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解决问题与传统的应用题究竟有何不同？在新课程背景下实施“解决问题”教学需要把握住哪些教学本质？“解决问题”的教学一直困扰着广大数学教师。我在一段时间思考和实践的基础上，逐渐明确了课程改革下“解决问题”更多的是从学生数学发展的角度来展开实施，其中最基本的教育功能是通过“解决问题”教学来培养学生的数学思维能力。那么，教师在教学“解决问题”时该如何注重对学生数学思维能力的培养呢？本文试图以“对两位学生的一次访谈交流” 为例，谈谈我对此的一些思考和实践，以期抛砖引玉。
一、背景
我随机选择了两位不同班级的四年级学生，一位姓徐（简称生1），一位姓厉（简称生2），数学成绩在各自班里都是中上水平。我先出示了以下一个数学问题，请两位学生先安静地独立思考。
某商场促销一批电视机，第一天卖出了总数的一半多10台。还剩下95台。原来电视机有多少台？
两分钟后，生2写好后直接给我看：95－10=85（台），85×2=170（台）。生1一直在嘀咕，说自己可能错了，不太愿意给我看：95＋10=105（台），105×2=210（台）。
二、我的访谈
（一）解说思考过程
师：能说说你们是怎么想的吗？
生2：我是倒过来想的。题目中说是多10台，所以先95－10，倒过来想的时候多的就变成少的了；题目中又说是卖了一半，倒过来想原来应该是2倍，所以是85×2=170。
生1：我也是倒过来思考的。多就是加，所以先95＋10；卖了一半原来是÷2，现在倒回去就是×2。
【诊断分析：从访谈中可以发现，生2并没有准确梳理出题目中的数量关系，对于“多10台”所代表的本质意义没有理解到位，只是按部就班地倒推计算，受简单的倒推法解题的经验干扰。生1的解答虽然正确，但从访谈中发现，她确实没有正确地运用逆向思维进行推算，还是停留在比较盲目、感性的经验层面，并没有从认知上努力抽象出数量之间的关系。可见，把顺向序列转化为逆向序列对于小学中段学生来说有一定的困难，但这对于培养他们的数学思维能力无疑是一个很好的抓手。】
（二）检验思考结果
1.引导生1进行自我检验
师：现在你们能肯定谁对谁错了吗？（不能）不确定对错的时候，你们能不能想想办法检验一下自己的答案？
生1：210÷2=105（台），210－105＋10=115（台），210－115=95（台）。
师：你是怎么想的？
生1：共有210台，卖了一半就是105台，要减去。题目是多了10台，所以要加10，算出的115台表示卖出的台数（犹豫片刻后），好像是剩下的台数。
师：到底表示什么？
生1：是剩下的台数，因为卖出的已经从210里减过了，所以不会再是卖出的。
师：那“210－115”呢？
生1：不对了，还剩的已经求出了。
【诊断分析：在生1的自我检验中可发现，她选择把结果代入题目进行顺向推算是完全自动化的，但她在推理、计算的过程中还是表现出有一定的抽象难度。虽然她的推算答案与题目相符合，但对于她自己的逻辑分析和抽象思考还存在着一定的困难，还不能完全过滤题目中的非数学因素，建立起正确的数量关系和意义理解。因此，她在题目的解读和数量关系的把握上存在着障碍。】
2.引导生2进行自我检验
生2：170÷2=85（台），85＋10=95（台），即卖出了总数的一半是85台，还要再多10台，所以是95台。
师：那你这“95台”是表示什么意思呢？
生2：剩下的台数。
生1：应该是卖出的台数。
师：为什么你和生2的不同？你是怎么想的？
生1：因为85后面是加10，说明卖了一半还没有完，还要再加上10台等于95台，这样剩下的只有170－95=85（台）。
生2：我也觉得这95应表示卖出的台数。
师：你又为什么改为是卖出的台数呢？
生2：因为我这里只算了总数的一半多10台，剩下的台数还没有算，即170－95=85。
【诊断分析：由上可见，这一学段的学生已经有了检验的方法，选择顺向思考对于他们来说会比较容易上手，但在独立地进行较复杂的推算验证时，都表现出有一定的困难。通过两人之间相互的交流和补充，他们都逐渐清晰了题目的数学结构。由此可见，这一学段的学生非常需要在合作交流中明晰自己对数学思考的理解，我们在教学和辅导时应加强学生在独立思考基础上的互动对话，以便更好地促进他们完成对数学思考的意义建构。】
三、跟进辅导
（一）激活最近发展区
师：你们验证的结果怎么都不对啊？有什么办法可以来解决这个问题？
生1：假设原来的台数。
师：那你要假设原来有几台？
生1：随便几台都可以。
生2：我觉得这样不可以。原来有多少台都不知道，随便假设的话剩下的不一定刚刚好是95台。
师：说得也有道理。那你（生1）怎么会想到用假设法呢？
生1：我觉得是可以的。要试很多次，总会试到还剩下95台的。
师：哦。这个方法是可行的，就是有点费时。你们还有其他方法吗？
生1：列方程。设原来有x台电视机，列式为 x－（x÷2＋10）=95。
师：能解释一下你是怎么想的吗？
生1：卖了总数的一半多10就是x÷2＋10，求还剩的就是总数减去卖出的台数，所以是x －（x÷2＋10）=95。
【诊断分析：从上面的对话中不难发现，学生在逆向思维上遇到障碍时，一般情况下会习惯于在顺向思维上找突破口。可见，这一学段的学生正以顺向思维为主逐步过渡到有逆向思维表征的发展期。生1在提出假设法遭到同伴的反对时，能够有理有据地坚持自己的观点，让人由衷地赞赏她数学思维的敏捷性和独创性。这样敢于辩论的自信和灵活思辨的习惯不是一朝一夕之功，可见她在平时的数学学习中一定经历了一个比较好的数学思维品质培养。因此，发展学生数学思维能力的核心是加强数学思维品质的培养。】
（二）寻找逆向思考的支撑点
师：说得很好。方程也是可以的。还有其他的方法吗？
师：你们一开始想的那个倒过来思考的方法怎么不对了呢？问题到底出在哪？有什么办法可以来帮助分析一下？（学生还是无从下手）
师：我们能不能用画图来帮助分析？（学生同意，分别独立动手画图，不作任何交流和参考）
生2画图如下：
师：你（指生2）画的图是什么意思？
生2：原来卖出的是总数的一半，总数的一半就是“总数÷2”；卖出一半后还多卖了10台，就是“总数÷2＋10”，表示卖出的台数，最后还剩下95台。
师：那现在你能不能根据自己画的图倒回来思考，解决这个问题？（生2还是感到困难）
【诊断分析：这一学段的学生进行逆向思维时确实感到有一定的困难，他们也很难自觉地选择画图的方法来帮助推导，数形结合的思想没有深入他们的数学思维中。生2的画图，还是不能摆脱顺向思维的束缚，不能把题目的数量关系抽象出来在线段图中进行表示，因此还是不能帮助他进行很好的逆向思维。而生1在没有任何提示下，自己能较好地用线段图抽象出题目的数量关系。因此，我们在这一学段的教学时，要有意识地加强数形结合、抽象数量关系的训练和指导，这极其有助于学生数学思维能力的发展。】
师：想不出来没关系，我们先来看一下生1画的图，能不能看得懂？
生2：看得懂。
师：能不能说说她的图和你的图相比，好在哪？
生2：她这样画起来比我的更清楚。
师：更清楚在哪里呢？什么东西比你的更清楚？
生2：前面一段是总数的一半， 卖出的是“总数的一半还多10台”，所以这一大段都是卖出的台数。（一边说一边动手比划，如下图）
师：说得很好。那现在你们能不能根据这幅图的理解，试着倒过来解决这个问题？（学生独立列式）
【诊断分析：从上述这段对话中我们发现，当把已经画出来的线段图呈现给生2看时，他还是能读懂、解释线段图所呈现的数学信息和数量关系，能马上在脑海里建立起相对比较抽象的数学表象。像这样的学生在我们的实际教学中是占多数的，提供相互交流的对话平台无疑是解决这一问题的好方法。】
（三）利用“数形结合”求解
（生1已列对了，生2还是感到困难）
师：还是有点难是吗？那能不能跟我们说说看，你的难处在哪？
生2：剩下95台不是总数的一半，不知道怎么求。
师：你（指生1）听出他不能倒回来想的原因在哪了吗？
生1：剩下的95台，加上多的10台刚好是总数的一半。
师：她刚才说的你听清楚了吗？
生2：剩下的95台加上10台以后正好是总数的一半了。
师：为什么“95台加上10台”正好是总数的一半了呢？
生1：因为卖出一半还多了10台，就是比一半超出了10台。
师：你能不能用自己的话来再解释一遍？
生2（指着图）：卖了总数的一半还多出了10台，剩下95台，如果这95台加上10台以后，这里一半等于那边的一半。
师：那现在你算式会列了吗？（会）如果再让你们来检验自己的结果，你会怎么检验？（两人都能正确、流利地解释思考过程）
【诊断分析：在这一过程中我们不难发现，虽然生2已经能读懂线段图，但在进行逆向思维时还是不能结合图来进行推算，总会受到生活经验和非正确数量关系的干扰与影响，但一旦提醒结合图来思考、倒推时，生2马上能顺利地进行正确的逆向思维。可见，这一学段的学生正处于以具体形象思维为主逐步过渡到以抽象逻辑思维为主的关键时期。数形结合是很好激活学生形象思维与抽象思维相联结的好方法，有了图示的支撑，学生还是能根据自己的判断和推理抽象出隐含着的数量关系进行逆向思维。另外，值得我们注意的是，学生能读懂线段图并不能说明他们已经在脑海里正确地建构起了正确的数量关系表象。学会运用图示来帮助抽象思考，需要教师在平时的教学中有意识地加强指导。】
“解决问题”的教学价值在于帮助学生在已有的能力水平基础上，进一步巩固学会的知识技能，丰富活动经验，提高发现问题、分析问题、选择策略等解题能力，培养观察比较、抽象概括、分析推理、联想反省等数学思维。我们只有在解决问题教学中真正落实对学生数学思维能力的培养，才不会让解决问题在数学课堂中浮于表面，成为无水之源。
（责编杜华）
一、背景
我随机选择了两位不同班级的四年级学生，一位姓徐（简称生1），一位姓厉（简称生2），数学成绩在各自班里都是中上水平。我先出示了以下一个数学问题，请两位学生先安静地独立思考。
某商场促销一批电视机，第一天卖出了总数的一半多10台。还剩下95台。原来电视机有多少台？
两分钟后，生2写好后直接给我看：95－10=85（台），85×2=170（台）。生1一直在嘀咕，说自己可能错了，不太愿意给我看：95＋10=105（台），105×2=210（台）。
二、我的访谈
（一）解说思考过程
师：能说说你们是怎么想的吗？
生2：我是倒过来想的。题目中说是多10台，所以先95－10，倒过来想的时候多的就变成少的了；题目中又说是卖了一半，倒过来想原来应该是2倍，所以是85×2=170。
生1：我也是倒过来思考的。多就是加，所以先95＋10；卖了一半原来是÷2，现在倒回去就是×2。
【诊断分析：从访谈中可以发现，生2并没有准确梳理出题目中的数量关系，对于“多10台”所代表的本质意义没有理解到位，只是按部就班地倒推计算，受简单的倒推法解题的经验干扰。生1的解答虽然正确，但从访谈中发现，她确实没有正确地运用逆向思维进行推算，还是停留在比较盲目、感性的经验层面，并没有从认知上努力抽象出数量之间的关系。可见，把顺向序列转化为逆向序列对于小学中段学生来说有一定的困难，但这对于培养他们的数学思维能力无疑是一个很好的抓手。】
（二）检验思考结果
1.引导生1进行自我检验
师：现在你们能肯定谁对谁错了吗？（不能）不确定对错的时候，你们能不能想想办法检验一下自己的答案？
生1：210÷2=105（台），210－105＋10=115（台），210－115=95（台）。
师：你是怎么想的？
生1：共有210台，卖了一半就是105台，要减去。题目是多了10台，所以要加10，算出的115台表示卖出的台数（犹豫片刻后），好像是剩下的台数。
师：到底表示什么？
生1：是剩下的台数，因为卖出的已经从210里减过了，所以不会再是卖出的。
师：那“210－115”呢？
生1：不对了，还剩的已经求出了。
【诊断分析：在生1的自我检验中可发现，她选择把结果代入题目进行顺向推算是完全自动化的，但她在推理、计算的过程中还是表现出有一定的抽象难度。虽然她的推算答案与题目相符合，但对于她自己的逻辑分析和抽象思考还存在着一定的困难，还不能完全过滤题目中的非数学因素，建立起正确的数量关系和意义理解。因此，她在题目的解读和数量关系的把握上存在着障碍。】
2.引导生2进行自我检验
生2：170÷2=85（台），85＋10=95（台），即卖出了总数的一半是85台，还要再多10台，所以是95台。
师：那你这“95台”是表示什么意思呢？
生2：剩下的台数。
生1：应该是卖出的台数。
师：为什么你和生2的不同？你是怎么想的？
生1：因为85后面是加10，说明卖了一半还没有完，还要再加上10台等于95台，这样剩下的只有170－95=85（台）。
生2：我也觉得这95应表示卖出的台数。
师：你又为什么改为是卖出的台数呢？
生2：因为我这里只算了总数的一半多10台，剩下的台数还没有算，即170－95=85。
【诊断分析：由上可见，这一学段的学生已经有了检验的方法，选择顺向思考对于他们来说会比较容易上手，但在独立地进行较复杂的推算验证时，都表现出有一定的困难。通过两人之间相互的交流和补充，他们都逐渐清晰了题目的数学结构。由此可见，这一学段的学生非常需要在合作交流中明晰自己对数学思考的理解，我们在教学和辅导时应加强学生在独立思考基础上的互动对话，以便更好地促进他们完成对数学思考的意义建构。】
三、跟进辅导
（一）激活最近发展区
师：你们验证的结果怎么都不对啊？有什么办法可以来解决这个问题？
生1：假设原来的台数。
师：那你要假设原来有几台？
生1：随便几台都可以。
生2：我觉得这样不可以。原来有多少台都不知道，随便假设的话剩下的不一定刚刚好是95台。
师：说得也有道理。那你（生1）怎么会想到用假设法呢？
生1：我觉得是可以的。要试很多次，总会试到还剩下95台的。
师：哦。这个方法是可行的，就是有点费时。你们还有其他方法吗？
生1：列方程。设原来有x台电视机，列式为 x－（x÷2＋10）=95。
师：能解释一下你是怎么想的吗？
生1：卖了总数的一半多10就是x÷2＋10，求还剩的就是总数减去卖出的台数，所以是x －（x÷2＋10）=95。
【诊断分析：从上面的对话中不难发现，学生在逆向思维上遇到障碍时，一般情况下会习惯于在顺向思维上找突破口。可见，这一学段的学生正以顺向思维为主逐步过渡到有逆向思维表征的发展期。生1在提出假设法遭到同伴的反对时，能够有理有据地坚持自己的观点，让人由衷地赞赏她数学思维的敏捷性和独创性。这样敢于辩论的自信和灵活思辨的习惯不是一朝一夕之功，可见她在平时的数学学习中一定经历了一个比较好的数学思维品质培养。因此，发展学生数学思维能力的核心是加强数学思维品质的培养。】
（二）寻找逆向思考的支撑点
师：说得很好。方程也是可以的。还有其他的方法吗？
师：你们一开始想的那个倒过来思考的方法怎么不对了呢？问题到底出在哪？有什么办法可以来帮助分析一下？（学生还是无从下手）
师：我们能不能用画图来帮助分析？（学生同意，分别独立动手画图，不作任何交流和参考）
生2画图如下：
师：你（指生2）画的图是什么意思？
生2：原来卖出的是总数的一半，总数的一半就是“总数÷2”；卖出一半后还多卖了10台，就是“总数÷2＋10”，表示卖出的台数，最后还剩下95台。
师：那现在你能不能根据自己画的图倒回来思考，解决这个问题？（生2还是感到困难）
【诊断分析：这一学段的学生进行逆向思维时确实感到有一定的困难，他们也很难自觉地选择画图的方法来帮助推导，数形结合的思想没有深入他们的数学思维中。生2的画图，还是不能摆脱顺向思维的束缚，不能把题目的数量关系抽象出来在线段图中进行表示，因此还是不能帮助他进行很好的逆向思维。而生1在没有任何提示下，自己能较好地用线段图抽象出题目的数量关系。因此，我们在这一学段的教学时，要有意识地加强数形结合、抽象数量关系的训练和指导，这极其有助于学生数学思维能力的发展。】
师：想不出来没关系，我们先来看一下生1画的图，能不能看得懂？
生2：看得懂。
师：能不能说说她的图和你的图相比，好在哪？
生2：她这样画起来比我的更清楚。
师：更清楚在哪里呢？什么东西比你的更清楚？
生2：前面一段是总数的一半， 卖出的是“总数的一半还多10台”，所以这一大段都是卖出的台数。（一边说一边动手比划，如下图）
师：说得很好。那现在你们能不能根据这幅图的理解，试着倒过来解决这个问题？（学生独立列式）
【诊断分析：从上述这段对话中我们发现，当把已经画出来的线段图呈现给生2看时，他还是能读懂、解释线段图所呈现的数学信息和数量关系，能马上在脑海里建立起相对比较抽象的数学表象。像这样的学生在我们的实际教学中是占多数的，提供相互交流的对话平台无疑是解决这一问题的好方法。】
（三）利用“数形结合”求解
（生1已列对了，生2还是感到困难）
师：还是有点难是吗？那能不能跟我们说说看，你的难处在哪？
生2：剩下95台不是总数的一半，不知道怎么求。
师：你（指生1）听出他不能倒回来想的原因在哪了吗？
生1：剩下的95台，加上多的10台刚好是总数的一半。
师：她刚才说的你听清楚了吗？
生2：剩下的95台加上10台以后正好是总数的一半了。
师：为什么“95台加上10台”正好是总数的一半了呢？
生1：因为卖出一半还多了10台，就是比一半超出了10台。
师：你能不能用自己的话来再解释一遍？
生2（指着图）：卖了总数的一半还多出了10台，剩下95台，如果这95台加上10台以后，这里一半等于那边的一半。
师：那现在你算式会列了吗？（会）如果再让你们来检验自己的结果，你会怎么检验？（两人都能正确、流利地解释思考过程）
【诊断分析：在这一过程中我们不难发现，虽然生2已经能读懂线段图，但在进行逆向思维时还是不能结合图来进行推算，总会受到生活经验和非正确数量关系的干扰与影响，但一旦提醒结合图来思考、倒推时，生2马上能顺利地进行正确的逆向思维。可见，这一学段的学生正处于以具体形象思维为主逐步过渡到以抽象逻辑思维为主的关键时期。数形结合是很好激活学生形象思维与抽象思维相联结的好方法，有了图示的支撑，学生还是能根据自己的判断和推理抽象出隐含着的数量关系进行逆向思维。另外，值得我们注意的是，学生能读懂线段图并不能说明他们已经在脑海里正确地建构起了正确的数量关系表象。学会运用图示来帮助抽象思考，需要教师在平时的教学中有意识地加强指导。】
“解决问题”的教学价值在于帮助学生在已有的能力水平基础上，进一步巩固学会的知识技能，丰富活动经验，提高发现问题、分析问题、选择策略等解题能力，培养观察比较、抽象概括、分析推理、联想反省等数学思维。我们只有在解决问题教学中真正落实对学生数学思维能力的培养，才不会让解决问题在数学课堂中浮于表面，成为无水之源。
（责编杜华）