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摘要：采用Abaqus中的光滑粒子流体动力学（Smoothed Particle Hydrodynamics，SPH）求解器分析贮箱液体晃动.通过理论解验证SPH算法分析液体晃动的可行性；考察贮箱模型分别为弹性体和刚体时的压力变化，可知刚体贮箱的峰值压力比弹性体的大且其峰值出现更早；考虑贮箱为弹性体，研究在各因素下充液贮箱的晃动特性，包括充液量、晃动转角、液体材料属性和周期等.当贮箱充液量为2/3左右时，贮箱受液体晃动影响最明显；随着晃动转角的增大或周期减小，贮箱结构变形显著增大；液体材料属性对贮箱的影响有限.
关键词：贮箱； 弹性体； 液体晃动； 流固耦合； 光滑粒子流体动力学
中图分类号： O352
文献标志码：B
Abstract：The sloshing of liquid in tank is analyzed by the Smoothed Particle Hydrodynamics（SPH） solver in Abaqus. The theoretical solution is used to verify that it is feasible to use SPH algorithm to analyze liquid sloshing. The pressure changes are analyzed regarding the tank as elastomer and rigid body respectively， which show that the peak pressure of the rigid body tank is higher than that of the elastomer tank and occurs earlier. Taking the tank as an elastomer， the sloshing characteristics of the tank filled with liquid is studied under different factors， including the filling quantity， sloshing swing angle， liquid material properties and period etc. When the filling quantity of liquid is about 2/3， the effect on the tank is mostly obvious in the process of liquid sloshing； the structure deformation of the tank increases obviously as the sloshing swing angle increases or the period decreases； the liquid material properties have little effect on the tank.
Key words：tank； elastomer； liquid sloshing； fluid-structure coupling； smoothed particle hydrodynamics
0引言
在航空航天、船舶和汽车等领域中广泛存在贮箱液体晃动问题，了解晃动特性对科学研究和工程设计有重要意义.液体晃动是复杂的物理过程，由于诸多不确定性，早期的线性理论研究仅限于液体的小幅振动[1-2]，对大幅振动很难给出理论解.液体晃动试验研究较多，如AKYILDIZ等[3]研究三维矩形液舱在不同充液量、不同形式挡板、不同激励等因素下的液体晃动情况；蒋梅荣等[4]对弹性体贮箱的液体晃动进行研究.随着计算机技术的不断发展，数值仿真研究很快得到应用.USHIJIMA[5]采用ALE方法对三维圆柱形贮箱在不同外界激励条件下的液体晃动特性进行研究；FIROUZ-ABADI等[6]采用边界元法对三维矩形和圆柱形容器的液体晃动进行研究，得到液体晃动频率和模态；陈星等[7]运用ADINA中的FSI模块对三维矩形弹性液舱的液体晃动进行模拟，分析液面高度和壁面压力变化.
光滑粒子流体动力学（Smoothed Particle Hydrodynamics，SPH）方法首先由LUCY[8]于1977年提出，是一种无网格纯拉格朗日方法.该方法采用核函数近似描述微分方程，粒子与粒子之间不存在网格关系，任意一点的函数值通过局部近似由其邻域内的节点表示，非常适合处理大变形和流固耦合问题.[9]本文采用SPH方法进行充液贮箱晃动分析，首先验证SPH方法的可行性，并对比弹性体和刚体2种贮箱模型的压力变化情况，然后对弹性体模型进行充液量、晃动转角、液体材料属性和晃动周期等多种因素下的晃动特性研究，重点关注晃动过程中液体对结构强度和变形的影响，为工程设计提供参考.
1SPH方法理论
5）对称性，即对任意与给定粒子距离相同的粒子，其对给定粒子的影响是相同的.
6）单调性，即距离给定粒子位置越大的粒子，其对给定粒子的作用力越小，即光滑核函数值随粒子间距离增大而减小.
此外，光滑核函数为连续函数的近似表达，因此为获得更加准确的近似结果，光滑函数应充分光滑.
2SPH方法验证
将Faltinsen基于势流理论提出的二维矩形贮箱受水平激励的液体晃动延伸到三维情况，激励位移函数U=bsin（2πt/T）被广泛应用于三维液体晃动模型[11]的验证中，其液面高度
采用Abaqus中自带的SPH求解器进行计算，将图1中A点位置液面高度的SPH结果与解析解进行对比，验证SPH方法分析液体晃动的可行性.贮箱采用S4R壳单元进行网格划分；液体材料为水，由PC3D单元转换为SPH粒子，采用Up-Us状态方程进行控制.贮箱初始充液量为50%，施加水平正弦激励，位移函数与Faltinsen理论一致，其中振幅b为4 mm，频率为1.197 Hz，总计算时间为12 s.贮箱和液体均施加重力载荷，g=9.806 m/s2.计算结果见图2. 从整体上看，SPH结果与理论结果的趋势和大小吻合很好，说明采用SPH方法计算贮箱的液体晃动可行.
3仿真结果分析
3.1充液贮箱晃动模型
考虑计算效率等因素，对上述模型进行修正，重新建立充液贮箱晃动的标准模型.贮箱为铝材矩形盒，设置为弹性体，尺寸为2a×H=1 m×0.5 m，宽为0.2 m，初始充液量为60%，壁面厚度为5 mm.贮箱材料密度为2 820 kg/m3，弹性模量为70 GPa，泊松比为0.33，液体采用喷气燃油，其中的声速为1 184 m/s，密度为775 kg/m3，运动黏度为9.69×10-4 kg/（m·s）.贮箱与液体之间为无摩擦硬接触.将贮箱的质心作为参考点，并将贮箱8个角点的位移耦合在参考点上，在参考点施加绕z轴的正弦转角位移θ=Asin（2πt/T）.所有计算工况见表1，均只计算一个周期.
3.2标准模型计算结果
对标准模型计算结果进行分析，在晃动过程中不同时刻液体形态见图3，贮箱最大应力云图见图4.由此可知，在0.025 s时即启动瞬间贮箱带动液体绕z轴逆时针转动，此时底板右侧出现最大应力，其值为41.30 MPa，与此同时挠度也达到最大，为0.266 mm（除去晃动时的刚体位移），同样位于底板处.
在晃动过程中，贮箱受冲击作用较大壁面主要为底面和左右壁面，这3个壁面的压力时程曲线见图5.由此可知：贮箱启动瞬时底板和右壁面带动液体开始晃动，其压力均出现最大值，分别为34.69和20.87 kPa；随着晃动进行，在0.125 s贮箱反转时，液体速度反向并冲击底板和左壁面，由于液体运动的滞后效应，在0.170 s时壁面压力出现峰值；当转动到0.375 s时贮箱再次反转，底板和右壁面再次出现压力峰值.在整个晃动过程中，底板所受压力最大，压力峰值在启动和贮箱反转即角速度反向后出现.
3.3弹性体和刚体对比
考虑贮箱为刚体（case 2），将刚体和弹性体模型进行对比，二者底面压力时程曲线见图6.由此可知：两种模型压力曲线趋势基本一致；在晃动启动瞬间，压力出现最大值，这是由于开始晃动时角速度最大，液体由静止开始晃动，对底面冲击强烈；刚体模型压力大于弹性体模型，其最大值为56.6 kPa，而弹性体模型为34.7 kPa，且刚体模型最大值出现时刻比弹性体模型早；在晃动过程中，由于旋转方向的变化，再次出现压力峰值，之后出现的各个峰值，刚体压力均比弹性体先出现.可见，弹性体对液体的冲击有缓冲作用.
3.4充液量
将贮箱进行不同充液量对比，分别取标准模型，case 3，case 4和case 5进行分析，结果见表2，底面压力时程曲线见图7.
4种充液量压力趋势基本一致，底面压力最大值在启动瞬时出现，之后出现各个峰值.由表2可知，充液量低即少于60%时，随着充液量的增加，应力、挠度和压力增大明显；当充液量超过60%时，各项最大值反而有所减小；当充液量为2/3左右时，贮箱受液体作用最明显.由图7可知：低充液量时贮箱受液体冲击力作用明显，初始冲击力对最大值影响较大；高充液量时受液体重力作用较大，此时最大值变化不大.
3.5晃动转角
将贮箱标准模型，case 6和case 7进行不同晃动转角对比，结果见表3，底面压力时程曲线见图8.由此可知：随着转角增大，液体晃动加剧，贮箱的最大应力、挠度和底面压力都显著增加，说明转角对液体晃动的影响很明显.由于在系统启动瞬时，转角越大初角
速度（2bπ/T）越大，因此各项结果最大值都在开始时刻出现，且随初角速度增大而增大.由图8可知，各工况液体晃动剧烈程度依次增大.
3.6液体材料属性
将标准模型的液体黏性和声速分别增大1倍，进行液体属性对晃动影响的比较，即标准模型，case 8和case 9等3种工况，结果见表4，底面压力时程曲线见图9.增大液体的黏性和声速时，贮箱的应力和挠度有所减小，且声速减小量更大.由图9可知，三者趋势基本相同，黏性增加压力变化不大，声速增加压力明显减小，可见晃动过程中液体的声速较黏性的影响更显著，但二者影响有限.
3.7晃动周期
在水平正弦激励下，将标准模型，case 10和case 11进行不同晃动周期的对比，结果见表5，底面压力时程曲线见图10.
随着周期增大，液体晃动剧烈程度明显减小，贮箱最大应力、挠度以及底面压力也都显著降低.在贮箱启动瞬间，液体开始运动，各壁面受冲击作用明显，底面压力均出现最大值；当贮箱的晃动方向2次反向，即1/4和3/4时刻，由图10可知周期越大压力峰值越早出现，说明在大周期晃动过程中，液体流动速度比贮箱的转速更大，晃动还未反转时液体已经开始反向并冲击壁面.
4结束语
通过建立矩形贮箱充液晃动模型，采用SPH方法，考虑充液量、晃动转角、液体材料和周期等因素，进行液体晃动机理研究.SPH计算充液晃动的液面高度结果与解析解吻合较好，说明采用SPH方法计算液体晃动可行.刚体模型的压力比弹性体的大且峰值出现更早，说明弹性体对液体有缓冲作用.当充液量为2/3左右时，贮箱受液体晃动的影响最明显；晃动转角和周期对液体晃动有相似效果，且影响显著，随着转角的增大或周期的减小，贮箱的最大应力、挠度和压力均明显增大；液体声速较黏性对晃动的影响更显著，但二者的影响均很小.
除本文研究的各因素外，液体晃动还与多种因素有关，如是否加隔板、贮箱刚度等，且各因素间相互影响，因此对液体晃动的研究还需更多的探讨.
参考文献：
[1]
ABRAMSON H N， BAUER H F， BROOKS G， et al. The dynamic behavior of liquids in moving containers[M]. Washington： NASA SP-106， 1966. [2]GAVRILYUK I， LUKOVSKY I， TROTSENKO Y， et al. Sloshing in a vertical circular cylindrical tank with an annular baffle： Part 1： Linear fundamental solutions[J]. J Eng Mathematics， 2006， 54（1）： 71-88.
[3]AKYILDIZ H， UNAL E. Experimental investigation of pressure distribution on a rectangular tank due to the liquid sloshing[J]. Ocean Eng， 2005（32）： 1503-1516.
[4]蒋梅荣， 任冰， 温鸿杰， 等. 弹性液舱内液体晃荡实验研究[J]. 海洋工程， 2013， 31（5）： 1-10.
JIANG Meirong， REN Bing， WEN Hongjie， et al. Experimental study on sloshing in elastic tanks[J]. Ocean Eng， 2013， 31（5）： 1-10.
[5]USHIJIMA S. Three-dimensional arbitrary Lagrangian-Eulerian numerical prediction method for non-linear free surface oscillation[J]. Int J Numer Meth Fluids， 1998， 26（5）： 605-623.
[6]FIROUZ-ABADI R， HADDADPOUR H， GHASEMI M. A boundary element method for investigation of sloshing in complex 3D containers[C]∥AIAA paper 2007-2393.
[7]陈星， 蒋梅荣. 三维矩形弹性液舱内液体晃荡数值模拟研究[J]. 船海工程， 2013， 42（5）： 99-104.
CHEN Xing， JIANG Meirong. Numerical simulation of liquid sloshing in a three-dimensional elastic rectangular tank[J]. Ship & Ocean Eng， 2013， 42（5）： 99-104.
[8]LUCY L B. A numerical approach to the testing of the fission hypothesis[J]. Astronomical J， 1977， 82（12）： 1013-1024.
[9]张阿漫， 戴绍仕. 流固耦合动力学[M]. 北京： 国防工业出版社， 2011： 49-85.
[10]LIU Guirong， LIU Moubin. Smoothed particle hydrodynamics： a meshfree particle method[M]. 长沙： 湖南大学出版社， 2005： 9-10.
[11]LIU D， LIN P.A numerical study of three-dimensional liquid sloshing in tanks[J].J Comput Physics， 2008（227）： 3921-3939.
（编辑武晓英）
关键词：贮箱； 弹性体； 液体晃动； 流固耦合； 光滑粒子流体动力学
中图分类号： O352
文献标志码：B
Abstract：The sloshing of liquid in tank is analyzed by the Smoothed Particle Hydrodynamics（SPH） solver in Abaqus. The theoretical solution is used to verify that it is feasible to use SPH algorithm to analyze liquid sloshing. The pressure changes are analyzed regarding the tank as elastomer and rigid body respectively， which show that the peak pressure of the rigid body tank is higher than that of the elastomer tank and occurs earlier. Taking the tank as an elastomer， the sloshing characteristics of the tank filled with liquid is studied under different factors， including the filling quantity， sloshing swing angle， liquid material properties and period etc. When the filling quantity of liquid is about 2/3， the effect on the tank is mostly obvious in the process of liquid sloshing； the structure deformation of the tank increases obviously as the sloshing swing angle increases or the period decreases； the liquid material properties have little effect on the tank.
Key words：tank； elastomer； liquid sloshing； fluid-structure coupling； smoothed particle hydrodynamics
0引言
在航空航天、船舶和汽车等领域中广泛存在贮箱液体晃动问题，了解晃动特性对科学研究和工程设计有重要意义.液体晃动是复杂的物理过程，由于诸多不确定性，早期的线性理论研究仅限于液体的小幅振动[1-2]，对大幅振动很难给出理论解.液体晃动试验研究较多，如AKYILDIZ等[3]研究三维矩形液舱在不同充液量、不同形式挡板、不同激励等因素下的液体晃动情况；蒋梅荣等[4]对弹性体贮箱的液体晃动进行研究.随着计算机技术的不断发展，数值仿真研究很快得到应用.USHIJIMA[5]采用ALE方法对三维圆柱形贮箱在不同外界激励条件下的液体晃动特性进行研究；FIROUZ-ABADI等[6]采用边界元法对三维矩形和圆柱形容器的液体晃动进行研究，得到液体晃动频率和模态；陈星等[7]运用ADINA中的FSI模块对三维矩形弹性液舱的液体晃动进行模拟，分析液面高度和壁面压力变化.
光滑粒子流体动力学（Smoothed Particle Hydrodynamics，SPH）方法首先由LUCY[8]于1977年提出，是一种无网格纯拉格朗日方法.该方法采用核函数近似描述微分方程，粒子与粒子之间不存在网格关系，任意一点的函数值通过局部近似由其邻域内的节点表示，非常适合处理大变形和流固耦合问题.[9]本文采用SPH方法进行充液贮箱晃动分析，首先验证SPH方法的可行性，并对比弹性体和刚体2种贮箱模型的压力变化情况，然后对弹性体模型进行充液量、晃动转角、液体材料属性和晃动周期等多种因素下的晃动特性研究，重点关注晃动过程中液体对结构强度和变形的影响，为工程设计提供参考.
1SPH方法理论
5）对称性，即对任意与给定粒子距离相同的粒子，其对给定粒子的影响是相同的.
6）单调性，即距离给定粒子位置越大的粒子，其对给定粒子的作用力越小，即光滑核函数值随粒子间距离增大而减小.
此外，光滑核函数为连续函数的近似表达，因此为获得更加准确的近似结果，光滑函数应充分光滑.
2SPH方法验证
将Faltinsen基于势流理论提出的二维矩形贮箱受水平激励的液体晃动延伸到三维情况，激励位移函数U=bsin（2πt/T）被广泛应用于三维液体晃动模型[11]的验证中，其液面高度
采用Abaqus中自带的SPH求解器进行计算，将图1中A点位置液面高度的SPH结果与解析解进行对比，验证SPH方法分析液体晃动的可行性.贮箱采用S4R壳单元进行网格划分；液体材料为水，由PC3D单元转换为SPH粒子，采用Up-Us状态方程进行控制.贮箱初始充液量为50%，施加水平正弦激励，位移函数与Faltinsen理论一致，其中振幅b为4 mm，频率为1.197 Hz，总计算时间为12 s.贮箱和液体均施加重力载荷，g=9.806 m/s2.计算结果见图2. 从整体上看，SPH结果与理论结果的趋势和大小吻合很好，说明采用SPH方法计算贮箱的液体晃动可行.
3仿真结果分析
3.1充液贮箱晃动模型
考虑计算效率等因素，对上述模型进行修正，重新建立充液贮箱晃动的标准模型.贮箱为铝材矩形盒，设置为弹性体，尺寸为2a×H=1 m×0.5 m，宽为0.2 m，初始充液量为60%，壁面厚度为5 mm.贮箱材料密度为2 820 kg/m3，弹性模量为70 GPa，泊松比为0.33，液体采用喷气燃油，其中的声速为1 184 m/s，密度为775 kg/m3，运动黏度为9.69×10-4 kg/（m·s）.贮箱与液体之间为无摩擦硬接触.将贮箱的质心作为参考点，并将贮箱8个角点的位移耦合在参考点上，在参考点施加绕z轴的正弦转角位移θ=Asin（2πt/T）.所有计算工况见表1，均只计算一个周期.
3.2标准模型计算结果
对标准模型计算结果进行分析，在晃动过程中不同时刻液体形态见图3，贮箱最大应力云图见图4.由此可知，在0.025 s时即启动瞬间贮箱带动液体绕z轴逆时针转动，此时底板右侧出现最大应力，其值为41.30 MPa，与此同时挠度也达到最大，为0.266 mm（除去晃动时的刚体位移），同样位于底板处.
在晃动过程中，贮箱受冲击作用较大壁面主要为底面和左右壁面，这3个壁面的压力时程曲线见图5.由此可知：贮箱启动瞬时底板和右壁面带动液体开始晃动，其压力均出现最大值，分别为34.69和20.87 kPa；随着晃动进行，在0.125 s贮箱反转时，液体速度反向并冲击底板和左壁面，由于液体运动的滞后效应，在0.170 s时壁面压力出现峰值；当转动到0.375 s时贮箱再次反转，底板和右壁面再次出现压力峰值.在整个晃动过程中，底板所受压力最大，压力峰值在启动和贮箱反转即角速度反向后出现.
3.3弹性体和刚体对比
考虑贮箱为刚体（case 2），将刚体和弹性体模型进行对比，二者底面压力时程曲线见图6.由此可知：两种模型压力曲线趋势基本一致；在晃动启动瞬间，压力出现最大值，这是由于开始晃动时角速度最大，液体由静止开始晃动，对底面冲击强烈；刚体模型压力大于弹性体模型，其最大值为56.6 kPa，而弹性体模型为34.7 kPa，且刚体模型最大值出现时刻比弹性体模型早；在晃动过程中，由于旋转方向的变化，再次出现压力峰值，之后出现的各个峰值，刚体压力均比弹性体先出现.可见，弹性体对液体的冲击有缓冲作用.
3.4充液量
将贮箱进行不同充液量对比，分别取标准模型，case 3，case 4和case 5进行分析，结果见表2，底面压力时程曲线见图7.
4种充液量压力趋势基本一致，底面压力最大值在启动瞬时出现，之后出现各个峰值.由表2可知，充液量低即少于60%时，随着充液量的增加，应力、挠度和压力增大明显；当充液量超过60%时，各项最大值反而有所减小；当充液量为2/3左右时，贮箱受液体作用最明显.由图7可知：低充液量时贮箱受液体冲击力作用明显，初始冲击力对最大值影响较大；高充液量时受液体重力作用较大，此时最大值变化不大.
3.5晃动转角
将贮箱标准模型，case 6和case 7进行不同晃动转角对比，结果见表3，底面压力时程曲线见图8.由此可知：随着转角增大，液体晃动加剧，贮箱的最大应力、挠度和底面压力都显著增加，说明转角对液体晃动的影响很明显.由于在系统启动瞬时，转角越大初角
速度（2bπ/T）越大，因此各项结果最大值都在开始时刻出现，且随初角速度增大而增大.由图8可知，各工况液体晃动剧烈程度依次增大.
3.6液体材料属性
将标准模型的液体黏性和声速分别增大1倍，进行液体属性对晃动影响的比较，即标准模型，case 8和case 9等3种工况，结果见表4，底面压力时程曲线见图9.增大液体的黏性和声速时，贮箱的应力和挠度有所减小，且声速减小量更大.由图9可知，三者趋势基本相同，黏性增加压力变化不大，声速增加压力明显减小，可见晃动过程中液体的声速较黏性的影响更显著，但二者影响有限.
3.7晃动周期
在水平正弦激励下，将标准模型，case 10和case 11进行不同晃动周期的对比，结果见表5，底面压力时程曲线见图10.
随着周期增大，液体晃动剧烈程度明显减小，贮箱最大应力、挠度以及底面压力也都显著降低.在贮箱启动瞬间，液体开始运动，各壁面受冲击作用明显，底面压力均出现最大值；当贮箱的晃动方向2次反向，即1/4和3/4时刻，由图10可知周期越大压力峰值越早出现，说明在大周期晃动过程中，液体流动速度比贮箱的转速更大，晃动还未反转时液体已经开始反向并冲击壁面.
4结束语
通过建立矩形贮箱充液晃动模型，采用SPH方法，考虑充液量、晃动转角、液体材料和周期等因素，进行液体晃动机理研究.SPH计算充液晃动的液面高度结果与解析解吻合较好，说明采用SPH方法计算液体晃动可行.刚体模型的压力比弹性体的大且峰值出现更早，说明弹性体对液体有缓冲作用.当充液量为2/3左右时，贮箱受液体晃动的影响最明显；晃动转角和周期对液体晃动有相似效果，且影响显著，随着转角的增大或周期的减小，贮箱的最大应力、挠度和压力均明显增大；液体声速较黏性对晃动的影响更显著，但二者的影响均很小.
除本文研究的各因素外，液体晃动还与多种因素有关，如是否加隔板、贮箱刚度等，且各因素间相互影响，因此对液体晃动的研究还需更多的探讨.
参考文献：
[1]
ABRAMSON H N， BAUER H F， BROOKS G， et al. The dynamic behavior of liquids in moving containers[M]. Washington： NASA SP-106， 1966. [2]GAVRILYUK I， LUKOVSKY I， TROTSENKO Y， et al. Sloshing in a vertical circular cylindrical tank with an annular baffle： Part 1： Linear fundamental solutions[J]. J Eng Mathematics， 2006， 54（1）： 71-88.
[3]AKYILDIZ H， UNAL E. Experimental investigation of pressure distribution on a rectangular tank due to the liquid sloshing[J]. Ocean Eng， 2005（32）： 1503-1516.
[4]蒋梅荣， 任冰， 温鸿杰， 等. 弹性液舱内液体晃荡实验研究[J]. 海洋工程， 2013， 31（5）： 1-10.
JIANG Meirong， REN Bing， WEN Hongjie， et al. Experimental study on sloshing in elastic tanks[J]. Ocean Eng， 2013， 31（5）： 1-10.
[5]USHIJIMA S. Three-dimensional arbitrary Lagrangian-Eulerian numerical prediction method for non-linear free surface oscillation[J]. Int J Numer Meth Fluids， 1998， 26（5）： 605-623.
[6]FIROUZ-ABADI R， HADDADPOUR H， GHASEMI M. A boundary element method for investigation of sloshing in complex 3D containers[C]∥AIAA paper 2007-2393.
[7]陈星， 蒋梅荣. 三维矩形弹性液舱内液体晃荡数值模拟研究[J]. 船海工程， 2013， 42（5）： 99-104.
CHEN Xing， JIANG Meirong. Numerical simulation of liquid sloshing in a three-dimensional elastic rectangular tank[J]. Ship & Ocean Eng， 2013， 42（5）： 99-104.
[8]LUCY L B. A numerical approach to the testing of the fission hypothesis[J]. Astronomical J， 1977， 82（12）： 1013-1024.
[9]张阿漫， 戴绍仕. 流固耦合动力学[M]. 北京： 国防工业出版社， 2011： 49-85.
[10]LIU Guirong， LIU Moubin. Smoothed particle hydrodynamics： a meshfree particle method[M]. 长沙： 湖南大学出版社， 2005： 9-10.
[11]LIU D， LIN P.A numerical study of three-dimensional liquid sloshing in tanks[J].J Comput Physics， 2008（227）： 3921-3939.
（编辑武晓英）