小学课程安排的客观性原因，数学思维多是图形，物理思维多是背景。物理问题的解决不仅需要严密的推理，也需要敏锐的直觉，但不少学生未能顺利完成两者的切换，特别是数学思维切换到物理思维的通道容易被堵塞，最终阻碍了物理问题的解决。
下面，笔者以2016年高考物理全国Ⅲ卷一道力学平衡试题的变式教学为例，探讨学生在解决问题时物理思维和数学思维切换受阻的问题。
二、变式教学过程回眸与反思
根据教学进度安排，在高二第二学期末，学生即进入高考第一轮复习。当年高考结束时，高二学生已经复习到力学平衡知识点，于是笔者借助2016年高考物理全国Ⅲ卷力学平衡试题开展专题复习和变式教学。
1高考题启动练习教学
母题（2016年高考物理全国Ⅲ卷第4题）如图1，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上：一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球。在a和b之间的细线上悬挂一小物块。平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径。不计所有摩擦。小物块的质量为（ ）。
Am2 B32m Cm D2m
解析：由直觉思维可知，a、b两环及细绳关于竖直直径对称。如图2，设圆弧的圆心为O，因为a、b间的距离恰好等于圆弧的半径，所以△Oab是等边三角形。根据轻绳特点，绳上张力处处大小相等，且等于mg。对a环或b环受力分析，不难得出半径Oa、Ob为对应角的角平分线。设小物块悬挂点为O1（由对称性可知，其在竖直直径上），由几何关系不难得出∠aO1b为120°，于是可知小物块质量也为m。
笔者在教学中发现，有一个班的学生在3分钟内完成试题并得出正确结论的为22人（全班共73人）。成功解题的A生展示分析过程时说：“ab一定是水平的。”B生反问：“为什么？”A生答：“整个情境都是关于竖直直径对称的。”B生又反问：“为什么？”A生面对B生的追问陷入“笑而沉思”之中。笔者随即做了调查统计，在解题中和B生有同样困惑的学生有40人；直接把ab作为同一高度处理的学生有33人；得出∠aO1b为120°的学生有22人，而他们正是成功解题的学生。 根据题意，本题解答的模式有两种。
①整体感知对称性（物理思维）→隔离a环或b环受力分析，得出有关结论（数学思维）→根据几何情境得出相关角度关系（倾向直觉思维的数学思维）→获得∠aO1b为120°（数学思维）→对悬挂点O1受力分析得到最终结论（倾向判断的物理思维）。
②怀疑a、b环等高（怀疑式物理思维）→不等高情况下对a环或b环受力分析得出两个环支持力大小和方向（数学思维）→整体受力分析得出系统不可能平衡结论（物理思维）→回到模式①。
在高度紧张的限时考试中，学生能用模式②成功解题是十分难得的。值得注意的是，两种成功的解题模式都依赖于物理思维和数学思维的频繁成功切换，并在流畅的思维切换中解决问题。
2变式教学
（1）初步变式
为了引出变式教学，教师引导学生进行了如下问答。
师：如果其他条件都不变，其中一个小球质量为2m，将会怎样？
生：不可能存在这种情况，因为质量为2m的小球一定会向自己这侧拉动绳子，直到另一小球被光滑环卡住为止。
师：左右小球质量不同时，能不能对绳子进行一定处理，以保证两小球和小物块于悬挂中保持平衡呢？
生：绳子拴着挂钩打一个死结就可以了。
变式题1 两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上，一细线穿过两轻环，其两端分别系有质量为m、2m的小球。在a和b之间的细线上拴结一小物块。平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径。不计所有摩擦。试求小物块的质量。
解析：如图3所示，设圆心为O，因为a、b间的距离恰好等于圆弧的半径，所以△Oab是等边三角形。根据轻绳特点，施于悬挂点O1的两张力大小分别等于mg、2mg；對a环或b环受力分析，不难得出两半径Oa、Ob为对应角的角平分线。由观察得∠OaO1+∠ObO1=∠aOb=∠baO1+∠abO1=60°，从而可知∠aO1b为120°。不难画出悬挂点O1的受力情况（如图4），于是小物块质量为3m。
做变式题1时，很多学生未能正确画出情境图，几乎所有的学生都把光滑环a置于环b之上。之所以这样，显然是受母题的影响——以母题为初始条件，右边小球质量增大，则要向右滑落。殊不知，如果是这样，之后整个对象都不能处于平衡状态。在教学中，笔者原以为有了母题的讲解，会有更多学生能顺利解答变式题，结果反差甚大。其根本原因是，条件变式后，并没有像母题一样给出符合题意的情境图，学生必须进行推理后自我生成情境图。这一情况说明，由数学思维向物理思维切换极易受阻。
（2）进一步变式
变式题2 一轻绳跨过两个等高的定滑轮（不计大小和摩擦），两端分别挂上质量为m1=4kg和m2=2kg的物体，如图5所示。在滑轮之间的一段绳上悬挂物体m，为使三个物体可能保持平衡，求m的取值范围。
解析：物体平衡时，对O点受力分析，建立方程得
T1cosθ1+T2cosθ2=mg，
①
T1sinθ1=T2sinθ2。
②
将T1=m1g，T2=m2g及有关数据代入①②，得
m=4cosθ1+21-4sin2θ1。
③
当θ1=0°时，m取得最大值，即mmax=6kg；当θ1=30°，m取得最小值，即mmin=23kg。
因为θ1=0°，θ1=30°时取不到m值，所以m的取值范围是23kg 当笔者问学生这道题的情境与变式题1的情境有什么不同时，很多学生疑惑不解地回答：“情境没有什么不同，但一个求的是定值，另一个求的是取值范围，是不是哪道题目有问题？”显然，这是物理思维受阻了。两个光滑环可以在圆弧上滑移，而两个定滑轮却固定不动，但依然有不少学生感觉不出有什么不同。笔者请学生C到讲台板演。C生板演到步骤③时无法往下解答。笔者问学生有什么问题时，C生回答：“在物理上θ1可取0°到90°的任意值；而在数学上θ1不能大于30°，不知道为什么？”显然，C生的数学思维向物理思维切换时受到了阻碍。
教师把C生的问题抛给全班同学，D生回答说：“θ2的取值范围是0°到90°，那么θ1只能取0°到30°。”实际上，在得到m和θ1的关系后，学生进入物理思维和数学思维切换的十字路口，因左右为难而陷入困局之中。如果数学思维和物理思维能够快捷切换，变式题2完全可以在①②式基础上直接进行讨论，即当θ1=θ2=0°时，m取得最大值；当θ1=30°时，θ2=90°，m取得最小值。
三、教学启示
物理问题的解决需要数学思维和物理思维有序、快捷、顺利地切换，但是这种切换极易受阻，从而导致问题无法解决。如何避免在解决问题时物理思维和数学思维切换受阻？笔者认为，应从以下几方面加强教学。
第一，物理教学应重视实验教学。教师在教学中不仅仅是完成教材或考试大纲中要求的实验，还要重视一些小实验，以弥补学生物理情境体验的不足，从而增强学生物理思维，培养物理直觉。例如，未打结的柔软光滑轻绳贯穿或跨绕物体时，绳两端受力不等，因此容易滑移；而打了结（结上再拴上物体）的轻绳，就发生了“奇迹”性变化。教师只有指导学生亲手实验，才能使学生从真正意义上理解轻绳和“绳结”模型。
第二，重视物理问题的数学建模教学。很多学生面对原始问题，甚至对未给出确切物理量的“加工”试题一筹莫展。这实际上也说明学生的物理思维向数学思维的切换受阻。因此，在物理教学中，教师应适当增加原始问题的深度教学，提升学生由物理思维向数学思维成功切换的水平。
第三，重视运用数学方法解决物理问题的教学，特别是要重视对数学运算结果所隐含的实际物理意义的探讨。在实际教学中，特别是练习课上，有的教师在计算出练习题的结果后就停止了教学，师生容易忽视对数学运算结果做进一步探讨，这也是导致数学思维向物理思维切换困难的原因之一。
参考文献：
[1]刘大明，江秀梅.“多方建模”突破物理模型思维障碍：以理想气体压强微观表达式的探究教学为例[J].教学月刊（中学版），2018（1/2）：2226.
【关键词】物理问题；直觉思维；推理思维；变式教学
【基金项目】江西省教研室省级课题“基于核心素养理念下的高中物理SK试卷分析技术与摘错本技术综合运用研究”（FZWL2016-001）；江西省电教馆省级课题“运用教学一体机优化中学物理课堂教学研究”（2017-W-1-499）
【作者简介】刘大明，中学一级教师，主要研究方向为课程与教学论，学科能力开发与发展；江秀梅，中学一级教师，主要研究方向为课程与教学论。一、物理问题解决中的直觉与推理
物理问题的解决不仅依赖于对问题的整体感知和敏锐的直觉，还依赖于对问题的细致论证和严密的推理。因此，解决物理问题需要运用物理思维和数学思维。
1物理思维与数学思维之辩
物理思维和数学思维是什么？很多人可能会一头雾水，说不出个所以然来。如果再要问物理思维与数学思维有什么异同，有人或许会说它们之间有很多相同之处，当然也存在不同之处。但是，相同之处是什么，不同之处是什么，很多人还是说不清楚。我们经常会听到“数理不分家”的说法。数学思维与物理思维有众多相通之处，但是又存在差异。本文未能给物理思维和数学思维下严格定义，也未能详尽论证两者的异同。笔者仅结合自身的学习和教学经验给出假设：物理思维和数学思维同属于自然科学思维范畴，本质上没有区别，只是侧重点不同。物理思维侧重对物理现象的整体观察、感知，并在這个基础上做出语言文字方面的抽象描述，再转化为抽象的符号描述，即数学模型，然后又由此演绎、推导出新的数学模型反照或预测新的物理现象；而数学思维侧重数学符号的演绎、运算，即对数学模型的深度研究，注重对符号运算中方法、法则的研究。不管是物理学科，还是数学学科，只要是从学科发展角度而言，两个侧重点不存在孰轻孰重之别，相反，更多地体现了相互促进、相互制约的特点。
2对物理思维与数学思维感知及其影响
对物理现象观察后的总结、归纳、抽象、描述，需要借助“理想化”方法。所谓“理想化”，就是突出某些属性而忽略其他属性，被忽略的属性一般对所研究问题的影响很小或者无影响。例如物体有大小、形状、温度、质量、体积，还有吸热、放热、通电后有电流和电压等属性。突出质量、体积两个属性，忽视其他属性，就得出了密度这一固有属性及相关定理；突出温度、质量、吸热和放热属性，则得出比热容这一固有属性及其相关规律；突出电流、电压两个属性，得出电阻这一重要属性；关注大小、形状属性，得出电阻定律。由此可见，“理想化”方法对物理规律探究的必要性。另外，在“理想化”的过程中，我们会采用近似处理，例如探究自由落体规律时，忽略空气阻力的作用，进而得出“轻重物体同时落地”的结论。这种忽视或近似处理给人一种感觉：物理研究失去了事物的（部分）客观性，所得结论对解决实际问题没有多大作用。显然，这样的认识是错误的，但不少人仍会产生这种错觉，而且物理问题解决的推理过程给人一种“不严密”之感，对进一步的逻辑演绎、结论判断容易产生潜在的“心理障碍”[1]。
数学是符号模式化学科，研究的是数学模型的符号演绎、推导。在演绎推导中，不需要近似处理，整个过程都是严密的，绝对“精确”。目前，中小学生接触的数学都是“精确数学”，数学推理、推导、归纳都是绝对严密的，这种严密的思维特点给学生留下了深刻的印象。
3物理问题解决之心理学成因分析
心理学中的知觉选择性——图形/背景理论指出，知觉是客观物体的整体在人脑中的反映，知觉受个人知识经验的影响很大。根据自己的经验需要，把一部分物体属性当作知觉对象——图形，这部分知觉格外清晰，而把其他对象当作背景，这部分知觉就比较模糊。问题的解决正是在这种图形/背景的选择与转换过程中协同完成的。由于我国中小学课程安排的客观性原因，数学思维多是图形，物理思维多是背景。物理问题的解决不仅需要严密的推理，也需要敏锐的直觉，但不少学生未能顺利完成两者的切换，特别是数学思维切换到物理思维的通道容易被堵塞，最终阻碍了物理问题的解决。
下面，笔者以2016年高考物理全国Ⅲ卷一道力学平衡试题的变式教学为例，探讨学生在解决问题时物理思维和数学思维切换受阻的问题。
二、变式教学过程回眸与反思
根据教学进度安排，在高二第二学期末，学生即进入高考第一轮复习。当年高考结束时，高二学生已经复习到力学平衡知识点，于是笔者借助2016年高考物理全国Ⅲ卷力学平衡试题开展专题复习和变式教学。
1高考题启动练习教学
母题（2016年高考物理全国Ⅲ卷第4题）如图1，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上：一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球。在a和b之间的细线上悬挂一小物块。平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径。不计所有摩擦。小物块的质量为（ ）。
Am2 B32m Cm D2m
解析：由直觉思维可知，a、b两环及细绳关于竖直直径对称。如图2，设圆弧的圆心为O，因为a、b间的距离恰好等于圆弧的半径，所以△Oab是等边三角形。根据轻绳特点，绳上张力处处大小相等，且等于mg。对a环或b环受力分析，不难得出半径Oa、Ob为对应角的角平分线。设小物块悬挂点为O1（由对称性可知，其在竖直直径上），由几何关系不难得出∠aO1b为120°，于是可知小物块质量也为m。
笔者在教学中发现，有一个班的学生在3分钟内完成试题并得出正确结论的为22人（全班共73人）。成功解题的A生展示分析过程时说：“ab一定是水平的。”B生反问：“为什么？”A生答：“整个情境都是关于竖直直径对称的。”B生又反问：“为什么？”A生面对B生的追问陷入“笑而沉思”之中。笔者随即做了调查统计，在解题中和B生有同样困惑的学生有40人；直接把ab作为同一高度处理的学生有33人；得出∠aO1b为120°的学生有22人，而他们正是成功解题的学生。 根据题意，本题解答的模式有两种。
①整体感知对称性（物理思维）→隔离a环或b环受力分析，得出有关结论（数学思维）→根据几何情境得出相关角度关系（倾向直觉思维的数学思维）→获得∠aO1b为120°（数学思维）→对悬挂点O1受力分析得到最终结论（倾向判断的物理思维）。
②怀疑a、b环等高（怀疑式物理思维）→不等高情况下对a环或b环受力分析得出两个环支持力大小和方向（数学思维）→整体受力分析得出系统不可能平衡结论（物理思维）→回到模式①。
在高度紧张的限时考试中，学生能用模式②成功解题是十分难得的。值得注意的是，两种成功的解题模式都依赖于物理思维和数学思维的频繁成功切换，并在流畅的思维切换中解决问题。
2变式教学
（1）初步变式
为了引出变式教学，教师引导学生进行了如下问答。
师：如果其他条件都不变，其中一个小球质量为2m，将会怎样？
生：不可能存在这种情况，因为质量为2m的小球一定会向自己这侧拉动绳子，直到另一小球被光滑环卡住为止。
师：左右小球质量不同时，能不能对绳子进行一定处理，以保证两小球和小物块于悬挂中保持平衡呢？
生：绳子拴着挂钩打一个死结就可以了。
变式题1 两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上，一细线穿过两轻环，其两端分别系有质量为m、2m的小球。在a和b之间的细线上拴结一小物块。平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径。不计所有摩擦。试求小物块的质量。
解析：如图3所示，设圆心为O，因为a、b间的距离恰好等于圆弧的半径，所以△Oab是等边三角形。根据轻绳特点，施于悬挂点O1的两张力大小分别等于mg、2mg；對a环或b环受力分析，不难得出两半径Oa、Ob为对应角的角平分线。由观察得∠OaO1+∠ObO1=∠aOb=∠baO1+∠abO1=60°，从而可知∠aO1b为120°。不难画出悬挂点O1的受力情况（如图4），于是小物块质量为3m。
做变式题1时，很多学生未能正确画出情境图，几乎所有的学生都把光滑环a置于环b之上。之所以这样，显然是受母题的影响——以母题为初始条件，右边小球质量增大，则要向右滑落。殊不知，如果是这样，之后整个对象都不能处于平衡状态。在教学中，笔者原以为有了母题的讲解，会有更多学生能顺利解答变式题，结果反差甚大。其根本原因是，条件变式后，并没有像母题一样给出符合题意的情境图，学生必须进行推理后自我生成情境图。这一情况说明，由数学思维向物理思维切换极易受阻。
（2）进一步变式
变式题2 一轻绳跨过两个等高的定滑轮（不计大小和摩擦），两端分别挂上质量为m1=4kg和m2=2kg的物体，如图5所示。在滑轮之间的一段绳上悬挂物体m，为使三个物体可能保持平衡，求m的取值范围。
解析：物体平衡时，对O点受力分析，建立方程得
T1cosθ1+T2cosθ2=mg，
①
T1sinθ1=T2sinθ2。
②
将T1=m1g，T2=m2g及有关数据代入①②，得
m=4cosθ1+21-4sin2θ1。
③
当θ1=0°时，m取得最大值，即mmax=6kg；当θ1=30°，m取得最小值，即mmin=23kg。
因为θ1=0°，θ1=30°时取不到m值，所以m的取值范围是23kg
教师把C生的问题抛给全班同学，D生回答说：“θ2的取值范围是0°到90°，那么θ1只能取0°到30°。”实际上，在得到m和θ1的关系后，学生进入物理思维和数学思维切换的十字路口，因左右为难而陷入困局之中。如果数学思维和物理思维能够快捷切换，变式题2完全可以在①②式基础上直接进行讨论，即当θ1=θ2=0°时，m取得最大值；当θ1=30°时，θ2=90°，m取得最小值。
三、教学启示
物理问题的解决需要数学思维和物理思维有序、快捷、顺利地切换，但是这种切换极易受阻，从而导致问题无法解决。如何避免在解决问题时物理思维和数学思维切换受阻？笔者认为，应从以下几方面加强教学。
第一，物理教学应重视实验教学。教师在教学中不仅仅是完成教材或考试大纲中要求的实验，还要重视一些小实验，以弥补学生物理情境体验的不足，从而增强学生物理思维，培养物理直觉。例如，未打结的柔软光滑轻绳贯穿或跨绕物体时，绳两端受力不等，因此容易滑移；而打了结（结上再拴上物体）的轻绳，就发生了“奇迹”性变化。教师只有指导学生亲手实验，才能使学生从真正意义上理解轻绳和“绳结”模型。
第二，重视物理问题的数学建模教学。很多学生面对原始问题，甚至对未给出确切物理量的“加工”试题一筹莫展。这实际上也说明学生的物理思维向数学思维的切换受阻。因此，在物理教学中，教师应适当增加原始问题的深度教学，提升学生由物理思维向数学思维成功切换的水平。
第三，重视运用数学方法解决物理问题的教学，特别是要重视对数学运算结果所隐含的实际物理意义的探讨。在实际教学中，特别是练习课上，有的教师在计算出练习题的结果后就停止了教学，师生容易忽视对数学运算结果做进一步探讨，这也是导致数学思维向物理思维切换困难的原因之一。
参考文献：
[1]刘大明，江秀梅.“多方建模”突破物理模型思维障碍：以理想气体压强微观表达式的探究教学为例[J].教学月刊（中学版），2018（1/2）：2226.